1、课时作业(三十一)第31讲数列的综合应用时间：45分钟分值：100分1已知数列an的通项公式是an，其中a，b均为正常数，那么an与an1的大小关系是_2从盛满10 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液， 再用水填满，这样继续下去，一共倒出了5次，这时容器里还有纯酒精_ L.3若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是_4已知数列an中，a1a，a为正实数，an1an(nN*)，若a30，则a的取值范围是_5等比数列an的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列若a11，则S4_.6某厂在2011年底制订生产计划，要使20
2、21年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为_72011上海长宁二模 设数列an中，若an1anan2(nN*)，则称数列an为“凸数列”，若a11，a22，则该数列前6项和为_82011无锡联考 已知数列an是正项等比数列，bn是等差数列，且a6b8，则一定有_(填序号)a3a9b9b7；a3a9b9b7；a3a9b9b7；a3a9b9b7.9公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项，S832，则S10等于_102011衡水模拟 设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn，Sn1，Sn2成等差数列，则公比q_.11通项公式为anan2n的数列an，若满
3、足a1a2a3a4an1对n8恒成立，则实数a的取值范围是_12已知数列an满足：a1m(m为正整数)，an1若a61，则m所有可能的取值为_13(8分)已知an是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S42S24，bn.(1)求公差d的值；(2)若a1，求数列bn中的最大项和最小项的值14(8分)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套的旧设备(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每
4、年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：1.192.361.004991.041.1102.591.0049101.051.1112.851.0049111.0615(12分)2011扬州调研 数列an的首项为1，前n项和是Sn，存在常数A，B使anSnAnB对任意正整数n都成立(1)若A0，求证：数列an是等比数列；(2)设数列an是等差数列，若p2.(1)证明：数列an1为等比数列；(2)若a23，求数列an的通项公式；(3)对于(2)中数列an，若数列bn满足bnlog2(an1)(nN*)，在bk与bk1之间插入
5、2k1(kN*)个2，得到一个新的数列cn，试问：是否存在正整数m，使得数列cn的前m项的和Tm2 011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由课时作业(三十一)【基础热身】1an0，所以an0时，2，故4；当xy0时，2，故0.4.，1，解析 a3a2a10，0，a0，0.故a，1，.【能力提升】515解析 4a1,2a2，a3成等差数列，4a1a34a2，即4a1a1q24a1q，q24q40，q2，S415.6.1解析 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1x)104，x1.70解析 a11，a22，a33，a41，a52，a63，S60.8解析 a3a9222
6、a62b8b9b7.在等差数列an中amanapaqmnpq.960解析 由aa3a7得(a13d)2(a12d)(a16d)，得2a13d0，再由S88a1d32得2a17d8，则d2，a13，所以S1010a1d60.101解析 依题意有2Sn1SnSn2，当q1时，有2a1(1qn1)a1(1qn)a1(1qn2)，解得q1，但q1，所以方程无解；当q1时，满足条件11a解析 由anan2n是二次函数型，且a1a2a3a4an1对n8恒成立，得，可知a.124或5或32解析 (1)若a1m为偶数，则为偶数，故a2，a3，当仍为偶数时，a4，a6，故1m32.当为奇数时，a43a31m1，
7、a6，故1得m4.(2)若a1m为奇数，则a23a113m1为偶数，故a3必为偶数，a6，所以1可得m5.13解答 (1)S42S24，4a1d2(2a1d)4，解得d1.(2)a1，数列an的通项公式为ana1(n1)dn，bn11.函数f(x)1在和上分别是单调减函数，b3b2b11，当n4时，1bnb4，数列bn中的最大项是b43，最小项是b31.14解答 (1)10年后学生人数为b (14.9)101.05b.又设今年起学校的合格实验设备为数列，则a11.1ax，an11.1anx，(*)令an11.1(an)，则an11.1an0.1，与(*)式比较知10x，故数列是首项为1.1a1
8、1x，公比为1.1的等比数列，所以an10x(1.1a11x)1.1n1，an10x(1.1a11x)1.1n1.a1010x(1.1a11x)1.192.6a16x.由题设得2，解得xa.即每年更换旧设备为a套(2)全部更换旧设备需a16年即按此速度全部更换旧设备需16年15解答 (1)证明：A0时，anSnB，当n2时，由得anan1(SnSn1)0，即，所以，数列an是等比数列(2)设数列的公差为d，分别令n1,2,3得：即解得即等差数列an是常数列，所以Snn；又，则，pq11p11q0，(p11)(q11)112，因p0，所以a110，所以0，所以数列an1为等比数列(2)由(1)知an1n，所以ann1，又因为a23，所以213，所以p4或p(舍去)，所以an2n1.(3)由(2)得bnlog22n，即bnn(nN*)，数列cn中，bk(含bk项)前的所有项的和是：(123k)(2021222k2)22k2，当k10时，其和是55210210772 011，又因为2 0111 0779344672，是2的倍数，所以当m10(122228)467988时，Tm2011，所以存在m988使得Tm2 011.