1、第六章数学解题巾的思维方法与战术构想思维方法是解题的先导学科方法与类型解证法是解题的具体实施通常我们所说的解题方法与技巧往往是在正确的思维方法引导下灵活运用学科方法、类型解证法与数学知识的结果数学三法”是解数学题的思路、方法与技巧的源泉总而言之,解决数学问题如同打仗样,也应讲究点战略战术.从思维过程分析任何数学问题特别是综合题的解决都不是运用单学科方法可以奏效的常常是类比、归纳与直觉起发挥作用,它们之间的关系是“剪不断、理还乱”.罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段结论预告须知并诱导解题方法”.解题方法实质就是沟通已知与未知、条件与结论的过程,借助杜甫的诗句:“野色更无山隔断山光
2、直与水相通”这就是解题方法的“功效”所产生的意境数学解题用线路图可表示为u知条件隐含条件中间结论（可知）卜引已测条件的等价转化广待求（证）的结论卜结论的等价转化（需知）卜巳巳笑日士士司三个较为复杂的数学问题的已知条件和待求（证）结论可能来自两个完全不同的领域,初看起来似乎它们之间缺乏联系甚至毫无公共之处好像两座高山,中间无路可通,但是通过分析可以找到它们之间的联系采用正确的解题方法实施两者之间的转化,这种转化可以是单向的,也可以是双向的甚至需要多个转化这正是数学解题的整个过程中思维方法与战术构想的作甩第一节化隐为显催生思路根据G.波利亚的解题理论,个数学问题的求解过程分四个阶段,他指出:“我们
3、必须了解问题我们必须清楚地看到要求的是什么.其次,我们必须了解多个项之间有怎样的联系未知数和数据之间有什么关系.为了得到解题的思路应该制订个计划.第三实现我们的计划.第四我们回顾所完成的解答对它进行检查和讨论.概括起来就是个数学问题的求解过程分四个第矣章魁檬解题中的思掖方膝与戚术构想阶段:（1）弄清问题;（2）拟订计划;（3）实现计划;（4）回顾G.波利亚还指出:上述每阶段都有其重要性,般说来在尚未看到主要联系或者当未做出某种计划的情况下,去处理细节是毫无用处的.”这段话的核心思想是,解答数学问题前两个阶段非常关键他强调:回答个你尚未弄清的问题是愚蠢的”“弄清问题”就是我们通常讲的解好数学题审
4、题是第关.审题又分两阶段:“熟悉问题和“深人理解问题”.“熟悉问题是分清问题中数据、条件是什么要解决怎样一个问题大致上涉及哪些知识,属于哪个数学板块.“深人理解问题”就是要弄清问题所给的条件、结论的实质,将已知条件提供的信息与要解决的问题之间的联系找出来通常这是哪种类型的问题这类问题的常规解法是怎样的还有没有必须进步思考的方面,能不能设计出个较为理想的解决方案.如果个数学问题已知条件很显露与结论之间的联系也容易找到解答当然也并不困难,如此幸运当然是求之不得的,跳过所有的预备步骤岂不更好?但实际情形往往并非如此许多数学问题中的条件不很明朗而是隐藏着什么与结论之间的联系下子无法找到解题计划也难拟订
5、所以要特别重视挖掘数学问题中的隐含条件使其明朗化才能求得对问题的准确理解和正确分析也才能作出正确的推理所谓隐含条件是指题设中若明若暗含而不露的已知条件,常常隐蔽于题设的背后极易被忽视,从某种意义上说解数学题的过程就是在题中不断挖掘并利用其中潜伏的隐含条件进行推理和运算的过程数学题中的隐含条件花样繁多,但从内在结构特点划分有如下四种类型:（1）制约型隐含条件,（2）补充型隐含条件（3）导向型隐含条件,（4）综合型隐含条件.不管哪类隐含条件,对解题的干扰都很大常导致解题失误.通常我们所讲的“难题”,题目的难度般与获得隐含信息的难度成正比,因此,道数学题尤其是结构灵活抽象多变的“难题”,能否正确、迅
6、速、合理地获解化“隐”为“显”才是“难题”获解的坦途.那么如何才能化“隐”为“显”呢?平常我们所谓的解题高手不外乎思维敏捷且经验丰富、知识全面且善于挖掘和变通如果对数学问题相关知识贫乏,则根本不可能产生解题的“好念头”,G.波利亚说:“个好念头的基础是过去的经验和已有的知识.数学上的通识、通法掌握得扎实与否是化“隐”为“显”的前提同时还需要有敏锐的观察力,关注平时不被注意的方方面面多角度、多层次展开变通思维,拓结构、挖“模型”化“隐为“显”是完全能够做到的.厕已知3sin:2sin22sin试求sin:sin阅的取值范围解题策略:在本例的解法中,对隐含条件sin1,sin1一般还能注意到而对已
7、知等式3sin22sin22sin的限制条件却疏于考虑而产生错解,事实上,由原式2sin22sinO3sin:0有0sin并非为1sin1.O解;利用已知等式消元,副n:副n:-（2smsn:）（snl）因为2息:23si婴0且sm,所以有0:4故正确结果应为0,万.l183曹正兴高中毅檬解题方腋令【团固在锐角ABC中,已知百tanAtanBtanAtanB百求sinAsinB的取值范围.解题策略:下面首先给出本题的一种解法:由百tanAtanBtanAtanB百得百尸w坚4.坠些旦-垒鉴垒哩,tanAtanB tan（AB）tanC1tanAtanB会一-所以C等,于是AB孕,ddmA瓢nB
8、-副Asm（?A）-;瓢nA窖佰sh（A昔）闽为ABC是锐商三愉形所以0苛则A等谱瓢（A）所以窖smA副nE厄上述解法看上去天衣无缝,实际上对ABC是锐角三角形与AB车之间的关系的挖撼还不够闽为B-等.且0A昔.0B昔测等这里A就是由ABC是锐蔚三角形及B守挖掘出的一个隐舍条伟tanAtanB1tanAtanBtan（AB）tanC.解:由凋tanAtanBtanAtanB面得百所以C-等,于是AB孪Od又因为ABC是锐角三角形所以0A昔0B苛则八?晋-丁是昔萧A?,从而窖血（A）1所以;sin八sinB佰匝巳知0蕊,0派,且c。scsc。s（）求、的值解题策赂:本例直接运用所给条件妥获解是困
9、难的因为结论要求的是、两个未知数一般情况下,求解两个未知数的问题应有关于、的两个独立关系式而题设中仅给出一个故可预想本题若能解则其中必然隐含关于、的某种关系.解决本题的关键就是要在现有条件中挖掘隐含的另一个关于、的关系式,而且是在解题过程中从对结构特征的分析而挖掘出来的.本题重妥的是解题者妥善于从各个侧面、多个局部以至整体结构上去剖析挖掘对解题有益的特殊属性.解;由c。爵圆）;oo184。第么聋敷誉解题中的思箍方腋与战术构慈得罕c爵宁c。富,半l;-0即4cs字字c爵宁1-0画o式可看作c。s字的元二次方程此方程有实根.-6c隐罕60得c。s罕,但co息字1所以cos!罕l,因为昔罕所以0,即
10、-队代人o,得-l,故-厕已知两定点A（03）B（30）和抛物线C;工2加工1当!为何值时抛物线C与线段AB:（1）有两个不同的公共点;（2）仅有个公共点;（3）没有公共点.解题策赂:方程问题仅仅与判别式、韦达定理结合起来是不够的,还妥对隐含的存在性条件进行挖掘如果机械地运用判别式即把AB作为直线来讨论势必扩大了限制范围使解答出工y30（在工y工2mx1巨03、ye（）3条件下有解或无解.3问题（1）相当于方程有两个实根,问错.本例的存在性条件是 方程组）J（103m）0任03日（日程、万得即工去消实根问题（3）相当于方程没有实根.题（2）相当于方程有一个（5加）24（103m）0,解;山硒个
11、公您峰件蜡毫测宁早撬0ly21039,解得枷巨（;.等（2）仅有个公共点的存在性条件有两种情况:（0,抛赡与鳞戳瘫上叫镶宁霉蔚解儒濒3抛物线与线段AB只有个交点.（0（0解得（也可巾即032.解,或朗j芦）,（31）（y23）0.185玄正普葛中魁誉解题方腋令（!匡!或!）丢解碍）故-:或?（3）没有公共点的存在性条件讨论,既可按类似的讨论进行,也可直接由（1）和（2）的补集,推知!3.第二节退中求进以进求退华罗庚先生指出:“善于退足够地退退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的个诀窍.”我们讲数学问题的“退”可以从般退到特殊从复杂退到简单、从抽象退到具体、从整体退到部分、从较强的结论退到
12、较弱的结论、从高维退到低维退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系先解决简单的情况、先处理特殊的对象再归纳、联想、发现般性,这种解题方法可喻之为投石问路”.把“退”为简单的情形作为考查的起点,在解决简单情形下的问题的过程中觅得解决般情形的途径.进退不能割裂、进而有退、退不忘进,这种解题策略的实施过程可用三个字概括:“退变进”,根本点在于最终解决那个难度较高的问题厕已知是等差数列且满足等式.2硼:C鼎C（nN“）.试求出这个等差数列的通项.解题策赂:本例是一个有关正整数的命题上述等式对任意正整数都成立,可先退到特殊情况,即取正整数的一些较小的值（1,23等）进行探索通过观察归纳发现规律,然后
