1、2015-2016学年河北省邯郸市成安一中、永年二中联考高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知（sinxacosx）dx=3，则实数a的值为（）A1B1C2D22下列说法中，正确的有（）用反证法证明命题“a，bR，方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程至多有两个实根”；用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+31，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22；用数学归纳法证明+（nN*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为+，没有减少的项；演绎推理的结论一定正确；
2、要证明“”的最合理的方法是分析法ABCD3设，则|=（）AB1C2D4用4种不同的颜色涂下列区域，要求每个区域只能用一种颜色，且相邻的区域不能同色，那么不同的涂法种数为（）A84B72C60D1205C32+C42+C52+C1002的值为（）AC1003BC1013CC10031DC101316将8个不同的小球放入3个不同的小盒，要求每个盒子中至少有一个球，且每个盒子里的球的个数都不同，则不同的放法有（）种A2698B2688C1344D53767若离散型随机变量的分布列为X01P则X的数学期望为（）A2B2或0.5C0.5D18在一次测试中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2
3、，3），C（3，4），D（4，5），则y与x的回归方程为（）A =x1B =2x+1C =x+2D =x+19如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强10抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）ABCD112+22+23+25n1+a被31除所得的余数为3，则a的值为（）A1B2C3D412设随机变量XB（2，p），YB（4，p），若P（X1）=，则P（Y1）为（）ABCD1二、填空题：本大题共4小题，每
4、小题5分13已知某正态分布的概率密度函数为f（x）=e，xR，则函数f（x）的极值点为_，x落在区间（2，3内的概率为_14由曲线y=x2，y=x，y=3x所围成的图形面积为_15（1+x）2（x）7的展开式中，含x3的项的系数为_16设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r=_三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17在10件产品中，有2件一等品，4件二等品，4件三等品，从这10件产品中任取3件，求（）取出的3件产品中一等品件
5、数X的分布列和数学期望；（）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率18从1到9这9个数字中任取3个偶数和3个奇数，组成无重复数字的六位数，（）有多少个偶数？（）若奇数排在一起且偶数排在一起，这样的六位数有多少个？（）若三个偶数不能相邻，这样的六位数有多少个？（IV）若三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小，这样的六位数有多少个？19（）集合M=1，2，（m23m1）+（m25m6）i，N=3，1，MN=3，求实数m的值（）已知12=123，12+22=235，12+22+32=347，12+22+32+42=459，由此猜想12+22+n2（nN*）的表达式并用数学归纳法证明20已知展开式中各
6、项的系数之和比各项的二项式系数之和大992（）求展开式中二项式系数最大的项；（）求展开式中系数最大的项21广播电台为了了解某地区的听众对某个戏曲节目的收听情况，随机抽取了100名听众进行调查，下面是根据调查结果绘制的听众日均收听该节目的频率分布直方图，将日均收听该节目时间不低于40分钟的听众成为“戏迷”（）根据已知条件完成22列联表，并判断“戏迷”与性别是否有关？“戏迷”非戏迷总计男女1055总计附：K2=， P（K2k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635（）将上述调查所得到的频率当作概率现在从该地区大量的听众中，采用随机抽样的方法每次抽取1名听众，抽取3次，记被抽取的3名听众中
7、“戏迷”的人数为X，若每次抽取的结果相互独立，求X的分布列，数学期望及方差22甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；（）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率2015-2016学年河北省邯郸市成安一中、永年二中联考高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知（sinxacosx）dx=3，则实数a的值为（）A1B1C2D2【考
8、点】定积分【分析】利用定积分的运算求得（sinxacosx）dx=a+1，即可求得a的值【解答】解：由（sinxacosx）dx=（cosxasinx）=1a，1a=3，a=2，故答案选：D2下列说法中，正确的有（）用反证法证明命题“a，bR，方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程至多有两个实根”；用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+31，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22；用数学归纳法证明+（nN*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为+，没有减少的项；演绎推理的结论一定正确；要证明“”的最合理的方法是分析法ABCD【考点】反证法与放缩
