1、衡水中学20132014学年度第一学期高二年级五调考试数学试卷（理科） 解析版 第I卷 选择题 （共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意.)1. 当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D， 选D2. 已知，若 (a , b) , 则（ ）A、a=5, b=24 B、a=6, b=24 C、a=6, b=35 D、a=5, b=35 【答案】C3.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。你认为以上推理的（ ）A. 小前提错误 B
2、.大前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论正确【答案】B如果，则是函数的极值点，是错误的， 所以大前提错误。4设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时，总可推出 成立”，那么，下列命题总成立的是A.若成立，则成立 B.若成立，则当时，均有成立 C.若成立，则成立 D.若成立，则当时，均有成立【答案】D只有D符合题意。5.已知结论:“在正中，中点为，若内一点到各边的距离都相等,则”若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则（ ） A1 B2 C3 D4【答案】C设OM=r,三角形BCD面积为S，的高为则6.设定点，动点
3、满足条件，则动点的轨迹是（ ）.A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D.椭圆或线段或不存在 【答案】D根据椭圆的定义，当时，动点的轨迹是椭圆, 当时，动点的轨迹是线段,当时，动点的轨迹不存在.7. 下列说法：命题“存在” 的否定是“对任意的”；关于的不等式恒成立，则的取值范围是；函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是（ ） A3 B2 C1 D0【答案】B正确8.函数，为f(x)的导函数，令a，blog32，则下列关系正确的是()Af(a)f(b) Bf(a)f(b)Cf(a)f(b) Df(|a|)f(b) 【答案】A，故是减函数，所以，故选A9.已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导
4、函数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)F(2x1)的实数x的取值范围是() A.(2,1) B.C. D.(1,2) 【答案】D因为F(x)xf(x)是偶函数，时，F(x)是增函数，由F(3)F(2x1)得10设a0,b0.（ ）A若,则abB若,则ab D若,则ab【答案】A构造函数所以是增函数，故选A11.已知椭圆的左、右焦点分别是，点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）A. B. C. D. 或【答案】C当或时，可得或则点P到x轴的距离为，当，可得点P到x轴的距离为舍去。故选C12.已知为定义在上的可导函数，且对于恒成立，则（ ）A. B. C
5、. D. 【答案】A构造函数,所以为减函数，可知选A第卷 非选择题 （共90分）二、填空题 （本大题共6个小题，每小题5分，共30分）13. 若复数 是纯虚数，则m= .【答案】：2是纯虚数14.过抛物线的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则 【答案】：过A，B分别做准线的垂线AC,BD，过A做BD的垂线AH,设|AF|=m, |BF|=n,根据抛物线定义，知|AC|=m,| BD|=n, | BH|=n-m,在三角形ABH中，角BAH等于30度，所以，m+n=2(n-m).故，即.15.计算= 【答案】：-10-1= -116. 椭圆中有如下结论：椭圆
6、上斜率为1的弦的中点在直线 上，类比上述结论得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 上【答案】：运用类比思想17. 将正整数排成下表：.则数表中的2008出现在第 行. 【答案】：45 因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，所以由此归纳出第n行的最后一个数为n2因为442=1936，452=2025，所以2008出现在第45行上故答案为：45 18. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，
7、计算= . 【答案】：2012对称中心的坐标是故=三、解答题（共5个小题，每题 12分,共60分）19. 用数学归纳法证明等式：对于一切都成立【答案】：用数学归纳法证明（1）当n=1时，左边= ，右边=，等式成立。（2）假设n=k时，等式成立，即=，那么n=k+1时，=20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是线段上的点，是线段上的点，且（）当时，证明平面；（）是否存在实数，使异面直线与所成的角为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】：（）略（）建立空间直角坐标系可得21.已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调
8、递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围【答案】：(1)函数f(x)的单调递增区间是(，)，(2) a解.已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，ex0，x220，解得x.函数f(x)的单调递增区间是(，) (2)函数f(x)在(1,1)上单调递增，f(x)0对x(1,1)都成立f(x)(2xa)ex(x2ax
9、)exx2(a2)xaex，x2(a2)xaex0对x(1,1)都成立ex0，x2(a2)xa0对x(1,1)都成立即ax1对x(1,1)都成立令yx1，则y10，yx1在(1,1)上单调递增，y11，a.22. 已知曲线都过点A（0，1），且曲线所在的圆锥曲线的离心率为.（）求曲线和曲线的方程；（）设点B,C分别在曲线，上，分别为直线AB,AC的斜率,当时，问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】：（）曲线的方程为（）曲线的方程为（） （）过定点（0,1）（）由已知得， 2分所以曲线的方程为（） 3分曲线的方程为（）-4分（）将代入，得 -5分设所以B-7分将代入，得 设, 8分 因为，-10分 故BC的方程为，BC过定点（0,1）。12分11分23.已知函数.(1) 判断函数f（x）在（0，上单调性；(2) 若恒成立, 求整数的最大值；(3) 求证：.【答案】：(1)上是减函数 (2) 正整数k的最大值是3 (3)见解析解：(1) 上是减函数 4分(2)即h(x)的最小值大于k. 则上单调递增, 又 存在唯一实根a, 且满足当 故正整数k的最大值是3 -9分(3)由()知令, 则 ln(112)ln(123)ln1n(n1)(112)(123)1n(n1)e2n3