1、2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题1在等差数列an中，a1=21，a7=18，则公差d=( )ABCD2在ABC中，若sinA=cosB=，则C=( )A45B60C30D903已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是( )Aa2b2Ba2bab2C2a2b0D4设等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=( )A2B4CD5如果方程x2+（m1）x+m22=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )AmB2m0C2m1D0m16已知数列an是等差数列，数列bn是等比数列，其公比q1，且bi0（i=1，2，3，），若a1=b1
2、，a11=b11，则( )Aa6=b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或a6b67平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是( )AB1CD48等差数列an的公差d0，且a12=a112，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )A5B6C5或6D6或79若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是( )Aa4Ba4Ca12Da1210ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于( )ABCD11已知a0，b0，若不等式2a+b4m恒成立，则m的最大值为( )A10B9C8D712设等差数列an（nN+
3、）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S410，S515，则a4的取值范围是( )A（B（C（，4D（3，+）二、填空题13设公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=_14在约束条件下，目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，则ab的最大值等于_三、解答题（共7小题，满分80分）15如图，在ABC中，ABC=90，BC=1，P为ABC内一点，BPC=90（）若，求PA；（）若APB=150，求tanPBA16已知数列an满足数列bn的前n项和Sn=n2+2n（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和
4、Tn17已知关于x的不等式ax2+5x+c0的解集为x|x，（）求a，c的值；（）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc018已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值19某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16
5、 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低20三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围21设数列an的前n项的和Sn=an2n+1+（n=1，2，3，）（）求首项a1（）证明数列an+2n是等比数列并求an2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题1在等差数列an中，a1=21，a7=18，则公差d=( )ABCD【考点】等差数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：由等差数列的通项公式可得a7=a1+6d，18=21+6d，解得d=
6、故选：D【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题2在ABC中，若sinA=cosB=，则C=( )A45B60C30D90【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件求得B的值，再求得A的值，利用三角形的内角和公式求得C的值【解答】解：ABC中，若sinA=cosB=，则B=60，A=30，C=90，故选：D【点评】本题主要考查特殊角的三角函数的值，三角形的内角和公式，属于基础题3已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是( )Aa2b2Ba2bab2C2a2b0D【考点】不等式的基本性质 【专题】计算题【分析】根据函数y=2x在定义域R上
7、是个增函数，可以得到2a2b 通过举反例说明A、B、D不正确【解答】解：A 不正确，如 a=3，b=1，显然a2b2 不成立B 不成立，如a=3，b=1时，显然a2bab2 不成立D不正确，如 a=3，b=1时，显然不成立函数y=2x在定义域R上是个增函数，2a2b，2a2b0，故选 C【点评】本题考查不等式的基本性质，利用了函数y=2x 在定义域 R 上是个增函数这个结论4设等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=( )A2B4CD【考点】等比数列的前n项和 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得【解答】解：由等比数列的求和公式
8、和通项公式可得：=，故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题5如果方程x2+（m1）x+m22=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )AmB2m0C2m1D0m1【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 【专题】函数的性质及应用【分析】令f（x）=x2+（m1）x+m22，则由题意利用二次函数的性质求得实数m的取值范围【解答】解：令f（x）=x2+（m1）x+m22，则由题意可得，求得 0m1，故选：D【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题6已知数列an是等差数列，数列bn是等比