9、法【分析】对5个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：用反证法证明命题“a，bR，方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”，故不正确；用数学归纳法证明“1+2+22+2n+2=2n+31，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22+23，故不正确；用数学归纳法证明+（nN*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为+，故不正确；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定是正确的，故不正确；因为，是含有无理式的不等式，如果利用反证法，其形式与原不等式相同，所以反证法不合适；综合法不容易找出证明的突破口，所以最合理的证明方法
10、是分析法，故正确故选：D3设，则|=（）AB1C2D【考点】复数求模【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解： =+2i=1i+2i=1+i，则|=故选：D4用4种不同的颜色涂下列区域，要求每个区域只能用一种颜色，且相邻的区域不能同色，那么不同的涂法种数为（）A84B72C60D120【考点】计数原理的应用【分析】若AD区域涂不同的颜色，若AD号区域涂相同的颜色，两种情况讨论其他区域的涂色方案，由分类计数原理可得【解答】解：若AD区域涂不同的颜色，A有4种，D有3种，B有2种，C有2种，共有4322=48种，若AD区域涂相同的颜色，A有4种，B有3种，C有3种，共有433=3
11、6种，故有48+36=84，故选：A5C32+C42+C52+C1002的值为（）AC1003BC1013CC10031DC10131【考点】组合及组合数公式【分析】利用=即可得出【解答】解：C32+C42+C52+C1002=1+C32+C42+C52+C1002=1+C42+C52+C1002=1+=1+故选：D6将8个不同的小球放入3个不同的小盒，要求每个盒子中至少有一个球，且每个盒子里的球的个数都不同，则不同的放法有（）种A2698B2688C1344D5376【考点】计数原理的应用【分析】由于8个不同的小球放入3个不同的小盒，要求每个盒子中至少有一个球，且每个盒子里的球的个数都不同，
12、则8个不同的小球可以分为（5，2，1），（4，3，1），根据分类计数原理可得【解答】解：由于8个不同的小球放入3个不同的小盒，要求每个盒子中至少有一个球，且每个盒子里的球的个数都不同，则8个不同的小球可以分为（5，2，1），（4，3，1），第一类为（5，2，1）时，C85C32C11A33=1008种，第二类为（4，3，1）时，C84C43C11A33=1680种，根据分类计数原理，可得共有1008+1680=2688种，故选：B7若离散型随机变量的分布列为X01P则X的数学期望为（）A2B2或0.5C0.5D1【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质先求出a
13、=1，由此能求出X的数学期望【解答】解：由离散型随机变量X的分布列，得：，解得a=1，X的数学期望E（X）=0=0.5故选：C8在一次测试中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x的回归方程为（）A =x1B =2x+1C =x+2D =x+1【考点】线性回归方程【分析】根据所给的这组数据，取出这组数据的样本中心点，把样本中心点代入所给的四个选项中验证，若能够成立的只有一个，这一个就是线性回归方程【解答】解：=（1+2+3+4）=2.5， =（2+3+4+5）=3.5，这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）把样本中心点代入四个选项中，只有
14、y=x+1成立，故选D9如图，5个（x，y）数据，去掉D（3，10）后，下列说法错误的是（）A相关系数r变大B残差平方和变大C相关指数R2变大D解释变量x与预报变量y的相关性变强【考点】散点图【分析】由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，由相关系数r，相关指数R2及残差平方和与相关性的关系得出选项【解答】解：由散点图知，去掉D（3，10）后，y与x的线性相关加强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小故选：B10抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【分
15、析】先求出所有可能的事件的总数，及事件A，事件B，事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率计算公式，可得答案【解答】解：设x为掷白骰子得的点数，y为掷黑骰子得的点数，则所有可能的事件与（x，y）建立一一对应的关系，由题意作图，如图其中事件A为“黑色骰子的点数为3或6”包括12件，P（A）=事件AB包括5件，P（AB）=，由条件概率公式P（B|A）=，故答案选：C112+22+23+25n1+a被31除所得的余数为3，则a的值为（）A1B2C3D4【考点】二项式定理的应用；整除的基本性质【分析】根据等比数列的前n项和公式先进行化简，结合二项展开式的应用进行求解即可【解答】解：2+22+23+25
