1、2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（辅导班）一、选择题（每小题5分，共60分）1设集合A=x|x22x30，B=y|y=2x，x0，2，则AB=（）A0，2B（1，3）C1，3）D（1，4）2 =（）A1+2iB1+2iC12iD12i3已知向量，的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）AB2C3D44设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，m，则D若m，n，则mn5ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ab”是“cos2Acos2B”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充
2、分也不必要条件6已知直线l：xky5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（）A2B2CD7已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若am，an满足=8a1，则+的最小值为（）A2B4C6D88设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A1B2C3D49在ABC中，AD是BC边上的高，给出下列结论：（）=0；|+|2|；=|sinB其中结论正确的个数是（）A0B1C2D310已知函数的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）ABCD11过双曲线的右焦点F作实轴所在直线
3、的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）ABC（2，+）D（1，2）12已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为（）A8B7C6D0二、填空题（每小题5分，共20分）13函数f（x）=的定义域为14若M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，直线FM的倾斜角为60，则|FM|=15已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为16定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（
4、x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），（x）=cosx（）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是三、解答题（共70分）17在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C，所对的边，且满足（）求角B的大小；（）若a+c=5，且ac，b=，求的值18已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（I）求an及Sn；（II）求数列的前n项和为Tn19如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=4，AD=CD=2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体
5、积20已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切（）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（2，2），求的最小值；（）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由21已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围22已知函数f（x）=lnxa（x1）
6、（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若不等式f（x）0对任意x（1，+）恒成立（）求实数a的取值范围；（）试比较ea2与ae2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）2015-2016学年甘肃省天水一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（辅导班）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1设集合A=x|x22x30，B=y|y=2x，x0，2，则AB=（）A0，2B（1，3）C1，3）D（1，4）【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：
7、由A中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即A=（1，3），由B中y=2x，x0，2，得到1y4，即B=1，4，则AB=1，3），故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 =（）A1+2iB1+2iC12iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：原式=12i，故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题3已知向量，的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=（）AB2C3D4【考点】平面向量数量积的运算；向量的模【专题】平面向量及应用【分析】将|2|=平方，然后将夹角与|=1
8、代入，得到|的方程，解方程可得【解答】解：因为向量，的夹角为45，且|=1，|2|=，所以424+2=10，即|22|6=0，解得|=3或|=（舍）故选：C【点评】本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想4设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）A若m，m，则B若m，mn，则nC若m，m，则D若m，n，则mn【考点】平面与平面垂直的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】A若m，m，则，可由面面平行的条件判断；Bm，mn，则n，或n；C若m，m，则，可由面面垂直的判断定理作出判断；Dm，n，则mn或m，n异面【解答】解：A若m，m，则；此命
9、题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行，故不正确；Bm，mn，则n，或n，故不正确；C若m，m，则；此命题正确，因为m，则一定存在直线n在，使得mn，又m可得出n，由面面垂直的判定定理知，正确；Dm，n，则mn或m，n异面，故不正确故选：C【点评】本题考查平面与平面之间的位置关系，空间中两个平面的位置关系主要有相交与平行，相交中比较重要的位置关系是两面垂直，本题考查了利用基础理论作出推理判断的能力，是立体几何中的基本5ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ab”是“cos2Acos2B”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】
10、必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：在三角形中，cos2Acos2B等价为12sin2A12sin2B，即sinAsinB若ab，由正弦定理，得sinAsinB充分性成立若sinAsinB，则正弦定理，得ab，必要性成立所以，“ab”是“sinAsinB”的充要条件即ab是cos2Acos2B成立的充要条件，故选C【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用6已知直线l：xky5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且=0，则k=（
11、）A2B2CD【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得弦长AB对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值【解答】解：由题意可得弦长AB对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得 k=2，故选：B【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题7已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5，若am，an满足=8a1，则+的最小值为（）A2B4C6D8【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（