13、猜想结论,最后迸到一般即证明在一般情况下命题仍是成立的,这是先退后进的解题策咯解:1时等式为1.2lllC,可求得l1.2时等式为222l1.C2C;,可求得22.3时等式为3.23l1C2。C!3C;可求得33.4时,等式为424 l1 C2C;3Ci4Ci,可求得44.以此类推,般地可猜想厕.下面证明:当时等式2lC2C:（eN）成立设S2C:（抛1）ClC爵,O则SC（1）Cl2C:由组合数的性质得SC（1）2C2C册l.得2SCC册C:C刊lC册（C舟C:ClC）。2 所以S。2-l.即.2lC册2C:C册（eN;）,故.例g设数列（与b）的通项公式分别是2632将它们的公共项从小到大
14、列成186第么素魁檬解题中的思掖方膛与战术构想新数列（c厕）求C）的前项和.解题策略:先将所给数列（）与6的前若于项一一列出找出它们的公共项中的前几项.由这几项进行分析探求C的规律得到一个猜想这个猜想是在特殊情况下得到的进而妥证明在一般情况下是否成立.解:由题意可知）的前项是2,4,816,3264,128,256,.6的前项是58,1114172023262932（即被3除余2的数）.由此可知,数列c的前三项是8,32128.回到数列中不难发现（c）的项可能是）中除去前两项的所有奇数项构成以8为首项、以4为公比的等比数列.对此猜想证明如下:设数列C厕中的第项在）中是第m项,在6）中是第虎项由
15、数例C）的定义可知Cl8故有c2咖3k2.则）中的第加1项为砸l2咖l22咖2（3陶2）3（2卢1）1.显然狮l不是数列（b中的项,从而不是C中的项而）中的第加2项为咖2224.2砸4（3虎2）3（4k2）2.显然它是数列b.中的项,从是中的第十颐.且等-等4故c）是以8为首项4为公比的等比数列,且其前项和为S厕8（221）3已知尤穷数列鳃满足-2数列（）幽.是各项和等于24的无穷筹比数列,其中常数b是正整数（1）求数列）的通项公式;（2）在无穷等比数列b）中bll,b22试找出个b的具体值,使得数列（b厕）的任意项都在数列）中;试找出个b的具体值,使得数列b厕的项不都在数列（）中,简要说明理
16、由;（3）对问题（2）继续进行研究,探索当且仅当b取怎样的值时,数列（6的任意项都在数列（）中,说明理由.陋解题策赂:本例是一道探索性问题第（2）问与第（3）问是递进的,第（2）问通过尝试和验证的方法先试验个别特殊的整数,第（3）问由此进而猜测一般的可能性再给出相关的证明.可见第（3）问是完全建立在第（2）问的基础之上的,在特殊中总能发现一般性的端倪.犯解;（1）因为数列（昔）徽.为儿穷等比数列,所以它的各项和为（备,.厂1罗2b11又因为）（乙（l（翰187曹正妥高中魁檬解题方怯令所以lb2（1）b.（2）.2（l）.b鹏2（学厂 如取b2则62删22l 而2,所以b2l 在数列（）中如取6
17、1则63不在数列厕）中.（3）当b取奇数时,设b2克1（虎巨N）,则63不是整数,所以b3不在数列）中;以此类推当6为奇数时b）中的任意项都不是）中的项当b取偶数时设b2虎（虎eN）（b）中任意项都是（中的项证明;b.-2（午厂2（叶l）同2（C隙!-淤C口）22陶（Clk2Cl陀厕3C;1）1是（）中的第Cl虎 2Cl卢3C1项第三节枚拳与筛选在解决问题时把所有可能的情况不重复又不遗漏地列举出来称为枚举在这个过程中重复的和不合要求的要除去遗漏的要找回来,称为筛选.枚举与筛选的方法尽管古老简单、朴实无华但它仍然是科学研究中常用的种方法.在数学解题中当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过
18、程）,而当暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时就不得不采用逐检验这些答案的策略即利用枚举与筛选的策略来解题在采用枚举与筛选法解题时,重要的是应该做到既不重复又不遗漏皿已知数列、（b,）都是公差为1的等差数列其首项分别为1、61,且1615!、6eN 设Cb（巨N）,求数列C厕的前10项和.解题策略:本例适宜用穷举法,把可能情况一一列举出来进行研究以Cb来考察进而求C厕的前10项之和.此法虽显得“笨拙”但却是数学探索中常用的方法若穷举的过程是分阶段的这时候的穷举法又称树图,很清晰.解:由题设lbl5,l、6leN 可将适合条件的可能情况列举出来.共有4种情况:f二h;二;门下顾逐险验
19、;o当1,bl4时b3,C3.10（4l3）Sl0（.lC2Cl04十5十l385.2当l2bl3时1bn2C厕测2.10（3l2）S10ClC2C103十4十十l285.2当l3,bl2时2b1C.188。第么命魁檬解题中跪思推方腋与咸术构忽10（2l1）Sl0c1C2Cl02十3寸-十1l85.2当l4,bl1时,36厕.C.10（110）Sl0C1C2Cl0l十2-十l085.2因此,无论哪种情况均得到数列C）的前10项和为85.陋丽个小于400的三位数它是平方数,它的前两个数字组成的两位数还是平方数,其个位数也是个平方数.求这个三位数策咯即依据题中限定的条件面对枚举出的情况逐步的三位数
20、.解题策赂:可采用枚举与筛选并用的排除不符合条件的三位数确定满足条件解;本题共提出三个条件:o个小于400的三位数是平方数;这个三位数的前两位数字组成的两位数还是平方数;这个三位数的个位数也是个平方数.先找出满足第个条件的三位数:100,121,144,169,196,225,256,289,324,36l.再考虑第二个条件从中选出符合条件者:169256,361.最后考虑第三个条件,排除不符合条件的256于是找到答案是169和361第叼节牙谐吴、对称美、简单美奇井美从表层看,数学是门非常抽象的学科冷冰冰的数字和奇特的符号语言使不少学生感到枯燥乏味甚至望而却步,哪来美的享受!数学中的美究竟美在
21、何处?数学是在社会实践中产生的也是人做出来的数学的思考过程必然打上人文的烙印,数学意境和人文意境之间是彼此相通互相借鉴的.人们常说:“数学是思维的体操.”体操是讲节奏的当然有美的呈现数学美就是“数学中存在的美,它是纯客观的,哪里有数学哪里就有数学美存在,和谐性、对称性、简单性、奇异性就是数学美的内容,也有学者进步提出了“数学美因说,简单性、对称性、比例性、抽象性、逻辑性、协调性、普适性、新颖性等仅是数学对象中存在着的美的因素即数学美因.它们是存在于数学对象中,能够在数学审美活动中被感知并引起主体美感的客观品性数学美只能在客体存在数学美因的基础上经过主体的审判活动并产生美感的全过程中显现出来.概
22、括地讲:数学美是种理性美、智慧美、具有最纯净的思辨特征在人的思维活动中闪烁高中数学解题中主要体现出的是和谐美、对称美、简单美、奇异美厕若都垦正数.求证;感留雕十:宁顾午振宁豆189零正妥高中盛檬解题方腋令解题策赂:欲证公式为一个广义的二次齐次式,也是一个关于字母、6、C的轮换对称式故利用化整为零法来证明此不等式即分三段来证,体现了内在的和谐与统一证明;欲证原不等式即证;,j,宁:牛.半倾牛瓦匡卫质即可分别证明如下三个不等式:j:宁顾,宁.牛低.寺宁五而要证,芋宁丽.则寻找适当的媒介不等式因为“e,所以宁倾（竿）;宁丽瓦于是（宁）!（午）:（宁）,宇俩罕瓦宁厄而因为（字）i所以膀您:（宇）;（午
23、）（宁）;成立这样原不等式定成立.哑如图61所示线段AB8点C在线段AB上,且AC2P为线段CB上动点点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP工CPD的面积为（工）,则（工）的定义域为;（工）的零点是D尸ACPB图61解题策赂:旋转法体现了图形的和谐之美通过旋转把题中内在的变化挖掘出来有助于理解问题的内解:由已知由已知C涵,有助于使问题获解ACD2,由CP工故PBPD6工在DCP中;娟二解德得寇义1鞭6堑2设DCP-0则S寺.2副n-0,cos022工2（6工）23工822工Z所以shl婴,l（38）-8（露ar8）2工因此s28（工26工8）,故（工）8（工26r干百丁.因为（工
24、）的零点即为（工）取最值时的工的值此函数为单峰函数190第出聋魁椽解题中伪思掖方臆与威术构想故（工）max（3）故零点为工3.顾如图62所示在直角坐标系虹oy点P（1,）到抛物线反C;:2p露（户0）的准线的距离为点M（谜l）是C上的定点A、B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分（1）求户、t的值;（2）求ABP面积的最大值工图6-2解题策略:本例中点关于点对称问题是以线段（弦AB）的中点的形式给出称之为中点弦问题这类问题有两种解题思略,一是联立方程组消元得一元二次方程运用韦达定理;二是占 Q、的表达式最后由ABP面积差法本例用点差法找到弦的斜率,再利用方程组写出弦长AB的解析式求最大值.