16、n1+a=+a=25n2+a=32n2+a=（31+1）n2+a=31n+C31n1+C31n2+C31+12+a=31（31n1+C31n2+C31n2+C）+a1，若2+22+23+25n1+a被31除所得的余数为3，则a1=3，即a=4，故选：D12设随机变量XB（2，p），YB（4，p），若P（X1）=，则P（Y1）为（）ABCD1【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量服从XB（2，P）和P（X1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据Y符合二项分布，利用概率公式得到结果【解答】解：随机变量服从XB（2，p），P（X1）=1P（X=
17、0）=1（1p）2=，解得p=P（Y1）=1P（Y=0）=1（1p）4=1=，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知某正态分布的概率密度函数为f（x）=e，xR，则函数f（x）的极值点为x=1，x落在区间（2，3内的概率为0.1359【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】利用正态分布曲线的特点及3准则，即可得出结论【解答】解：正态分布的概率密度函数为f（x）=e，x=1，22=2，=1，函数f（x）的极值点为x=1，P（2x3）= P（1x3）P（0x2）=（0.95440.6826）=0.1359故答案为：x=1；0.135914由曲线y=x2，y=x，y=3x
18、所围成的图形面积为【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先确定交点坐标，可得积分区间，再利用定积分求面积即可【解答】解：曲线y=x2，y=x，可得交点坐标（0，0），（1，1）；曲线y=x2，y=3x，可得交点坐标（0，0），（3，9），由曲线y=x2，y=x，y=3x所围成的图形面积为2xdx+（3xx2）dx=x2+（x2x3）=故答案为：15（1+x）2（x）7的展开式中，含x3的项的系数为196【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出【解答】解：（1+x）2（x）7=（1+2x+x2），（x）7的展开式中的通项公式：Tr+1=x7r=（2）rx72r，分别令72
19、r=3，2，1，可得r=2，无解，3T3=4x3=84x3，T4=8x=280x，（1+x）2（x）7的展开式中，含x3的项的系数=2801+84=196故答案为：19616设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=；类比这个结论可知：四面体PABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r=【考点】类比推理【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切
20、球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为（S1+S2+S3+S4）rr=故答案为：三解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17在10件产品中，有2件一等品，4件二等品，4件三等品，从这10件产品中任取3件，求（）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）X可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，由此能求出X的分布列和E（X）（2）由P（X1）=P（X+0）+P（X=1）能求出取出
21、的3件产品中至多有1件一等品的概率【解答】解：（1）X可能取值为0，1，2，X服从超几何分布，X的分布列为X012PE（X）=（2）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率为：P（X1）=P（X+0）+P（X=1）=18从1到9这9个数字中任取3个偶数和3个奇数，组成无重复数字的六位数，（）有多少个偶数？（）若奇数排在一起且偶数排在一起，这样的六位数有多少个？（）若三个偶数不能相邻，这样的六位数有多少个？（IV）若三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小，这样的六位数有多少个？【考点】计数原理的应用【分析】解：（）先从4个偶数中选一个为偶数，在从剩下3个偶数选2个和从5个奇数中选3个，把这5个数全
22、排，问题得以解决，（）把所选的3个奇数，和3个偶数分别捆绑在一起，再全排，问题得以解决，（）把所选的三个偶数插入到所选的3个奇数所形成的4个空中，问题得以解决，（IV）所选的3个偶数共有6种顺序，其中三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小是其中一种，问题得以解决【解答】解：（）先从4个偶数中选一个为偶数，在从剩下3个偶数选2个和从5个奇数中选3个，把这5个数全排，故有C41C32C53A55=14400种，（）把所选的3个奇数，和3个偶数分别捆绑在一起，再全排，故有A43A53A22=2880种，（）把所选的三个偶数插入到所选的3个奇数所形成的4个空中，故有C43A53A43=5760种，（I
23、V）所选的3个偶数共有6种顺序，其中三个偶数从左到右的排练顺序必须由大到小是其中一种，故有C43C53A66=4800种19（）集合M=1，2，（m23m1）+（m25m6）i，N=3，1，MN=3，求实数m的值（）已知12=123，12+22=235，12+22+32=347，12+22+32+42=459，由此猜想12+22+n2（nN*）的表达式并用数学归纳法证明【考点】交集及其运算；数学归纳法【分析】（）根据交集的定义列出方程组，解方程组求出m的值；（）归纳法猜想得出12+22+n2=（nN*），再用数学归纳法证明即可【解答】解：（）由M=1，2，（m23m1）+（m25m6）i，N=