12、10+），由基本不等式求最值可得【解答】解：正项等比数列an满足a7=a6+2a5，q2a5=qa5+2a5，即q2q2=0，解得公比q=2，或q=1（舍去）又am，an满足=8a1，aman=64a12，qm+n2a12=64a12，qm+n2=64，m+n2=6，即m+n=8，+=（+）（m+n）=（10+）（10+2）=2当且仅当=即m=2且n=6时取等号，故选：A【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的通项公式，属基础题8设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；不等
13、式的解法及应用【分析】由题意作出其平面区域，求出目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解【解答】解：由题意作出其平面区域，则由目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为8，a+4b=8，则由2=4得，ab4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）故选D【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题9在ABC中，AD是BC边上的高，给出下列结论：（）=0；|+|2|；=|sinB其中结论正确的个数是（）A0B1C2D3【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可判断出；利用向量的平行四边形法则、中线
14、长和高的关系即可得出；利用数量积的定义、直角三角形的边角关系即可得出【解答】解：AD是BC边上的高，（）=0，因此正确；取线段BC的中点M，则，=2，因此正确；=因此正确综上可知：正确故选：D【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的平行四边形法则、中线长和高的关系、数量积的定义、直角三角形的边角关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于中档题10已知函数的最小正周期为，将y=f（x）的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的图像与性质【分析】先根据函数的最小正周
15、期为求出的值，再由平移后得到y=为偶函数可知，即可确定答案【解答】解：由已知，周期为，则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，故选D【点评】本试题考查了三角函数的周期性和三角函数的平移公式运用以及诱导公式的运用11过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）ABC（2，+）D（1，2）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线方程为=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方
16、关系和离心率的公式，化简整理得e2e20，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围【解答】解：设双曲线方程为=1，ab0则直线AB方程为：x=c，其中c=因此，设A（c，y0），B（c，y0），=1，解之得y0=，得|AF|=，双曲线的左焦点M（a，0）在以AB为直径的圆内部|MF|AF|，即a+c，将b2=c2a2，并化简整理，得2a2+acc20两边都除以a2，整理得e2e20，解之得e2（舍负）故选：C【点评】本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题12已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（
17、x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实根之和为（）A8B7C6D0【考点】分段函数的应用【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察5，1上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【解答】解：由题意知g（x）=2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间5，1上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间5，1上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为3，若设C的横坐标为t（0t1），则点A的横坐标为4t，
18、所以方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实数根之和为3+（4t）+t=7故选：B【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题二、填空题（每小题5分，共20分）13函数f（x）=的定义域为（1，1+e）【考点】函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】令分母不为0，被开方数大于等于0，真数大于0，得到不等式组，求出x的范围写出区间形式【解答】解：要使函数有意义，需满足，即解得1x1+e故答案为：（1，1+e）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，同时考查对数的性质，属于基础题14若M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方
19、，F是抛物线的焦点，直线FM的倾斜角为60，则|FM|=4【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由直线倾斜角求出斜率，写出直线方程，和抛物线方程联立求得M的坐标，再由抛物线焦半径公式得答案【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得F（1，0），直线FM的倾斜角为60，则直线FM的方程为y=，联立，即3x210x+3=0，解得（舍）或x2=3|FM|=3+1=4故答案为：4【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是中档题15已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为【考点】由三视图求
20、面积、体积【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】几何体为圆柱挖去一个圆锥，根据三视图可得圆锥与圆柱的底面直径都为4，高都为2，把数据代入圆锥与圆柱的体积公式计算可得答案【解答】解：由三视图知：几何体为圆柱挖去一个圆锥，且圆锥与圆柱的底面直径都为4，高为2，几何体的体积V1=222222=故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状16定义方程f（x）=f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），（x）=cosx（）的“新驻点”分别为，那么，的大小关系是【考点】函数的零点
21、与方程根的关系【专题】新定义【分析】分别对g（x），h（x），（x）求导，令g（x）=g（x），h（x）=h（x），（x）=（x），则它们的根分别为，即=1，ln（+1）=，31=32，然后分别讨论、的取值范围即可【解答】解：g（x）=1，h（x）=，（x）=sinx，由题意得：=1，ln（+1）=，cos=sin，ln（+1）=，（+1）+1=e，当1时，+12，+12，1，这与1矛盾，01；cos=sin，1故答案为：【点评】函数、导数、不等式密不可分，此题就是一个典型的代表，其中对对数方程和三次方程根的范围的讨论是一个难点三、解答题（共70分）17在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，
22、B，C，所对的边，且满足（）求角B的大小；（）若a+c=5，且ac，b=，求的值【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理【专题】计算题【分析】（）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA不为0，可得出sinB的值，由B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c的值代入，求出ac的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a大于c，求出a与c的值，再由a，b及c的值，利用余弦定理求出cosA的值，然后将所求的式子利用平面向量的数量积运算法则化简后，将b，c及cosA的值代入即可求出值【解答】解：
