1、河北省邯郸市成安一中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1定义运算，则符合条件的复数z为（）A3iB1+3iC3+iD13i2计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）AA44A55BA23A44A53CC31A44A55DA22A44A553观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nN*）个等式应为（
2、）A9（n+1）+n=10n+9B9（n1）+n=10n9C9n+（n1）=10n1D9（n1）+（n1）=10n104曲线y=cosx（0x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A4B2CD35如图是导函数y=f（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A（x1，x3）B（x2，x4）C（x4，x6）D（x5，x6）6已知直线y=kx是y=2lnx的切线，则k的值为（）ABCD7从6名志愿者中选出4人，分别从事搜救、医疗、心理辅导、后勤四种不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作，则不同的选派方案共有（）A96种B180种C240种D280种8有一段“三段论
3、”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确9从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A140种B84种C70种D35种10在的展开式中的常数项是（）A7B7C28D2811（12x）5（2+x）的展开式中x3的项的系数是（）A120B120C100D10012若点P在曲线y=x33x2+（3）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则
4、角的取值范围是（）A0，）B0，），）C，）D0，）（，二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有种14（2x）dx=15将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）16（2x）50=a0+a1x+a2x2+a50x50，其中a0a1a2a50是常数，计算（a0+a2+a50）（a1+a3+a5+a49）=17由0，1，2，3，4，5这六个数字能组成个无重复数字的四位偶数？18已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是三、解答题：（本大
5、题共3小题，共30分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19已知F（x）=dt，（x0）（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在1，3上的最值20已知（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列（）求n的值； （）求展开式中系数最大的项21证明不等式ln（1+x），x（0，+）河北省邯郸市成安一中2014-2015学年高二下学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1定义运算，则符合条件的复数z为（）A3iB1+3iC3+iD13i考点：二阶行列式的定义；复数代数形式的混合运算 专题：计算
6、题分析：根据定义，将已知转化，可以得出z（1+i）=4+2i，再利用复数的除法运算法则求出复数z即可解答：解：根据定义，可知1zi（1）z=4+2i，即z（1+i）=4+2i，z=3i故选A点评：本题考查了复数的代数运算，利用所给的定义将已知转化为z（1+i）=4+2i是关键2计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有（）AA44A55BA23A44A53CC31A44A55DA22A44A55考点：排列、组合的实际应用 专题：排列组合分析：先把每种品种的画看成一个整体，分析水彩画放在中间
7、，油画与国画放在两端的排法数目，进而分别计算每种品种的画自身的排列方法数目，最后由分步计数原理，计算可得答案解答：解：先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有种放法，再考虑4幅油画本身排放有种方法，5幅国画本身排放有种方法，故不同的陈列法有种，故选：D点评：本题考查排列组合的运用，解题相邻问题的方法是捆绑法（整体法），注意解题方法的积累，属于中档题3观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nN*）个等式应为（）A9（n+1）+n=10n+9B9（n1）+n=10n9C9n+（n1）=10n1D9（n1）
8、+（n1）=10n10考点：归纳推理 专题：探究型分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（nN*）个等式解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（nN*）个等式为：9（n1）+n=10n9故选B点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）4曲线y=cosx（0
9、x）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A4B2CD3考点：余弦函数的图象 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可解答：解：由定积分定义及余弦函数的对称性，可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：S=3cosxdx=3sinx|=3sin3sin0=3，所以围成的封闭图形的面积是3故选：D点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，考查运算求解能力，化归与转化思想思想，属于基本知识的应用5如图是导函数y=f（x）的图象，那么函数y=f（x）在下面哪个区间是减函数（）A（
10、x1，x3）B（x2，x4）C（x4，x6）D（x5，x6）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论解答：解：若函数单调递减，则f（x）0，由图象可知，x（x2，x4）时，f（x）0，故选：B点评：本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键6已知直线y=kx是y=2lnx的切线，则k的值为（）ABCD考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率