25、山;所鹏叶2江1,设A（工l yl）,B（工2y2）线段AB的中点为E（mm）,设直线AB国!茸:解:（1）的斜率为虎（虎0）.（2）11o得（yly2）（yly2）工l工2,故虎yly2工l.冗2Jly22m.所以直线AB的方程为-六（砸咖）,即厂2恤2狮啊（r2mV220,得）22D2!20,由,.工,（4m4m20,所以测-:抛,从A凰-1六;-十:4狮4枷（yly22加2泥。O122m2设点P到直线AB的距离为则I干I7F设ABP的面积为s则s-A月.剧-狮顺了.广2狮2狮厌伪-4加咖0.得0狮1,令酗-狮咖.故（）酗则s（“）-舰（l助）.闲为s（“）-l咖:-0得鹏-窖巨（0.所以
26、s-s悟）-窖.所以ABP而帜的最大值为等o191零正兴高中毯管解题方怯令书厕已知直线过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在工轴正半轴上,若点A（1,0）和B（08）关于的对称点都在C上,求直线和抛物线C的方程.解题策略:数学的对称之美充满了整个数学世界本例给出的是关于直线对称（轴对称）问题在处理解析几何问题时妥充分利用对称条件引入对称点坐标参数是简化解析几何复杂计算的妙法.解:设的倾斜角为0则的方程为）tan0。工.设B、B关于对称（如图63所示）,BB与交于点M,则二BOM900,BOr9020从而B的坐标为（8sin20,8cos20）.同理点A关于的对称点A的坐标为（cos20sin20
27、）.再将A、B的坐标分别代人y22户工得82cos2202户.8sin20,sm:262P.（cos20）,解得tan3208,即tan202.O工图6-3即凰n-竿则-茄故的程为测-芋墅抛物线方程为则:-竿延囤设F是椭圆芋芳1的右焦点.且椭圆上至少街2个小同的点P（-l,2）使FPl,FP2,FP3 组成公差为d的等差数列,求的取值范围.解题策略:由于圆锥曲线是轴对称图形因此在解答圆锥曲线相关问题时,若能灵活运用对称思想方法可获得完善、准确的结论.解:注意到椭圆的对称性及FP 最多只能两两相等.可知题中的等差数列可能是递增的,也可能是递减的但不能为常数列即创0.先考虑般情形由等差数列的通项公
28、式有Fp Fpl（1M（eN）因此门1FP FPld对于卿峰蔗1（b0）,典焦半膘的最大值是侧值.最小值是倒c（其中-F万百）.当等差数列递增时有FP cFPlc.从而FPFPl C（C）2C.再由题设知c1.且2l故211;闪此0d击同理,当等差数列递减时,可解得六副0故可求d的取值范阀为卜六0）0（0.六阿已知r、N巨R,工22r23时求工的最大值与最小值.192。第么章魁管解题中的思榷方幢与威术构慈解题策赂:本题若能挖掘并灵活运用条件与工y的隐含的对称性则解答过程会变得生动又简捷.解:工22工y23的图形是圆（工1）2y24既是轴对称图形,又是中心对称图形.设工y6.由式子工y 的对称性
29、得知Zyb的图形是关于原点、工轴、y轴均对称的正方形如图64所示当b变化时图形是个正方形系每个正方形四个顶点均在坐标轴上于是问题就转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时求6的最值问题.当61时,正方形与圆没有公共点;当61时正方形与圆相交于点（10）若令直线延b与圆（x1）224相切则1三b,管,、二P 同.】汕乡扩、飞夕夕、飞夕飞、四、图642解得b12Z因此,当b12面时正方形与圆相切;当b12】时正方形与圆没有公共点.故工 的最小值是1,最大值是12z腕I在平面直角坐标系工Oy中已知椭圆c的中心在坐标原点对称轴为坐标轴且过点M（42）,N（百3）（1）求椭圆C的方程;（2）设椭圆C上的任
30、点R（工00）从原点O向圆R:（工工0）2（yy0）28作两条切线分别交椭圆于点P、Q试探究OP2（2是否为定值,若是求出其值;若不是请说明理由.解题策略:由于椭圆方程为标准方程过两个已知点并不清楚焦点在工轴上还是y轴上故可设为mr2!21（n00,m）这样可达到简化运算的目的.因为任何一个字母都具备成为参数与变量的双重属性所以要通过对方程形式和特征的观察、对比和研究来把握问题解决的关键.本例设计的奇异之处是圆心R（工0y0）在椭圆上滚动.从原点（）出发的圆的两条切线始终在变动与椭圆的两个交点P、Q也始终在变动.由于是椭圆,oP、四的长度也始终在变动.OP2（2可能为定值吗?这是一个值得探究的
31、问题,从探究中破解这个综合题.解:（1）由题意设此椭圆C的方程为砸2y21（加00!）.由椭圆过点M（42）、V（53）.164-l解之得狮-六面1可得6加9,所以所求椭圆C的方程为箭盖-L（2）当直线OP、（与坐标轴重合时易计算得OP2四236.（先探究特殊）当直线OP、（的斜率均存在时如图65所示.几L图65193蓬上普葛中魁檬解题方彼令不妨设直线OP:y陀lZ（:y虎2工.（再探究般）依题设谭2r化简得（蔬儡）隐2!流鼠-同理有（工;8）虎;2工0y0陀2y;80.所以克l、龙2是方程（工;8）虎22工0y0卢y;80的两个不相等的实数根.所以雕-;124百工01因为爵翟-,所以诡-:端
32、,所以您废-工;82.设P（鞭,）Q（鞭叫）则笺沁;-涎恋i簧器-12y釜12Trl,因为封所以煮羞器-,;-l2逸即2甄）2昔滤）r糙故戏雾;鳃M测!-1a所以OP2OQ236.综上,不论点R（z0y0）在椭圆何处始终有OP2四236为定值在平面直角坐标系工O）中若在曲线Cl的方程F（工,y）0,以（入工入y）（为正实数）代替（工,y）得到曲线C2的方程F（工入y）0.则称曲线Cl C2关于原点“伸缩”变换（工y）（入工入y）称为伸缩变换”称为伸缩比.（l）已知曲线的方程为子-l,伸缩比入-2求c关于原点伸缩变换后所得曲线C2的方程;（:）射线的方程-祭（甄）卿果椭圆C;斋千-l经神缩变换后
33、得到椭圆C2.若射线与椭圆Cl、C2分别交于两点A、B且AB百,求椭圆C2的方程;（3）对抛物线Cl:y22户lz作变换（工）（入lrly）,得抛物线C2:y22户2工对C2作变换（工J）（入2工,入2J）得抛物线C3:y22户3工如此进行下去.对抛物线C:y22户厕工作变换（工,y）（入工,y）得抛物线C1:22户l工.若pl1,（）.,求数列的通项公式户陋解题策略:本例首先给出一个新的数学定义.让你在这一新的定义下探索,求解一系列问题.解答的关键是迅速“吃透”定义的含义本例正是从学生可知或能知的领域采濒素材设计并向性良好具有奇并色彩的图像“伸缩变换问题.本例的难点在第（3）小题.然而一系列
34、的变换必有规律可循,找出规律运用累力口法或迭代法必能求出通项公式.o194第么聋骚誉解题中哟思掖方膛与威术构慈解;（l）由条件得竿竿-1器且些、（得（2）因为C:、C关了原点伸缩变换,对C作变换（甄则）（塑川）0）得到C;守十-夸恋（0）解方程组割22棍点A的坐赫为（竿乎）;荒1-争（恋0）,解方程组得点B的坐标为（等.等）票竿-l,（响日呐趴（冗乙2】1Z化简后得3入28入40,砸句。狮趴）AB解得-2几:-因此椭厕C的方程为子y或荒-L22（3）解法:对C:y22户工作变换（工y）（工,入厕y）得抛物线C测l:（儿y）22p工,得:-等堑,又因为广2,所以厂芳,即贺-六-2得贵.贷.议.些
35、-2醉野,户2户1贝瓮-2糕竹2囚为诊!-l所以蹿2解法二:同解法得户nl2厕户则户测2l户厕l2测l 2厕2P22（厕l（厕2）2l户l2（l）。户l 而Pl1,所以户2（l）第五节反例、倒溯、直觉在数学解题中,要判断个命题成立必须严格地论证在所给的条件下能逻辑地推导出结论,即对于真命题定要证明它.而要判断一个命题错误十分简捷而又极具说服力的办法是举出反例反例通常指与命题相矛盾的特例即对于假命题只要举出反例就可以确认.反例的构造非常灵活,需要调动我们全部的数学功底并充分展开想象然而反例又必须符合规范数学中的反例,是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子.从功能上说反例就是个指出某命题
36、不成立的例子举反例是种说明“某命题不成立”的特殊方法好的反例意外地简单、优美而奇异正如盖尔鲍姆所言:“个数学问题用个反例予以解决给人的刺195。曹正妥高中愁檬解题方腋令书激犹如出好的戏剧”所以反例与证明是形成数学理论的两种具有互补性的手段,反例用于剔除有误的理论证明用于证实理论进而丰富数学理论宝库个假命题的反例有多个在举反例说明某个命题不成立时只需选其中个就够了.爱因斯坦有言:“大量实验不能证明我是对的但次实验就能证明我是错的.这其中蕴含的思想就是所谓的反例证明思想或通过举反例来证明命题不真的方法在探索数学问题的解决途径时,是将已知条件为出发点二是以要求的结论为出发点.这是两种不同的解题思路,
37、而后种即从结果出发向已知条件进行反向探索,这种解题方法称为倒溯法又称逆推法.倒溯法用于探索证明途径时也称为分析法个数学问题,当已知条件中信息太多彼此错综复杂难以发现它们与结论之间的联系;或是已知信息比较隐蔽,不容易找到突破的关键信息此时采用倒溯法常能获得意想不到的效果倒溯法从结论出发进行反向思维先思考要获得这个结论需要哪些条件或思索由什么条件可以获得这样的结论,然后看看这些条件是否已知若已知就不用再探究而对于其中尚未能与已知条件相合的必须再次重复上述的思考过程将这些条件作为结论的中间结果称为中途点,继续思考又由什么条件可获得这中间结论这样直至所溯的条件与已知条件全部吻合时为止解数学问题还需要靠
38、直觉直觉思维与逻辑思维同等重要,法国数学家庞加莱指出:“逻辑是证明的工具,直觉是发现的工具”英国数学家哈代指出:数学家通常是先通过直觉来发现个定理;这个结果对于他首先是必然的然后他再着手去制造个证明.”数学直觉是具有意识的人脑对数学问题的某种直接的领悟和洞察是指对数学问题中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟能够越过逻辑推理而做出种种预见的能力.数学直觉思维体现了对数学问题及其解答过程的本质的理解直觉不是靠机遇”直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础,通过联想迸发出思维的火花其思维过程是观察联想发散观察是智力的个重要因素在数学解题中作用十分明显是解题的向导,