23、（）a2bsinA=0，sinA2sinBsinA=0，（2分）sinA0，sinB=，（3分）又B为锐角，则B=；（5分）（）由（）可知B=，又b=，根据余弦定理，得b2=7=a2+c22accos，（7分）整理得：（a+c）23ac=7，a+c=5，ac=6，又ac，可得a=3，c=2，（9分）cosA=，（11分）则=|cosA=cbcosA=2=1（13分）【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算法则，完全平方公式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及法则是解本题的关键18已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn（I）求an及Sn；（
24、II）求数列的前n项和为Tn【考点】数列的求和；等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】（）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出（）由（）可知，Sn=n2+2n，可得Sn=，利用“裂项求和”即可得出【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a3=7，a5+a7=26，解得a1=3，d=2，an=3+2（n1）=2n+1；Sn=n2+2n（）由（）可知，Sn=n2+2n，Sn=，Tn=+=【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19如图1，在直角梯形ABCD中，ADC=90，CDAB，AB=
25、4，AD=CD=2将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示（）求证：BC平面ACD；（）求几何体DABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】计算题【分析】（）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出ACBC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，ADC是等腰Rt，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD平面ABC，所以ODBC，从而证得BC平面ACD；解法二：证得ACBC后，由面面垂直，得线面垂直，即证（），由高和底面积，求得三棱锥BACD的体积即是几何体DABC的体积【解答】解：（）【解法一】：在图1中，由题意知，AC
26、2+BC2=AB2，ACBC取AC中点O，连接DO，则DOAC，又平面ADC平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，DO平面ACD，从而OD平面ABC，ODBC又ACBC，ACOD=O，BC平面ACD【解法二】：在图1中，由题意，得，AC2+BC2=AB2，ACBC平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABC=AC，BC面ABC，BC平面ACD（）由（）知，BC为三棱锥BACD的高，且，SACD=22=2，所以三棱锥BACD的体积为：，由等积性知几何体DABC的体积为：【点评】本题通过平面图形折叠后得立体图形，考查空间中的垂直关系，重点是“线线垂直，线面垂直，面面垂直”的转化；等积法求体积，也
27、是常用的数学方法20已知圆C的圆心C与点A（2，1）关于直线4x+2y5=0对称，圆C与直线x+y+2=0相切（）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1，1），M（2，2），求的最小值；（）过点P（1，1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线的倾斜角【专题】直线与圆【分析】（）根据点与直线的对称性求出圆心，利用数量积的坐标公式即可求的最小值；（）利用直线和圆的方程联立，结合直线的斜率公式即可得到结论【解答】解：）设圆心C（a，b），则A，C的中点坐标为（），圆心C与点A（2，
28、1）关于直线4x+y5=0，解得，圆心C（0，0）到直线x+y+2=0的距离r=，圆C的方程为x2+y2=2设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x1，y1）（x+2，y+2）=x2+y2+x+y4=x+y2，作直线l：x+y=0，向下平移此直线，当与圆相切时，x+y取得最小值，此时切点坐标为（1，1），的最小值4（）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1=k（x1），PB：y1=k（x1），由，得（1+k2）x2+2k（1k）x+（1k）22=0因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得，同理，则=kOP直线AB和OP一定平行【点评】本题主要考查直线和圆的
29、位置关系的应用，结合直线的对称性和直线的斜率公式是解决本题的关键21已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E（1）求点E的轨迹方程；（2）若直线y=kx+m与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件推出轨迹方程为椭圆，即可轨迹方程（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则将直线与椭圆的方程联立，消去y，利用判别式以及韦达定理，通过数量积小于0，求出m、k的关系式，求出结果即可【
30、解答】解：（1）由题意知|EP|=|EA|，|CE|+|EP|=2，|CE|+|EA|=22=|CA|，E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为： （4分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则将直线与椭圆的方程联立得：，消去y，得：（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，0，m22k2+1 x1+x2=，x1x2= （6分）因为O在以PQ为直径的圆的内部，故，即x1x2+y1y20 （7分）而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=，由x1x2+y1y2= （9分）得：，且满足式M的取值范围是（12分）【点评】本题考查轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆位置关系的
31、综合应用，考查分析问题解决问题的能力22已知函数f（x）=lnxa（x1）（aR）（）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若不等式f（x）0对任意x（1，+）恒成立（）求实数a的取值范围；（）试比较ea2与ae2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；（2）只需求出函数f（x）在区间1，+）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数
32、值，然后利用函数的性质求解【解答】解：（） 因为a=2时，f（x）=inx+x1，所以切点为（1，0），k=f（1）=2所以a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2x2（ II）（ i）由f（x）=lnxa（x1），所以，当a0时，x（1，+），f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增，f（x）f（1）=0，a0不合题意当a2即时，在（1，+）上恒成立，f（x）在（1，+）上单调递减，有f（x）f（1）=0，a2满足题意若0a2即时，由f（x）0，可得，由f（x）0，可得x，f（x）在上单调递增，在上单调递减，0a2不合题意综上所述，实数a的取值范围是2，+）（ ii）a2时，“比较ea2与ae2的大小”等价于“比较a2与（e2lna）的大小”设g（x）=x2（e2）lnx，（x2）则g（x）在2，+）上单调递增，因为g（e）=0当x2，e）时，g（x）0，即x2（e2）lnx，所以ex2xe2当x（e，+）时g（x）0，即x2（e2）lnx，ex2xe2综上所述，当a2，e）时，ea2ae2；当a=e时，ea2=ae2；当a（e，+）时，ea2ae2【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想