9、数列，其公比q1，且bi0（i=1，2，3，），若a1=b1，a11=b11，则( )Aa6=b6Ba6b6Ca6b6Da6b6或a6b6【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【专题】计算题【分析】由题意可得 a1+a11=b1+b11=2a6，再由 b1+b112=2b6，从而得出结论【解答】解：由题意可得 a1+a11=b1+b11=2a6公比q1，bi0，b1+b112=2b6，2a62b6，即 a6b6，故选B【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于基础题7平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a0）取得最大值的最优解有无穷
10、多个，则a的值是( )AB1CD4【考点】正切函数的图象 【专题】三角函数的图像与性质【分析】对目标函数z=x+ay（a0）变形为y=x+，依题意可得=kAB=，于是可求得a的值【解答】解：z=x+ay（a0），y=x+，目标函数z=x+ay（a0）取得最大值的最优解有无穷多个，=kAB=，a=，故选：A【点评】本题考查线性规划问题，依题意得到得=kAB=是关键，考查转化思想8等差数列an的公差d0，且a12=a112，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n是( )A5B6C5或6D6或7【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式 【专题】计算题【分析】由，知a1+a11=0由此能求
11、出数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n【解答】解：由，知a1+a11=0a6=0，故选C【点评】本题主要考查等差数列的性质，求和公式要求学生能够运用性质简化计算9若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是( )Aa4Ba4Ca12Da12【考点】一元二次不等式的应用 【专题】计算题【分析】先将原不等式2x28x4a0化为：a2x28x4，设y=2x28x4，y=a，只须a小于y=2x28x4在1x4内的最大值时即可，从而求得实数a的取值范围【解答】解：原不等式2x28x4a0化为：a2x28x4，只须a小于y=2x28x4在1x4内的最大值时即可，y=2x28x
12、4在1x4内的最大值是4则有：a4故选A【点评】本小题主要考查一元二次不等式的应用等基础知识，考查等价化归与转化思想属于基础题10ABC中，AB=，AC=1，B=30，则ABC的面积等于( )ABCD【考点】解三角形 【专题】计算题【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出ABC的面积【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC22ABBCcosB，即1=3+BC23BC，即（BC1）（BC2）=0，解得：BC=1或BC=2，
13、当BC=1时，ABC的面积S=ABBCsinB=1=；当BC=2时，ABC的面积S=ABBCsinB=2=，所以ABC的面积等于或故选D【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题11已知a0，b0，若不等式2a+b4m恒成立，则m的最大值为( )A10B9C8D7【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】利用2a+b=4（2a+b）（），结合基本不等式，不等式2a+b4m恒成立，即可求出m的最大值【解答】解：a0，b0，2a+b0，2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）36，不等式2a+b4m恒成立，364m，m9，m的
14、最大值为9，故选：B【点评】本题主要考查了恒成立问题与最值的求解的相互转化，解题的关键是配凑基本不等式成立的条件12设等差数列an（nN+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S410，S515，则a4的取值范围是( )A（B（C（，4D（3，+）【考点】等差数列的性质；数列的函数特性 【专题】计算题【分析】根据等差数列是一个等差数列，给出两个前n项和，写出求前n项和的公式，根据不等式的基本性质和等差数列的性质整理出结果【解答】解：等差数列an是单调递增数列，若S410，S515，4a1+6d10 5a1+10d15 （1）+a550d1，由得，a33，故选A【点评】本题考查等差数列的性
15、质和不等式的性质，本题解题的关键是列出不等式组，解出要用的值的范围，本题是一个简单的综合题目二、填空题13设公比为q的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，则q=2【考点】等比数列的通项公式 【专题】等差数列与等比数列【分析】通过记等比数列an的通项为an，利用SnSn+1=Sn+2Sn即anq=anq+anq2，计算即得结论【解答】解：记等比数列an的通项为an，则an+1=anq，an+2=anq2，又Sn+1、Sn、Sn+2成等差数列，SnSn+1=Sn+2Sn，即anq=anq+anq2，q2+2q=0，q=2，故答案为：2【点评】本题考查等差数列、等比数
16、列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题14在约束条件下，目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，则ab的最大值等于【考点】简单线性规划 【专题】压轴题；数形结合；不等式的解法及应用【分析】画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为1，求出a，b的关系式，利用基本不等式，可求ab的最大值【解答】解：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值1，此时a+2b=1，a0，b0，由不等式知识可得：1ab，当且仅当a=，b=时，取等号ab的最大值等于故答案为：【点评】本题考查线性规划知识，考
17、查数形结合的数学思想用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键三、解答题（共7小题，满分80分）15如图，在ABC中，ABC=90，BC=1，P为ABC内一点，BPC=90（）若，求PA；（）若APB=150，求tanPBA【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】（I）在RtPBC，利用边角关系即可得到PBC=60，得到PBA=30在PBA中，利用余弦定理即可求得PA（II）设PBA=，在RtPBC中，可得PB=sin在PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出【解答】解：（I）在RtPBC中，=，PBC=60，PBA=30在PBA中，由余弦定理得P