39、分析的基础,观察数据寻找突破;观察结构确定方法;纵观整体细察局部;观察结论,联系条件,观察全题挖掘隐含条件在观察的基础上直觉开始上位,开展广泛的由此及彼、由表及里的联想联想出智慧新奇的联想往往使解题别开生面妙趣横生.但光有联想还不够要把联想熔发散性思维与聚合式思维于炉.发散就是面对问题时思维多向展开扩散形成条条不同的思路得到多种不同的解题途径.例1已知数列满足:l?（若61求!所有可能的取值解题策略:本题的数列递推公式是分段的而且已知6求l 采以入于或有多种情况需妥讨论若换一个角度思考即用倒溯的方法,条件加、为正整数否则递推中止这就是倒溯法的奇效.求l 采似乎难推注意用的是逆向设问根据递推公式
40、逆推196第出章盛檬解题中的思掖方腋与威术构想解:65432l;一-;.故枷所有可能的取僧为21-241-2-4。网已知、b、C是不全相等的正数且0工1.求证;l隆罕og愿牢l。g牢lg药l魁b险臼解题策略:本题若用）页推则无法轻松获证芳用倒溯法（逆推法）则证明过程简洁得多.证明;要肚铡l。凰早l。g午l。肆午l。隆l。凰bl。凰只需耍证明o凰熙.罕.午。凰（6儿由已知0藤1.只需证明宁.hf.宁b。2由公式知宇0,午烦0宁征因为不全州等三述二式相乘得中.止.宁砰2即罕.hL.罕b诚立白2所以隆宇十g厦牛g噎罕g纠6。凰c成立阿在M圈C中A为定角,且2“求证;六六凰b!叭3解题策略:作为条件等
41、式的证明结论较为复杂,而条件与结论之间的关系又不明朗启用倒溯法求A,可能会方使一些.当然作为证明题,有时还需倒溯与顺推结合起来也就是分析法与综合法相结合通常为以分析法进行分析,以综合法给出证明.证明:所证式可变形为（2bC）（6C）3（b）（C）.即b:囤-.办即:荒二-因此只镭证丝八-6帆下面改为顺推法:由正弦定理可得志si古C愚i:A,是爵m典nc:爵mA2结合条件b2凰.即去lBCBCA2cos百cosBC2sm得sinBsinCh二1即2sinA2COS9八吕且即也O吕八】几吕吕划儿吕二197。曹正普高中魁檬解题方催令0,化简得c。s旦亏旦2sn因为乙八为定角.上式丘边有最大值2sm（
42、定值）但这个最大愤廊为.所以2sin!l,所以A60.阿已知b是方程鞭:虹l0的两个恨,不解方嚼求六六的值、b直觉告诉我们!4Z10的两个不等的实根不解方程求解题策略:、b是方程工2必定是应用方程根与系数的关系即韦达定理,印提示我们必须把所求代数式变形为bb的形式则问题即可完解.（b）2解因为六六-（工）;）b（）64代人上式.得由韦达定理得b.（b）242击六-h（“b）l1第斗尹亏F横看戌吟侧成峰宋代大文学家、书法家苏拭的首名诗题西林壁:横看成岭侧成峰远近高低各不同不识庐山真面目只缘身在此山中.这首诗是“以议论人诗”的典范,诗中清楚地指出对于自然风景,仅仅“人内是不够的,不能认识事物真面目
43、恰好因为身处此山之中这富于哲理性的名句,对于数学解题是有所启发的.启发之:分析个数学问题可以从不同的角度去看待,视角不同对问题的认识也就不同设计的解题方案自然也就不同比如我们游览泰山在山脚上仰望泰山是何等雄伟高峻、直插云霄当我们登上泰山的最高处就会产生杜甫诗句“会当凌绝顶,览众山小”的感受.数学知识之间本来就是相通的面对个数学概念、种数学思想都可以从内外两种角度进行观察.数学解题要从整体上看清楚问题即从外部进行欣赏.删却枝蔓远远望去留下的是幅美丽的情景“图画解答当然要讲究策略技巧讲究逻辑严谨步步推进这是人乎其内的“书写,.启发之二:数学讲究意境数学不拒绝欣赏.对数学必须出乎其外地考察与人乎其内
44、的思维相结合数学就是在人内解题和出外欣赏之间的不断展开中完成理性的升华.丽证明;函数（延）log3（1工）的图像与g（工）log2工的图像有且仅有个公共点.解题策赂:证明此题需妥分两步进行.第一步证明存在性由log3（1工）log2工不同但有解工2是容易发现的.问题是只有这个解吗?所以第二步证明解的唯一虽然底数性.从方程角度看有难度但若运用函数的单调性则易得方程除了有工2这个解之外是不可能有其他解的.。198第矣聋魁管解题中的思掖方膝与威术构想证明:（工）log3（1工）g（工）log2r要证明两函数的图像有且仅有个公共点.等价于转化证明方程log3（1r）log2工有且仅有个实根,观察上述方
45、程显然有（2）g（2）则两函数的图像必有交点（2,1）.设（工0y0）（工02）是函数图像的另个公共点.则log3（1r0）log2工01工030 r02y0,所以12测030即（;,（）沁l令M（题）-（）颈.可见此为指数蜒啊数.显然M（工）在（,）内是减函数且M（1）1,故方程（丫（:）酬-!有唯解-l从巾咖-2,与塑舰:矛盾,故两函数图像仅有个公共点.腕】若关于延的方程晶-险有四个不同的实数解则取值范阔为（儿八（0,）B（士）C（,函）D（l.）解题策赂:本题直接从关于工的方程有四个不同的实数解思考难以找到解题的方向但能时还有三个实根即可于是注意到对任意虎R工0必是原方程的一个根,则只需
46、考虑工0可对方程进行变形.由于原方程中会有工 则又需对工0,Z0分图像间的交点个数问题.解;热-睡唁闪个实数解显然,恋-0是力程个解下面只考虑Z0情形有三个实数解即可.,进一步转化为函数类讨论若野0.原方程等价于1垃（题4）,显然隐0,则憋（篮似要使该方程有解必须您则!-（虹2）此时涎0.方程有且必有解即当0时必须有两解当虹0时.原方程等价于l虹（延）,即4（匪2）画出网数-4与叫-（堑2）;的图像（注意堑0且堑4）要使该万程有两解必须04,解得监层（,）这也是l述几种情况的公共部分即膛e（士函）为所求故选c顾由正方体的棱、面对角线和体对角线共可组成多少对异面直线?解题策略:正方体的任意两个顶
47、点的连线不外乎是棱、面对角线和体对角线三种情形.这些连线中任取一对并面直线就得到正方体的四个不共面的顶点,它们是某个四面体的顶点这是一个基本的模型正方体有8个顶点其中任取4点.共有C;种取法去掉其中4点共面的情形即正方体的6个面、6个对角面就是异面直线的对数.o199曹正兴葛中魁椽解题方膛令8765解:C;661258.24每个四面体有3组对棱所以从每个四面体得到3对异面直线因而可得异面直线的对数共有583174对.第七节夹遏局部调整在数学解题中,所谓夹逼的方法就是经过适当处理使被考察的对象被限在个利于进步考察的较小范围内逐渐逼近目标的方法.利用不等关系进行夹逼是最为常见的形式数学家E贝肯巴赫
48、说:“数学的基本结果往往是些不等式而不是等式要得到个等式条重要的解题策略是先退步求得不等关系,再两边夹逼由不等导出相等.在数学解题中还有种方法是局部调整法其基本做法是对于问题涉及的多个可变对象,先对其中少数对象进行调整让其他对象暂时保持不变从而化难为易使问题的解决在局部获得进展经过若干次这样局部上的调整,不断缩小范围,最终促成整个问题的圆满解决个数学问题的解决应着眼于化繁为简、化难为易,经过次局部调整就能解决问题当然最好.但常常是经过有限次局部调整才最终促成问题彻底解决重复调整应具备什么条件不容忽视局部调整是研究数学乃至其他学科上的应用十分广泛而又卓有成效的种基本思想方法.匝本书的页码有1至在
49、把这本书的各页码累加起来的时候有个页码被错误地多加了次结果,所得到错误和数为2000.问:这个被多加了次的页码是几?解题策赂:某页被多加一次被多力口的页码虎在1龙之间,可通过构造不等式,且页码为N,把这个多加了一次的页码找出来这种方法叫作“夹逼,.解:设被多加了次的页号为陀.则1陀显然有1212卢12门1。即有（l）2000（l）（21,即2（1）4000o（1）（2）400（）显然是稍大于60的数注意到6263390663644032.所以有6263400（）6364,可见62.6263进而得虎2000220（）0195347.因此,被多加了次的页码为47.哑已知等差数列;5811,和等差数
50、列（b铡;3711各有100项.问同属于数列（）和（b的数有几个?解题策略:本题的核笆是充分利用等差数列的通项公式构造相应的不等式寻求给定区间内符合条件的项数.20（）第景瓤襟解题中的思掖方膛与咸术构想解由已知得.-32,-4.则3十2-雌,凰隐l十由是正整数得虑是3的倍数且0（）,于是l陶粤l0O则卢3,69,75,所以共有25个正整数同时属于数列和6.腐引已知数列）满足,l1上我们知道当取不同的值时,得到不同的数列,当圃1时得到几穷数列;l,2,;当-时得到有穷数列.1队（1）当求为何值时40.（2）设数列满足-l.外-亡（eN）求证;侧取数列b.中的任何个数都可以得到个有穷数列（）.）若
51、;蚂2（）,求的取值抱围解题策略:本例把数列、不等式等知识融于一题入于容易深入难.特别是第（3）问不等式腮2对4的一切自然数均成立,求的取值范围.实质是利周.l不断.夹1逼”直到获得关于的不等式组,解不等式组求得的取值范围.解:（1）因为ll1二所以21上1上f11刀l.11.l上-l罢舌;:若.31上1兰213240解得亏.O故当时（2）因为偷-1.十-6士1,所以六1.取数列M蹿冲的任个效不妨设.闷为哩6.,所以,l上l十六-l31上1上b2,1上1上6l1.2b网llb2l1上0,故取数列b）中的任个数都可以得到个有穷数列（.州（:）耍使;“2,即il上2.所以1“2l所以要使;硼2.当
52、且仅当它的前项硼 满足1鹏z201净正兴高中翘眷解题方膛令因为（;,2）呈2）,所以必须当e（i.2）时,都有凰.e（;,2）（5儿由-;:若得;:若2腿斡仁亩得故0.数列）满足l2（0）且（）从第二项起是公差为6的等差数列S是的前项和.（1）当2时用与表示与S厕;（2）若在S6与S7两项中至少有项是S的最小值试求的取值范围;（3）若为正整数在（2）的条件下设S取S6为最小值的概率是户l S取S7为最小值的概率是P2比较Pl与户2的大小.阳解题策略:第（1）问利用等差数列的概念和公式注意）从第二项起才是等差数列,在求通项与前项和S时,首项妥另行考虑避免出错.第（2）问利用已知条件构造不等式组.
