1、课时作业54抛物线一、选择题1已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p2，则其标准方程为(C)Ay22xBx22yCy24xDx24y解析：由题意知抛物线开口向左，且p2，所以抛物线的标准方程为y24x，故选C.2(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p(D)A2B3C4D8解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为(，0)，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8，故选D.3已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点P(x0，)在C上，且|PF|，则p(B)A. B.C.D1解析：抛物线的准线方程为y，因为P(x0，)在抛物线上，所以点P到准线的距离d|PF|，则
2、p，故选B.4以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x2相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是(B)A(0,2)B(2,0)C(4,0)D(0,4)解析：由题意得抛物线y28x的准线方程为x2，因为动圆的圆心在抛物线y28x上，且与抛物线的准线相切，所以动圆必过抛物线的焦点，即过点(2,0)故选B.5已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A(4，y0)作AA1l于点A1，若A1AF，则p(C)A6B12C24D48解析：A1AF，AA1FAFA1.设准线l与x轴的交点为B，则|BF|p，|A1B|BF|tanp，|AF|4，p24，故选C.6已知点F是
3、抛物线y2x2的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|NF|，则线段MN的中点的纵坐标为(B)A.B2C.D3解析：F是抛物线y2x2的焦点，F，准线方程为y.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MF|NF|y1y2，解得y1y24，线段MN的中点的纵坐标为2.故选B.7已知抛物线y24x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于(A)A12B13C1D1解析：抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，M(2,2)，直线l的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，点N的横坐标为.抛物线y24x的准线方程为x1，|NF|，|
4、MF|3，|NF|MF|12，故选A.8已知过抛物线y24x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AMl于点M，则四边形AMCF的面积为(A)A12B12C8D6解析：不妨设直线AB的倾斜角为锐角，过点B作BDAM，交AM于点D，过点B作BNl，垂足为N，则|AD|AM|MD|AF|FB|2|FB|，|AB|AF|FB|4|FB|，所以|AD|AB|，在RtABD中，|AD|AB|，则BAD60，所以AFx60，所以kAB，则直线AB：y(x)，代入y24x，得(x)24x，即3x210x60，解得x13，x2，则xA3，yA2，则四边形AMCF的面积为(42
5、)212，故选A.二、填空题9(2019北京卷)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x1)2y24.解析：因为抛物线的标准方程为y24x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r2，所以圆的方程为(x1)2y24.10O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为.解析：设P(x0，y0)，则x014，故x03，所以y02.又F(1,0)，所以SPFO21.11(多填题)直线l过抛物线C：y22px(p0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p2，1.解析
6、：由1，得p2.当直线l的斜率不存在时，l：x1，与y24x联立解得y2，此时|AF|BF|2，所以1；当直线l的斜率存在时，设l：yk(x1)，代入抛物线方程，得k2x22(k22)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，1.三、解答题12已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线C的方程为y28x
7、.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍去)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.13设M是抛物线E：x22py(p0)上的一点，抛物线E在点M处的切线方程为yx1.(1)求E的方程(2)已知过点(0,1)的两条不重合直线l1，l2的斜率之积为1，且直线l1，l2分别交抛物线E于A，B两点和C，D两点，是否存在常数使得|AB|CD|
8、AB|CD|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：(1)解法1：由，消去y得x22px2p0.由题意得4p28p0，因为p0，所以p2.故抛物线E：x24y.解法2：设M(x0，)，由x22py得y，则y.由解得p2.故抛物线E：x24y.(2)假设存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立，则.由题意知，l1，l2的斜率存在且均不为零，设直线l1的方程为ykx1(k0)，则由，消去y得，x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.所以|AB|4(1k2)(也可以由y1y2k(x1x2)24k22，得到|AB|y1y224(1k2)因为直线l1，
9、l2的斜率之积为1，所以|CD|4(1)所以.所以存在常数使得|AB|CD|AB|CD|成立14(多选题)设M，N是抛物线y2x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为，则下列选项不正确的是(ABC)A|OM|ON|4B以MN为直径的圆的面积大于4C直线MN过抛物线y2x的焦点D点O到直线MN的距离不大于2解析：当直线MN的斜率不存在时，设M(x0，y0)，则N(x0，y0)，由斜率之积为可得，即y2.直线MN的方程为x2，此时|OM|ON|2，以M，N为直径的圆的面积为2，抛物线的焦点为，故A，B，C错误；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为ykxm，与抛物线方程联
10、立，消去x，可得ky2ym0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，故x1x2，kOMkON，即m2k.直线MN的方程为ykx2kk(x2)，直线MN过定点(2,0)，点O到直线MN的距离不大于2，故D正确，故选ABC.15(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)设D(t，)，A(x1，y1)，则x2y1.由yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点(0，)(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23).设M为线段AB的中点，则M(t，t2)由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.