24、3，1，且MN=3，得（m23m1）+（m25m6）i=3，所以，m23m1=3且m25m6=0，解得m=1；（）归纳猜想，得12+22+n2=（nN*）；证明：（1）当n=1时，12=123，猜想成立；（2）假设n=k（k1，且kN*）时，猜想成立，即12+22+k2=，那么当n=k+1时，12+22+k2=+（k+1）2=，（kN*），所以，当n=k+1时，猜想成立；由（1）（2）可知，对任意的正整数n，猜想都成立20已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992（）求展开式中二项式系数最大的项；（）求展开式中系数最大的项【考点】二项式系数的性质【分析】令x=1可得，展开式的各项
25、系数之和为4n，而展开式的二项式系数之和为2n，从而可求n得值，及通项（）由上可得，n=5时，展开式有6项，则展开式中二项式系数最大的项是第3，4项，代入通项可求（）假设第k+1项最大，则解出k得范围，结合kN*可求【解答】解：由题意在中，令x=1可得，展开式的各项系数之和为（1+31）n=4n又展开式的二项式系数之和为2n4n2n=992，（）当n=5时，展开式有6项，则展开式中二项式系数最大的项是第3，4项，；（）假设第k+1项最大，则解得3.5k4.5，kN*k=4，为所求的系数最大的项21广播电台为了了解某地区的听众对某个戏曲节目的收听情况，随机抽取了100名听众进行调查，下面是根据调
26、查结果绘制的听众日均收听该节目的频率分布直方图，将日均收听该节目时间不低于40分钟的听众成为“戏迷”（）根据已知条件完成22列联表，并判断“戏迷”与性别是否有关？“戏迷”非戏迷总计男女1055总计附：K2=， P（K2k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635（）将上述调查所得到的频率当作概率现在从该地区大量的听众中，采用随机抽样的方法每次抽取1名听众，抽取3次，记被抽取的3名听众中“戏迷”的人数为X，若每次抽取的结果相互独立，求X的分布列，数学期望及方差【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列【分析】（）由频率分布直方图求得“戏迷”有25人，完成22列联表，根据22列联表
27、，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K23.0303.841，故没有理由认为“戏迷”与性别有关；（）由题意可知XB（3，），根据二项分布求得其分布列，数学期望及方差【解答】解：（）由频率分布直方图可知在抽取的100人中，“戏迷”有（0.02+0.005）10100=25人，“戏迷”有25人，22列联表如下：“戏迷”非戏迷总计男153045女104555总计2575100将22列联表中的数据代入公式：K2=，=3.0303.841，故没有理由认为“戏迷”与性别有关（）由题可知抽到“戏迷”的概率为0.25，由题意可知XB（3，）， X 0 1 2 3 P数学期望E（X）
28、=np=3=，方差D（X）=np（1p）=3=22甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；（）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】（）由题意知本题是一个相互独立事件，甲试跳三次，第三次才能成功的概率，表示甲前两次试跳不成功，而第三次试跳才成功，记出事件，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果（）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功，甲不成功
29、且乙成功，甲成功且乙不成功，三种结果，这三种事件之间是互斥关系，根据互斥事件和相互独立事件的概率，得到结果（）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次表示甲成功两次且乙成功一次，甲成功一次且乙成功0次，两种结果，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果【解答】解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“乙第i次试跳成功”为事件B1、依题意得P（A1）=0.7，P（B1）=0.6，且A1，B1（i=1，2，3）相互独立、（）“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独立，P（A3）=P（）P=0.30.30.7=0.063即甲第三次试跳才成功的概率为0.063（）甲、乙两支在第一次
30、试跳中至少有一人成功为事件C，解法一：C=A1彼此互斥，P（C）=0.70.4+0.30.6+0.70.6=0.88解法二：P（C）=1=10.30.4=0.88即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88（）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2），“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni（i=0，1，2），事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件所求的概率为P（M1N0+M2N1）=P（M1N0）+P（M2N1）=P（M1）P（N0）+P（M2）P（N1）=C210.70.30.42+0.72C210.60.4=0.0672+0.2352=0.3024即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.30242016年9月14日