53、第（3）问由不等式的范围确定的值的个数再求概率.解:（1）由已知当2时6（2）,即6（12）.S2（1）（）（1）（2）.632（9）262（2）解法:由已知当2时,厕是等差数列,公差为6数列递增著爵是值,侧;二即;t二痉硼爵若s是s.的最小值,则,0,即300,得:036（80,（360故当S6与S7两项中至少有项是S的最小值时的取值范围是2436解法二:由（1）,当2时S32（9）!26,且Sl也满足此式由在S与S,两项中至少有项是S.的最小值,得a5976,O解得2436从而的取值范围是2436（3）由（2）知e（24,25,26,36）.若S,是S.的最小值则鼠5宁a5.即酗25,26
54、.3（1若s是s的鼓小值则腻5宁贝5,即酗-制0,3,3:.,3队7故户lP2.202第典章魁檬解题中的思掖方肢与威术构想西击尔士尸、王为客反斗徊八第兵法三十六计对“反客为主的计谋描述为乘隙插足,扼其主机渐之进也”.讲的是把准时机插足进去掌握它的要害关节之处循序渐进、变被动为主动,掌握主动权后才能稳操胜券.反客为主计之中包含以下几种含义:是喧宾夺主,即外来之客抢占主人的位置.二是先发制人,抢占主动权.三是转攻为守一举攻之、定能大胜“声东击西”是制造假象迷惑敌人的计谋和策略通常采用灵活机动的行动忽东忽西,即打即离出奇制胜这两种战术是有差异的.“反客为主”是主”“客,对调位置是角色转变,“声东击西
55、”是作战方向的转变通常我们解答有多个字母的数学问题,总是把注意力集中在主变元上,这当然是可以的是种合乎常规的思维但是按照主变元设计解题方案难度较高,过程复杂甚至思维受阻如果从条件与结论的内在联系变换思考方向,视其参变元为主变元进行解答,常使解题过程简捷方便轻而易举达到目的,有时还能获得问题的妙思巧解.这是解题中“反客为主的战术.有些数学问题直接求解会困难重重或难以从条件人手推导结论即正面强攻不能取胜则可以从结论的对立面人手采用逆推法反证法、补集法;或可从侧面进攻或可考察与其相关的另问题,从中找到解决数学问题的途径.反例法、相关点法、命题变换法都属于“声东击西”的解题术的体现厕已知直线;y延加和
56、曲线工22y2410相交于A、B两点,P为直线上的点且PA.PB2当?变化时,求点P的轨迹方程.解题策赂:本例若按普通方程直接求解则会因涉及的变量较多显得复杂.若考虑用直线的参数方程间接求解把动点P当作定点动静互换角色,则会简单许多.卜到窖代人Z22y24y10中可得3r2解;设P（列.川）直线的参数方程为们yy0厂了t2】（工02y02）t2（r;2y;4y01）0.山M卜PE-2习.-:.即（砸2妒y厂l）-3即工;2（y01）26或r;2（y01）20,将氟P的坐标重新设为（甄.则）则芳十（yt1）.l或P（0.u把y工m代人工22）24）10得3工24（1）工224加1（）.利用呵得2
57、;徊咖2节3徊,203.曹正骋葛中魁檬解题方腋令蚁轨迹方程为芳（专l）,-（夹在直线-级:;蚂直线-涎:;2 之间）及点P（0,1）.厕已知帅线系C的程为六盖-l证明:对平面内任点（,6）（b0）总存在C腮中的椭圆和双曲线通过该点.解题策赂:本例若从解析几何角度思考,以工、y为主变元素解是有困难的,主妥问题在于攻击方向不明朗若未用“反客为主与“声东去西”的战术把参变元炎视作主变元通过变形转化为卢的二次函数进行分析会找到一种很明朗的解题途径.证明;设点（凰6）（凰b0）在曲线C.上则育惹汽-1即陀2（2b213）龙（3642962）0.令（内）内2（26213）龙（36429b2）,易知（虎）为
58、开口向上的抛物线,且（4）5b20,（9）520.由此可知（克）0在（,4）和（4,9）内分别有个根.即对平面内任点（,b）总存在Q中的椭圆和双曲线通过该点.匝对满足不等式 log2户2的切实数P,求使不等式x2户x13r户都成立的x的取值范围解题策赂:本题中不等式即为工2（户3）z（1户）（）对满足不等式 log2户2的一切实数户恒成立.从正面处理显然较为复杂.若把不等式工2（户3）Z（1户）0转化为P的不等式,让参数“户”为主角就方便多了.解;由 g粤户2.有2g蛾2得户蛆o问题转化为在条件中求二次函数（工）工2（户3）工1户为正值时,自变量的取值这是种正面的处理反过来,以脚为主元,有g（
59、）-（堑l）3堑1,户e（,4）问题转化为关于户的次函数为正数时系数的讨论.显然塑1,网而g（典）是户的单调阔数,使g（户）户e（,4）成京的充耍条仆是鸣（）墅则即罕门肆（g（4）（）（4（r1）工23工10.n毕或Ju严.;r七T百或:rl了T百解得204第么素愁檬解题中的思瘫方膛与威求构想n平或鞭了门h得工第九节围魏救赵暗度陈仓“围魏救赵”有三种含义:（1）避实击虚（2）以攻为守.（3）以迂为直“围魏救赵”之计的奥秘在于不要就事论事头痛医头、脚痛医脚,而是致力于抓住对方的要害部位、薄弱环节把强敌分散调动再攻击.任何事物都有其坚强的面也有相对薄弱的面面对强者不可以以卵击石以己之优去争他人之弱
60、获胜的几率会更大.暗度陈仓”有三种含义:（1）以迂为直（2）以明隐暗（3）以正蔽奇.本计的要点是“利其静”,即稳住对方趁机行动.此计与“声东击西”的区别在于:“声东击西”是个打击行动,有真伪两个目标,重在击西声东只是做表面文章,而“暗度陈仓是同时采取真伪两个行动在“暗度陈仓,的同时也在“明修栈道”.这两种计谋运用于解题定会产生奇妙的功效,如为了解决道难题从正面出击难以获解我们就可从问题的背景、构思及其发展趋势的角度来探究看看与这个难题相关的系列因素,如果能从侧面攻克某相关因素,能否有助于原问题的解决或者切实把握原问题的内涵想方设法创设出相关的弓理通过解决弓理进而解决原问题.这种构建弓理而解决难
61、题的方法是“围魏救赵战术的体现“魏”就是引理“魏”的问题解决了,“赵”的问题也解决了.构建引理是出奇制胜的重要途径引理”不是“特例,也不是类比仿造而得出的命题,而是通过考察原问题的背景和发展趋势所创设出的个新命题在解题上碰到困难而难以攻克时弓理是答题出奇制胜的钥匙顾已知数列的通项公式是（1）2求其前项的和S硼.解题策略:因为测l（221）322,所以S（132333闪3）2（122232门2）（123）.当然1十23十（D是可求的,嗣:2:驴:（l）（2l）.骂霹驴十删;-0（于）是不能鸳作公式使阔输,此瑶走不通应当找铡一种2:3“2 是不能当作公式使用的此略走不通,应当找到一种简便的方法关键
62、是对通项公式分解成另外若干个便于求和的数列若这个新问题解决了原问题也就解决了这是“围魏救赵、暗度陈仓”的战术.解:因为（1）2（l1）（2）1（1）（l2）（1）6C22C:l所以Sl23（6C22C;l）（6C;22C;l）（6C:22C:l）6（C;CiC2）2（C;C;C:l）6（CtCC:2）2（C;C;C:l）6C舟32C剧22（）5曹正妥高中毅檬解题方膛令6（73）（2）（1）2（2）（I1）4!3!（l）（测2）.【（罕3）-（测n（:）（J）612圃试求椭吨莆-与直线卜副n-p相切的充要条件解题策赂:本例的常规解法是把直线方程和椭圆方程联立起来,消元后得到一个关于工（或关于y）
63、的一元二次方程运用0R可找到所求的充要条件.但是由于方程中除工、y夕卜还有参数、b、户,运算过程太复杂稍有不慎就会出错如采能找到一种变换让椭圆圆起来,则原问题就变成直线与圆相切的新问题通过圆心到直线的距离等于半径,从而简化了运算轻轻松松地把原问题给解决了.解:令工工l ybyl,则椭圆方程与直线方程可分别化为工y;1,工1cos0lbsin户,显然是单位圆的方程,仍然是直线方程根据直线与圆相切的充要条件,圆心到直线的距离等于半径,有删辗川!丽胸u一户孵腾-:臃鄙n廖因此,户22COS20b2Sin20就是所求的充要条件匝数列凰.瞒足;-2.吟-去求诞;1;解题策略:本题可用不动点法求出数列的通
64、项公式再进行放缩证明当然也可以不求通项公式先证明其力口强命题】面上而得证这是因为有些命题直接证常常无法操作,而加强命题的证明反而简单.而加强命题成立则原命题一定成立.这就是“围魏救赵,暗度陈仓”的战术体现.证明:先用数学归纳法证明加强命题;对切正整数有】上,o当1时百l21显然成立.o假设-您（隐2）时,有徊隐徊当-您时厂方面由基本不等式,有“睁-六2污-亿等号当且仅当您】时取得因此腮Z。206第么聋魁眷解题中瞄思掖方怯与威术构想当卢1时百厕】上也成立门因此l徊吟徊:恤已资eN.求证;（1D（l）（1:兰2）炼解题策赂:当直接证明困难时构建引理进而先证明引理使命题顺利获解的策略是出奇制胜的战术
65、体现.有时候引理的构建不一定是唯一的所以证法也不唯一.证明扯法;因为3兰2铝所以构建引理;猖3贮l笑苦l（腮eN儿则（!申;二）（;二）.（;乳:;盟祟1）.（殷了X叮3煞）7103川1。3。3131.吸:廷吸;吸率盟3233故对巨N不等式（川1）（1士）（l3兰2）j丽干T成立证法二:设31b32,显然）、b厕均为等差数列若要证明此不等式须构建个递归不等式使之相乘后能错位相消故构造弓理若膛eN.则（3亡2;锅因为（3亡2）十32（3六）（3亡2）32;钨所以引理对虎巨N均能成立.从上述引理出发,令k123,门代人引理并相乘得（l）（l十）（l十3阀兰2）-十;粤人;.;:.;决-:撇1故eN
66、 不等式（1l）（）（l3土2）;丽干I成立厕夏在直角坐标系中（）是原点,A、B是第象限内的点并且A在直线（tan0）r上其1,B是双曲线工2y21上使OAB面积最小的点中0e（,苛）,OZcos求;当在（.）中取什么值时.OB的面积最大,最大值是多少?解题策赂:在直线与圆锥曲线位置关系的研究中,最值问题是一个难点.如果构造一个引理证明这个引理将会使求最值变得简捷.当然运用引理且挖掘图形的几何意义也能“暗度陈仓o2（）7。曹正兴葛中魁檬解题方怯介解:解法:先提出解法:先提出个弓理:、b、c、dR,则（bC创）2（2C2）（b22）.（兴）当且仅当创bC时等号成立.引理的证明:（兴）2b2C2创