11、从而问题解决解答：解：y=2lnx，y=，设切点为（m，2lnm），得切线的斜率为，曲线在点（m，2lnm）处的切线方程为：y2lnm=（xm）过原点，2lnm=2，m=e，k=故选C点评：本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题7从6名志愿者中选出4人，分别从事搜救、医疗、心理辅导、后勤四种不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作，则不同的选派方案共有（）A96种B180种C240种D280种考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题；概率与统计分析：根据题意，使用间接法分析，首先计算从6名志愿者中选出4人分别
12、从事四项不同工作的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人从事翻译工作的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案解答：解：根据题意，由排列公式可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A64=360种选派方案；其中包含甲从事心理辅导工作有A53=60种方案，乙从事心理辅导工作有A53=60种方案，则甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作的选派方案有3606060=240种；故选C点评：本题考查排列、组合的应用，解答本题用间接法可以避免分类讨论，简化计算8有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在
13、x=0处的导数值f（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点以上推理中（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确考点：演绎推理的基本方法 专题：阅读型分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论解答：解：大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（x），如果f（x0）=0，且满足当xx0时和当xx0时的导
14、函数值异号时，那么x=x0是函数f（x）的极值点，大前提错误，故选A点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论9从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A140种B84种C70种D35种考点：分步乘法计数原理 分析：本题既有分类计数原理也有分步计数原理解答：解：甲型1台与乙型电视机2台共有4C52=40；甲型2台与乙型电视机1台共有C425=30；不同的取法共有70种故选C点评：注
15、意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步10在的展开式中的常数项是（）A7B7C28D28考点：二项式系数的性质 专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项解答：解：展开式的通项为令故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题11（12x）5（2+x）的展开式中x3的项的系数是（）A120B120C100D100考点：二项式定理 专题：计算题分析：将已知多项式展开，将求展开式中x3的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r分别取3，2求出二项式的含x3和
16、含x2的系数解答：解：（12x）5（2+x）=2（12x）5+x（12x）5（12x）5的展开式的通项为Tr+1=C5r（2x）r=（2）rC5rxr令r=3得（12x）5展开式中x3的项的系数是8C53=80令r=2得（12x）5展开式中x2的项的系数是4C52=40（12x）5（2+x）=2（12x）5+x（12x）5的展开式中x3的项的系数是2（80）+40=120故选B点评：本题考查等价转化的能力及利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题12若点P在曲线y=x33x2+（3）x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A0，）B0，），）C，）D0，）（，考点：
17、导数的几何意义；直线的倾斜角 专题：计算题分析：先求出函数的导数y的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围解答：解：函数的导数y=3x26x+3=3（x1）2，tan，又 0，0 或 ，故选 B点评：本题考查函数的导数的几何意义，直线的倾斜角和斜率的关系二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13四封信投入3个不同的信箱，其不同的投信方法有81种考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封信共有34种投法解答：解：每封信都有3种不同的投法，由分步计数原理可得，4封
18、信共有3333=34=81，故答案为：81点评：本题主要考查了分步计数原理的应用，要注意结论：m个物品放到n个不同的位置的方法有nm，属于基础试题14（2x）dx=1考点：定积分 专题：计算题；数形结合分析：由差的积分等于积分的差得到（2x）dx=（）dx2xdx，然后由微积分基本定理求出（）dx，求出定积分2xdx，则答案可求解答：解：（2x）dx=（）dx2xdx令，则（x1）2+y2=1（y0），表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆（）等于四分之一圆的面积，为又2xdx=（2x）dx=故答案为：点评：本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，是基础的计算题15将4名大学生分配到3个乡
19、镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 36种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：由题意知将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，需要先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列，根据分步乘法原理得到结果解答：解：将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列排列，共有C24A33=36故答案为：36点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏16（2x）50=