18、A2=PB2+AB22PBABcos30=PA=（II）设PBA=，在RtPBC中，PB=BCcos（90）=sin在PBA中，由正弦定理得，即，化为【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键16已知数列an满足数列bn的前n项和Sn=n2+2n（1）求数列an，bn的通项公式；（2）设cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列递推式 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等比数列的通项公式可求an，利用n2时，bn=snsn1，b1=s1可求bn（2）由（1）可知求cn=anbn，然后利用错
19、位相减求和方法即可求解【解答】解（1）数列an是以1为首项以3为公办的等比数列Sn=n2+2n当n2时，bn=snsn1=n2+2n（n1）2+2（n1）=2n+1当n=1时，b1=s1=3适合上式bn=2n+1（2）由（1）可知，cn=anbn=（2n+1）3n1Tn=31+53+732+（2n+1）3n13Tn=33+532+（2n+1）3n两式相减可得，2Tn=3+2（3+32+33+3n1）（2n+1）3n=3=2n3n【点评】本题主要考查了利用 数列的递推公式求解数列的通项及错位相减求和方法的应用，要注意掌握该求和方法17已知关于x的不等式ax2+5x+c0的解集为x|x，（）求a，
20、c的值；（）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc0【考点】一元二次不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】（）根据韦达定理即可求出a，c的值，（）需要分类讨论，然后求出解集即可【解答】解：（）由题得a0且，是方程ax2+5x+c=0的两个实数根则=，=，解得a=6，c=1，（）由a=6，c=1，原不等式化为x2+（6+b）xb0，即（6xb）（x1）0当即b6时，原不等式的解集为1，；当=1即b=6时，原不等式的解集为1；当1即b6时，原不等式的解集为，1；综上所述：当即b6时，原不等式的解集为1，；当b=6时，原不等式的解集为1；当b6时，原不等式的解集为，1；【点评】本题主
21、要考查了不等式的解法，属于基础题18已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】1由正弦定理化简已知结合sinB0，可得sinA=且A为锐角，即可解得A的值（2）利用三角形面积公式解得：bc=40，由余弦定理即可求得b+c的值【解答】解：1由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，2RsinB=22RsinAsinB，sinB0，sinA=且A为锐角，A=60（2）S=bcsinA=bc=10，即解得：bc=40，由余弦定理可求得：49=b2
22、+c22bccosA=（b+c）23bc=（b+c）2120，b+c=13【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查19某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低【考点】函数模型的选择与应用 【专题】应用题；
23、函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为x米，可表示出长，从而得出总造价f（x），利用基本不等式求出最小值；（2）由长和宽的限制条件，得自变量x的范围，判断总造价函数f（x）在x的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值【解答】解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米则总造价f（x）=400（2x+2）+2482x+80162=1296x+12960=1296（x+）+1296012962+12960=38880（元），当且仅当x=（x0），即x=10时取等号当长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元（2）由限制条件知，
24、10x16设g（x）=x+（10x16）g（x）在10，16上是减函数，当x=16时，g（x）有最小值，即f（x）有最小值当长为16 米，宽为10米时，总造价最低【点评】本题考查了建立函数解析式，利用基本不等式求函数最值的能力，还考查了函数的单调性和运算能力20三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（1）由余弦定理化简已知整理可得：（b+c）（a2b2c2）=0，由b+c0，可得a2=b2+c2，即可解得A=（2）利用正弦定理
25、可得a=2，b+c=2sin（B+），结合范围0，可得2b+c，从而可求三角形ABC周长的取值范围【解答】解：（1）证明：a（cosB+cosC）=b+c，由余弦定理可得：a+a=b+c，整理可得：（b+c）（a2b2c2）=0，b+c0，a2=b2+c2，A=，得证（2）三角形ABC的外接圆半径为1，A=，a=2，b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+），0，B+，2b+c，4a+b+c2，三角形ABC周长的取值范围是：（4，2+2【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查21设数列an的前n项的和Sn
26、=an2n+1+（n=1，2，3，）（）求首项a1（）证明数列an+2n是等比数列并求an【考点】数列的求和；数列递推式 【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（I）Sn=an2n+1+（n=1，2，3，），当n=1时，a1=S1=+，解得a1（II）当n2时，Sn1=+，化为：an=4an1+2n变形为=，即可得出【解答】（I）解：Sn=an2n+1+（n=1，2，3，），当n=1时，a1=S1=+，解得a1=2（II）证明：当n2时，Sn1=+，可得an=an2n+1+（+），化为：an=4an1+2n=，数列an+2n是等比数列，首项为4，公比为4an+2n=4n，an=4n2n【点评】本题考查了递推关系的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题