67、226Cd26222b2C2C222bC2262C2（6C）20显然成京.回到原题:设B（工0y0）则SoAB最小B到直线ytan0。工距离最小.而tan0.工0y0 sin0工0cos0。0 且.r;y;1.tan201由上述引理,（sin0工0cos0.y0）2（汇;y;）（sm2cos20）.11即sin0。工0cos0。）0 sin20cos20故So4B万2cos0令】Cos0tCOSr.则sin20cos2012cos2012（】r）22t24】t3.sin20cos20日产呢广刽亡徊吵以所13（丁）知罕,O12乃目仅当-扣.-宁即-罕巨（,苛）时取等号即所求OAB面积的最大值是哩
68、O解法二:如图66所示由于B是双曲线工2y21上使OAB面积最小的点故过B的切线必与直线ytan0。工平行.而双曲线工2y21上过点（工0y0）处的切线方程是工0工y0y1故tan工00,y0sin0cos0又r;1工0sin0cos7,ysln圃0cos:0然后再用解法的方法代人求OAB面积的最大值y图6-6第十节抛砖;玉、捻贼擒王抛砖弓玉计策被广泛应用于现实生活中它已经成为个比喻意思也有所不同,砖,可以泛指切质次的、价值低的或量小的事物.“玉”可以指切优质的、价值高的或量大的事物.发表粗浅的、不成熟的意见或者文艺作品引出别人高明的、完美的意见或作品常被称为抛砖引玉.联系到解数学题,常常是从
69、比较原始的方法人手层层深人,寻找到种非常美妙的解法没有笨拙的试验不会产生奇思妙想许多世界数学难题就是在代又代抛砖引玉,踏着前人的肩膀攻克的.208第矣矗愁檬解题中的思桅方膛与咸术构想“擒贼擒王计的要点在于“夺魁”.既然孙子兵法中强调应该“强而避之”那么对付实力强劲、防守坚固的魁首为何还要坚持攻强呢?原因在于:当我方拥有奇兵或者实力足以“夺魁”时定要先行夺取这样可以起到事半功倍的作甩而实力不足以“夺魁,时,则最好首先削其羽翼,去其实力再图“夺魁”,也不失为条良策那么“擒贼擒王”之计如何运用到数学解题上呢?最关键的是找准解题的方向,即使是道难题攻克的方向也定是很清楚的.这在解题上也很常见有些难题之
70、所以“难”是因为在核心问题的外围有些小的问题需要解决这些小问题没有解决核心问题也解决不了.道难题般总是由若干小题构成,前面的小题的解决有助于最后小题的解决由于整道习题的结构、知识连成环状前面的小题做错了当然无法攻克核心问题匝定义域为R怕勺函数（鞍）满足条件;（l）兰时,（鞭）0;（2）（）l;（3）对仟（）（jr）（y）解不等式（工）（5工）2.意Z、yeR解题策赂:抽象函数试题的设计或编拟常以某个函数模型为基础故解题者审题时可根据已知条件,寻找相应的模型函数.通过分析,研究其图像或性质,激活原问题的解法思略起到抛砖引玉、擒贼擒王的奇妙效果.应提醒的是,模型函数只能帮助解题者发现解题思路,但切
71、不可以将其代入具体解题过程分析本题条件（3）.对任意鞭则巨R带（）-（塑）（则）显然（工）是以对数函数）log工为模型函数,该函数在01时在定义域内为减函数,可推测本例中（工）在R上是递减的这是解题的突破口.证明;设xi删x0则尝1,贝Mr）oi）-（）即（Z2）（工l）,故（工）在（0）上是减函数圃为（D（l）（D0.且l-（）（D（2）-广（2）得（2）l,川（）-f（涎）（）川知（堑）-Oj）（）-（恋）（）（蚁）-（辩）（）故由（工）（5工）2得r（5工）2（2）（2）（2）（4）.;耳腮腮（工（5工）4（工1或工4.于是原不等式的解集为（工0工1或4工5）.匝设函数y（x）（工eR）
72、当r0时,（r）1且对任意实数r、工2满足（x工2）（rl）.（工2）,当工l工2时（工l）（工2）.（1）求（0）的值;（2）求证:（r）在R上为单调递增函数;（3）判断y（r）的奇偶性;2（）9曹正妥葛中魁管解题方怯令）当J堑时.试比较（虹!）（逛）与（宁、）的大小解题策赂:由题设条件很容易发现所给抽象函数的背景函数是指数函数（jr）延（1）,而指数函数作为一种基本函数,其图像与性质是清楚的以此来指导本题解决抽象函数问题的效采立竿见影特别是对（0）0的排除.总体而言,背景函数给解答本题指出了一条道路而本例的解决还需给出严密的推理论证,且小题之间又是环环相扣的.解:（1）令rlr2工则（2r
73、）（工）20令工l工2（）则有（0）（0）（0）,得到（0）0或（0）1.若（0）0则有（1）（0）。（1）,所以（1）0与已知矛盾即（0）1.（2）由（1）得（0）1令Zl工,工2r（工0）.则（恋鞭）-（丁）（鞭）-l,故（恋）-沟,（工2）（工l）（ir2）.（工l）（jr2工l）,且工lZ2故工2工l0.闲为当壁0时,（所以广（!）l,从顺僻l,故（甄!）.即（r）是增函数.（3）因为（0）1所以（r）不是奇函数;若（r）是偶函数即有（工）（r）,（0）（工）。（工）（r）21则（工）1或（工）1（舍去）这与“当工0时（工）1,相矛盾,所以（工）是非奇非偶函数.（题!）-（）-（;）:
74、同理（心）-（￥）:（4）f（涎）八趣-（）;（）:们（江吉丝）-f（）.（）又（）（）（）.f（?）,人于后者顾设八、B是双曲线堑谬入（刚0）上两点M1.2）是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线交双曲线于C、D两点.（1）确定实数的取值范围;（2）试判断A、B、C、D四点是否共圆?说明理由.解题策赂:第（1）问是一个基础问题运用判别式即可求得实数的取值范围,第（2）问则难度大增.不论从乎面几何还是从解析几何常规思维都很难找到简捷的解法.巧用曲线系方程才是本题的“擒贼擒王”之道.因为A、B、C、D四点既在曲线（r）1）（工y3）0上,也在双胸线甄普上,从雨可设经过这四点的趟线系方程为厂卫1）
75、位厂3）（堑:;入）,蹲点在圆上所以陶线系方程应是圆的方程从漏确定的值210第矣章毅檬解翅中的思掖方彼与威术构慈亚工入刃则）冗）冗（设）（解两式相减.得（碰吨）（鞭延;）（!）（卫蚁;）陨所三所以翅;y2l,即测甄l,代人工等入得r2堑（纵）-0,由l44（12）0,得入1.2（rl）,即3露,代人堑-入.得塑圈6堑（92川）-0,由2364（92）0得入9.综上入的取值范围为（-10）O（0,）.（2）由（1）知AB:工1,cD:y3工所以经过A、B、C、D四点的曲线系方程为（堑聊D（工3）（工:爷川）-即（l蓝）鞭（1）y2鞭知3趴-o4若、B、C、D闪点共圆,则有l-（1肯）0,即-了将
76、代人,得（鞭3）:O6）-4（川9）因为（10）O（0）所以A、B、C、D均在以（36）为圆心、半径为2I干的圆上.第十一节卡.充突围、映射反演道数学题做了半就做不下去了这种情况对解题者而言时有发生我们把出现这种情况称之为卡壳.解题无法再进行出现卡壳的数学题并不定是难题比如说前面的运算错了,而这个运算结果直接关系到后面的解题,则后面的计算肯定出错或根本无法继续比如归纳猜想证明,类题型第阶段的计算哪怕错了个数据项与项之间的规律找不到,无法归纳得到猜想证明也无从谈起又比如把条件看错了无法找准解题方向,或者相关的公式、定理记忆出错、推理受阻、辅助线添不出数形之间不会转化转化与化归能力薄弱、数学知识链
77、构建不了等,总之在解题过程中出现卡壳的情况是常有的事.这时候需要迅速突围,突围成功解题过程还可继续解题过程最本质的是积极的思维活动出现卡壳实际上是思维受阻首要的是激活思维想要激活思维,对解题程序应当清清楚楚,解题程序是解题思想与解题行动的联结点.数学方法的211零正兴葛中毯檬解题方怯公本质正在于数学思想的程序化,学会解题与应付作业的结果是不样的学会解题就是要抓程序解法”,即解题的每步骤的依据和目的每个步骤间整体结构的分析整个程序所蕴含的解题思想这是宏观上的.从微观上看,出现卡壳则应重审结论或重新剖析条件回忆命题所涉及的概念、定理,把握命题的结构特点,检验已写出的部分解答是否有错误或有漏洞,运算
78、对不对,隐含条件再挖掘下,看看还有什么条件未用上,还有哪些相关的解题通法未用到从这些角度试探继续解下去.熟悉进行突围的基本策略,特别要重视映射反演的方法.个数学问题般总是在某个系统之内在这个系统内能顶利解决当然好但是倘若解决不了设法找到种对应法则通过该法则的作用把这个问题转化成另个系统中的相应问题且该问题在新的系统中是可以解决的,并存在逆对应,再把新系统中的解答逆反回去,从而求得原来问题的答案.这是种非常漂亮的卡壳突围法称为映射反演的方法,这方法在数学解题中应用十分广泛应予以重视.,其中工的最小值为函数y工2工12（工3）22（工25）2监皿解题策略:本题是函数的最值问题因为并不是常见函数,直
79、接求最值很难办到,若用导数法求解也是十分繁杂不易顺利解决.也就是说本例在函数系统内求解会出现“卡壳”现象如演变到另一个系统何实施突围?关键是对函数解析式通过变形并赋予相应的几何意义使问题内解决实现“卡壳突围、映射反演,.】h2（工3）22（工25）2解:因为）工2工1M）日了又（）汇也（r2工1所以y】徊设p（工工2）是抛物线y工2上的动点,M（35）.如图67所示,设PQ上直线y工1于Q易知延忘-PQ.且（鞭;）:（题:5）-PM（于是,所求问题的几何意义是点P到直线y工1的距离与到点M的距离之和.于是,当M、p、Q三点共线时 PQPM取得最小值此直线是过点M且垂直于直线y工1的直线y2工.