20、a0+a1x+a2x2+a50x50，其中a0a1a2a50是常数，计算（a0+a2+a50）（a1+a3+a5+a49）=考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：在所给的等式中，令x=1，即可求得（a0+a2+a50）（a1+a3+a5+a49）的值解答：解：在（2x）50=a0+a1x+a2x2+a50x50 中，令x=1，可得（a0+a2+a50）（a1+a3+a5+a49）=，故答案为：点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题17由0，1，2，3，4，5这六个数字能组成156个无
21、重复数字的四位偶数？考点：计数原理的应用 专题：排列组合分析：当末位是数字0时，可以组成A53个数字；当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C21C41A42种结果，根据计数原理得到结果解答：解：（1）本题需要分类来解，当末位是数字0时，可以组成A53=60个，当末位不是0时，末位可以是2，4，有两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C21C41A42=96种结果，根据分类计数原理知共有60+96=156种结果，故答案为：156点评：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学
22、思想数字问题是排列中经常见到问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，注意数字0的双重限制，即可在最后一位构成偶数，又不能放在首位18已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在3，3上有最小值3，那么在3，3上f（x）的最大值是57考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题分析：要求f（x）的最大值，先求出函数的导函数，令其等于0求出驻点，在3，3上分三种情况讨论得函数的极值，然后比较取最大值即可解答：解析：f（x）=3x2+6x，令f（x）=0，得3x（x+2）=0x=0，x=2（i）当0x3，或3x2时，f（x）0，f（x）单调递增，（ii）当2
23、x0时，f（x）单调递减，由最小值为3知，最小为f（3）或f（0）f（3）=（3）3+3（3）2+a=a，f（0）=a，则a=3，f（x）=x3+3x2+3，其最大值为f（2）或f（3），f（2）=（2）3+3（2）2+3=7，f（3）=33+332+3=57，则最大值为57故答案为：57点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的能力三、解答题：（本大题共3小题，共30分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19已知F（x）=dt，（x0）（1）求F（x）的单调区间；（2）求函数F（x）在1，3上的最值考点：微积分基本定理；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：计算题；导数的概念及应用分析：
24、（1）由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究F（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）根据F（x）的单调性，分别求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比较大小，可得F（x）在1，3上的最大值是F（3）=6，最小值是解答：解：依题意得，定义域是（0，+）（1）F（x）=x2+2x8，令F（x）0，得x2或x4； 令F（x）0，得4x2，且函数定义域是（0，+），函数F（x）的单调增区间是（2，+），单调递减区间是（0，2）（2）令F（x）=0，得x=2（x=4舍），由于函数在区间（0，2）上为减函数，区间（2，3）上为增函数，且
25、，F（3）=6，F（x）在1，3上的最大值是F（3）=6，最小值是点评：本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题20已知（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列（）求n的值； （）求展开式中系数最大的项考点：二项式定理的应用 专题：二项式定理分析：（）由题设前三项的系数成等差数列，可得 C+C=2C，由此求得得n的值（）设第r+1的系数最大，则，求得r的值，可得展开式中系数最大的项解答：解：（）由题设，可得 C+C=2C，即n29n+8=0，解得n=8，n=1（舍）（）设第r+1的系数最大
26、，则，即 解得r=2或r=3，所以系数最大的项为T3=7x5，T4=7x点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题21证明不等式ln（1+x），x（0，+）考点：不等式的证明；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：证明题；导数的综合应用分析：先证明前半部分，设函数f（x）=xln（1+x），利用导数可判断其单调性，从而可证；同理可证后半段，通过构造函数g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22x（x0），利用一阶导数与二阶导数判断即可证得结论解答：证明：先证明前半部分，设函数f（x）=xln（1+x），显然f（0）=0，f（x）=1x=，当x0时
27、，f（x）0，函数f（x）=xln（1+x）在（0，+）上单调递减，当x0时，f（x）f（0）=0，即xln（1+x）；后半部分成立，相当于证明：2（1+x）ln（1+x）x2+2x设g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22x（x0），g（0）=0，g（x）=2ln（1+x）x，g（x）=2（1）=0，g（x）=2ln（1+x）x在（0，+）上单调递减，当x0时，g（x）g（0）=0，g（x）=2（1+x）ln（1+x）x22x在（0，+）上单调递减，g（x）g（0）=0，即2（1+x）ln（1+x）x2+2xln（1+x）xxln（1+x）x点评：本题考查不等式的证明，突出考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查一阶导数与二阶导数的综合应用，考查推理、分析与证明的能力，属于难题