80、则pQ pM的最小值就是点M到直线y工1的距离因为y工2工12（工3）22（工25）2百（PQPM）面MQ面 3519.Z图67此时直线y2工与抛物线y工2的交点为Pl（24）P2（11）.故原函数最小值为9且对应的工2或工1.咖如阁68所示过椭圆茅普1的左焦点F!作直线交椭阔于尸、Q网点.A为椭圆212第矣章盛管解题中伪思掖方膛与威术构想的右顶点求PAQ面积的最大值解题策略:最值问题是直线与圆锥曲线位置关系研究中的重妥问题之一.这类问题,求PAQ面积的解析式一般比较容易,不外乎联立直线方程与椭圆方程消元若消去工则求M,s-测:.Fl八;若消去测,则求PQ以及点A到直线PQ的距离砚.s;PQ遍
81、常求得的解析式都比较复杂,而且是根式求此美函数的最值常常会出现“卡壳,这是在解析几何学习中时有出现的难点突围”之略在何方?让我们一起来探求“突围”之略把最值这个王”于到擒来!解:因为Fl（10）A（20）且当直线PQ的斜率不存在时 ylJ2 3s-弧F-;删!聊!当直线PQ的斜率存在时,设直线pQ的方程为y虎（z1）（陶0）,P（工l,y1）,Q（工2,y2）联立方程组得删-腮（恋D.消去工并整理得（3工24y2120,6龙9肉2（34诧2）y26ky9诧20显然0所以yly234此2,）ly234此2 所以汕:-（汕）:-（:苦k）3谍-3雕,掷渺;）所以s-F!A-ls（湍;）设（隐）-（
82、湍;）（虑0）则首先要解决求（虑）最大值由于此分式陶数次数高,下而多角度研究“卡壳突围、擒贼擒王”之策突围战术（转化分母分离常数）撒临腻,偷嘶鹏 闹抵拭所以ss漏-而当PQ斜率不存在时,s-O综上,PAQ面积的最大值为首突围战术二（转化分子分离常数）（l雕2蛾9）寺荒闲为（废）-（搏）:M2岭,1雕:雌9k4龙22l3誊正妥葛中魁檬解题方怯令1广8k29司1而1锨2雌;丽,所以s-l鼠（鳃j）:芋-:,丽当PQ斜率尔存在时s-江9Q综上PAQ面积的最大值为亏突围战术三（配方换元转化为二次函数）（膨）（蛾;:）;（峨3）荒3（4卢23）2168（4陀23）16（4k23）2.令-潍六3则0fo所
83、以（k）-g（）六（枷!勤l）谎（十!）六.义网为函数鸳（r）在巨（0,）上是减函数,所以g（l）g（）g（0）.即0g（）六所以s-M（鳃）:乎-;.而当PQ斜率不存在,s-砂9Q综上PAQ面积的最大值为突围战术四（换元化为三角函数求最值）设隐-tan,其中e（0,）O（冗）则f（健）-爵（）-（啡喘藤-（籍黑）,-l8i:烟-l周肘3器ls.1.osin0sin0设sin0r且（t）t旦,t巨（01）,则函数h（r）在（0,1）上是减函数,t所以（）h（）-斗,所以s-湍芋9当0-苛时,s-Z综上.PAQ面积的墩大值为顾如图69所示,在四棱锥PABCD中已知PAL平面ABCI）且四边形八B
84、CD为直角梯形.么八BCBD-.pAD2,ABBC1.PDC图69B214第么章毯管解题中的思掖方腋与战术构想（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;（2）点Q是线段BP上的动点当直线CQ与DP所成角最小时求线段BQ的长解题策略:立体几何问题重在演绎推理的思维与书写方法重视数学语言表达能力和解题规范化的培养,力争解题过程中的“作图、证明、计算,三个环节的完整.当然难度也较高对某些“从最少的假设或公理出发,通过逻辑推理、概括最多的经验事实（爱因斯坦）并立体几何问题,非易事,出现卡壳也属正常,如何 才能“突围,“擒贼擒王”?需要运用新知识、新方法这就是向量的方法利用空间向量的运算法则研究
85、空间图形中的各种关系迸行角与距离的计算等现代的向量知识与古典的欧几里得几何学相结合 为空间图形的研究增添了活力.当然任何问题都不能绝对看,比如第（1）问用投影来研究更方便.-一解法:以ABAD,AP为正交基底建立如图6l0所示的空间直角坐标系Aryz,则各点的坐标为B（10,0）,C（110）,D（020）P（002）.-因为AD上平面PAB,所以AD是平面PAB的个法向量,-AD（0,290）.-因为PC（11,2）PD（022）.设平面PCD的个法向量为顽（工,y庭）,则历PC0,一历PD0,即堑2慧-0.令y1解得z1,工1（2y2Z0,所以历（1,1,1）是平面PCD的个法向量.从而c
86、。s而丽-更.疯佰A 病3,COS士M9?二-二解:（1）C）图610所以平面M月与平面PCD所成二面角的余弦值为罕解法二:由条件可证DA上平面PABBC上平面PAB故PAB即为PCD在平面PAB上的投影.SpAB设平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为0则cos0-百ZFF又由条件易求PD2】CD】,PB百,PC仿,所以PC上CD.SpAB3-因为BP（102）,设BQ入BP（入,02入）（0入1）.-一-且CB（010）则CQCBBQ（12）.-CQDP12又因为DP（0,22）从而cosCQDPCQDP10入22设12r,t13（2）o215疹正妥葛中魁檬解题方膛公2t2回加十）日日
87、亡（cos2CQ,DP 5t2109当目仅当-叫-:时 幢爵（面）的最人值为嘿因为卫-在（0.昔）上是减函数.此时直线CQ和DP所成角取得最小值2百义囚为EP-F干可佰,所以凋Q:BP-了第十二节亡羊补牢回顾反思战国策记载了“亡羊补牢的故事,于是就有了这则成语,比喻出了差错应及时设法补救免得再受损失;也含犹未为晚之意这个道理运用到数学解题中,可获类似的启示.即做好解题检验,纠正失误检验是解题过程中的个重要环节是提高数学素养获取高分的有效手段.本书前面我已经讲到数学教育家G.波利亚把解题过程分为四个阶段第四个阶段为“回顾”即检查已经得到的解答.他提出了以下的问题:你能检验这个结果吗?你能检验这个
88、论证吗?你能以不同的方式推导这个结果吗?你能眼就看出它来吗?你能在别的什么题中利用这个结果或这种方法吗?数学试题得到初步解决后,必须进行“回顾反思”,需要对结论的完备性与纯粹性进行考察看看有没有漏解有没有增根等;需要对解题的合理性进行考察看看推理、运算过程是否正确、简洁、科学有没有更漂亮的解法;也需要对解题的完整性进行考察,看看书写格式是否清晰明了,用语是否准确.解题的检验实质是回顾反思也是丰富解题经验,提高解题能力增强数学素养的个有效途径检验的方法主要有（1）复查核对法;（2）代人检验法;（3）量纲检验法;（4）多解对照法;（5）作图检验法;（6）特例检验法;（7）估算纠错法;（8）逆向运算
89、法;（9）条件检验法;（10）逻辑检验法;（1l）等价关系法;（12）针对性检验法上述林林总总的检验法主要是纠正解题过程中的错误,但是回顾反思仅局限于纠错是不够的.“解后思”还应包括解题后的概括、联想、弓伸、拓广等思维活动通过“解后思”是巩固所学的知识;二是提高对类型解题法的掌控做到举反三;三是提升不断探究创新的能力.应力争做好以下几个环节:（1）数学的生命力在于简洁数学语言是简短而有力的.要从解题步骤上进行简缩避免烦琐运算（2）个数学问题获解后要继续思考这个问题还有没有其他解法从解题途径上进行联想、比较从优选择最简捷的解法216第么素毯像解题中的思掖方腋与威术构想（3）从命题形式上进行变换、
90、引申,将命题拓广,即探索具有更广泛意义的结论不断地变更原命题可以使所学数学知识系统化,促进“习题网”的形成顾、是方程4工24垃3虎100的两个实根,求（1）2（1）2的最小值.解题策略:一元二次方程有实根判别式一定要考虑到这是前提解:因为、是方程4工24h工3陀100的两个实根16龙216（3陀l0）0解得虎5或k2.所以由韦达定鲤得十-k.（3您0）,所以（1）2（1）2222（）2（）222（）2-腮（雕l0）2隐2-腔寺3（虑）楞Q当腮5时,（l）:（l）2取得最小值首顾已知ABC中,3sinA4cosB63cosA4sinB1求么C的大小.某同学的解法如下:3sinA4cosB6由-1
91、（3sinA4cosB）2（3cosA4sinB）237.即2524（s!nAcosBcosAs!nB）37sin（B）-又因为在ABC中.sm（AB）凰mC,则smC-,所以丝C-30.或150.,该问学的解法是否正确?若正确请写出他的解题依据,若不正确,请写出正确答案.解题策略:检验是解题的最后一个环节是对解题的自我反思通过检查解题的过程和结采,有时可以发现自己解题的失误之外,也可以从中总结出解题的经验和收获上述解法中正是缺少检验这一环节,没有把多余的解舍去.解:经检验当C150时,AB30.因此A3（）B代人原式3sinA4cosB6,得3sin（30。B）4cosB6了平爵mB-1l因
92、为0c。爵B1.所以乎副n周-号csB6,这与副nB0矛盾因此C150。,故答案为C30.厂例3求方程5cos工cos2工sinr0在02冗上的解解题策略:本题使解题正确无误的关键在于检验,一般地若定义域不是一切实数,或在求解过程中采用了非同解变形都应进行检验.方程的增根总出现在定义域被扩大出来的范围内方程的失根总是在定义域被缩小的范围内.217曹正妥富中魁眷解题方临令解:原方程平方得5cos匹rcos2工sin2工5cosr2cos2工11cos2工3c。sqr5c20所以c寺或c2（舍去）O1所以延s或2砸s了当rarccOs寺时simr0,则方程左边大于0显然不满足方程因此原方程的解为巫
93、2沉arccos.厕设函数y（刃）定义域为R当工0时（工）1且对于任意的延,yeR有（工）（eN）.求数（工）。（y）成立.数列（满足（0）,且（l）列的通项公式并证明（2）解题策赂:本题属于抽象函数问题用赋值法即今工1y（）得（1）（1）.（0）1所）（）川（得以l（0）1.由（!1）（2）所以（邪l厕2）（0）所以厕l20,即l厕2（eN）.所以是等差数列其首项为1公差为2因此21.看上去,上述解法很流畅,实际上从（l2）（0）推出l20（工）必须是一个单调函数,缺乏证明过程使解答存在严重漏洞,而抽象函数单调性的证明需妥讲究严谨.这一点也必须注意到.解:当工0时工0,所以（0）（工）.（工
94、）1因此0（Z）L于是,当工0时0（工）1;当工0时,（工）1;当工0时（工）1.从而对工eR（工）0.设工lr2,则有（rl）（工2）。（工!工2）.由rl工20及题设知,（Zl工2）l.又知（r2）0于是有（r2）.（rl工2）（工2）,即（Zl）（jr2）.所以（r）是R上的单调减函数.令工1y0,得（1）（1）.（0）于是l（0）1.1（2）得（l）.（2）1,所以（l厕2）（0）.由（厕l）因为（工）是R上的单调减函数,所以l20,即l测2（巨N）.所以是等差数列其首项为1,公差为2,因此21.厩经过双曲线冶等-1的右焦点F作倾斜角为:0.的直线交双们线丁A旧两点设Fl为双曲线的左焦
95、点,求ABFl的周长.218。第么聋魁誉解题中的恩掖方腋与战术构想解题策赂:本例看似不难随意画出草图,常会得到如下解法.如闺6所示.由恋:普l.得-l.丽,c2.焦鼠F（2,0）B（2,0儿.设A（）.（耍:.）测直线方程为M罕（工2儿I“7得ar24工130113图6-11则刃l工2百工Lr28。于是,八E1（鲁）:-却（）蜗（）由双曲线的定义得 AF1 AF,2（BFl BF2 2两式相加,得AF1 BF1 AB4,所以AFl BFl 7.所以ABFl的周长AFl BF1 AB7310.上述解法是错误的.产生错误的原因是图形画得太随意,连渐近线也没有画出来.实际上双陶线的渐近线在解答与双曲
96、线相关的数学问题时常发挥霞要作肌本例双曲线巫,l的渐近线y侗Z,其倾斜角为60。和120.这时过右焦点F2作倾斜角为30的直线不可能在第一象限与双曲线相交,图611中所画的三角形ABFl是不可能存在的.所以在求解解析几何问题时画草图也得画准确一些关键的地方决不能省咯否则会误导解题.2解;由x瞥-l,得凰-l,b-佰.-2,焦点F1（2,0）,Fz（2,0儿设A（鹅!）B（二膨,）,则直线AH的方程为测罕（墅2儿9鲁（ji2）2131由得ar24Z130,则rl工2百Zl么r28工2等1d引府但咆叶乃是于）凹吕（纠渺工l工2 3.由8露,虹3-0解得点A的横坐怀为露-3乌l,代人白线B的程-鲁（
97、厂2）得鳃-3;逗佰侗已）侗小日尸则图6-122219遂坚兴葛中憋檬解题方腋公如图612所示由双曲线的定义得（AFl AF2 2,两式相减得 BF:BF 2.AFl BFl 2AF2AB3百.所以ABFl的周长AFl BFl AB3百3.哪从原点出发的某质点M按页-（0D移动的概率为等按万-（02）移动的概率为斗.设dM可到达点（0）的概率为P.（1）求Pl和P2的值;（2求证;B榷P厂（BP僻）（3）求P的表达式解题策赂:本例的编制比较新颖由于题型不熟悉,无法下笔.实际上只妥认真读题仔细审题此题不难解决.先计算P1、P2、P3,由特殊到一般寻找并归纳规律比如从原点出发要到点（02）可由原点按
98、页移动两次或按6移动一次而得.对生疏的题型需要仔细分析,读透题意.解（）B-,B（）-（2）M到达点（02）有两种情况:从点（01）按Z（0,1）移动;从点（0）按j（0,2）移动.2所以B擂-百P柑P.即B捻B-（BEI（:）数列P柑P提以P:P为首项.为公比的等比数列所以柑B-（BP）（!厂（!厂!所以BB!（）.又因为P测Pl（P厕Pl）（PlP2）（P2Pl）-（）（厂（l）,-讣（厂所以E-:十（）阔专题练六:数学解题中的思维方法与战术构想1.求证:（丽5）2l的小数表示中,小数点后至少有2门l（巨N）个零.220第矣聋魁眷解题中跪思掖方臆与战术构想2.已知不等式3工11工工22在区
99、间01上恒成立,求实数的取值范围3.对于函数y（工）,（工巨D）如果存在正常数T,使得对工取D内的每个值时都有等式（工T）（工）T那么这个函数（r）称为准周期函数,非零常数T叫作函数（工）的准周期（1）函数（工）sin工r是准周期函数若记M为（z）sm工工的所有准周期组成的集合求集合M;（2）判断（工）工2是否为准周期函数若是请写出它的个准周期;若不是,说明理由;（3）判断（雾）sn堑工在区间刃e（厕）上的单调性.并说明理由4.已知函数（Z）工2hrC（bC）,点Anl,（l）、B2（2）是函数图像上的两点且满足条件（1）02（?l）（2）（!l）（2）0.（1）求证:b0;（2）求证:（工）
100、的图像截工轴所得的线段长的取值范围是23）;（3）问能否保证（!3）和（23）中至少有个为正数?证明你的结论.221。曹正妥高中毅眷解题方触令5.如图所示,在直角梯形ABCD中AD上AB,AD3,AB4,BC百,点E在线段AB的延长线上,曲线段DE上的任意点到A、B两点距离之和相等曲线段DE上是否存在两点M、lV,使它们的中点为C?若存在,求出M、N两点间的距离序了ABE第5题图6.在数列（）中,l2,厕l入l（2入）2n（!N）其中0求数列厕的通项公式7巳知函数剿（甄）满足;逝-（碰!,）,万-（延,l）,且豆.bl当eN时如果存在正项数列（）满足条件:1（凰1）f（凰:）卜（憾）刨凰;呻:
101、凰（1）求数列的通项公式;（2）求证;宁?宁丝丛4厂-厂（:）求证;宁片吾滁1徊222。第么素魁眷解题中伪恩榷方腋与威术构慈a双们罐莆-（0b）,F.F是左、占焦点,P是右支上点.且F1PF-可.SFlPF23佰2.（1）求离心率e;（2）若A为双曲线左顶点Q为右支上任点是否存在常数使么QAF2QF2A恒成立.如图（1）所示在RtABC中C90BC3AC6,D、E分别是AC、AB上的点且DEBC,DE2将ADE沿DE折起到AlDE的位置使AlC上CD如图（2）所示.（1）求证:AlC上平面BCDE;（2）若M是AlD的中点求CM与平面AlBE所成角的大小;（3）线段BC上是否存在点P,使平面AlDP与平面AlBE垂直?说明理由.9（1）dl胁山狂胁山狂EBC（2）第9题图223