1、2019-2020学年度高三年级上学期期中考试数学试卷(理科)一、选择题1.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.【详解】由题意，则曲线在点处的切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.2.已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，则：.本题选择C选项.3.对于函数，若存在区间使得则称函数为“同域
2、函数”，区间A为函数的一个“同城区间”.给出下列四个函数：；.存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，x0，1时，f（x）0，1，所以存在同域区间；，x-1，0时，f（x）-1，0，所以存在同域区间；，x0，1时，f（x）0，1，所以存在同域区间；，判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间故答案为点睛：本题主要考查了对同域函数及同域区间的理解，涉及到二次函数、余弦函数的值域的求解，函数图像的相交等，属于难题.本题在判断邻域时，需要知道通过判断函数f（x）和
3、函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法 4.设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，下列说法正确的是（ ）A. 若确定，则唯一确定B. 若确定，则唯一确定C. 若确定，则唯一确定D. 若确定，则唯一确定【答案】B【解析】【分析】对式子平方转化成关于的二次函数，再利用最小值为1，得到，进而判断与之间的关系【详解】.因为，所以.所以，所以，即.所以确定，唯一确定.故选B.【点睛】本题考查向量模的最值、数量积运算、向量夹角等知识，考查与二次函数进行交会，求解时不能被复杂的表达式搞晕，而是要抓住问题的本质，始终把看成实数5.已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点
4、，则四边形的最小面积为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值【详解】如下图所示：由切线的性质可知，且，当取最小值时，、也取得最小值，显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线的距离，即，此时，四边形面积的最小值为，故选A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；（2）
5、切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值6.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图像最低点求得，根据函数图像上两个特殊点求得的值，由此求得函数解析式，进而求得的值.【详解】根据图像可知，函数图像最低点为，故，所以，将点代入解析式得，解得，故，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，并求三角函数值，属于中档题.7.已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简f(x),分析出f(x)本身的最小正周期T，再根据分析出用a表示f(x)的最小正周期，最后根据两
6、者相等，求得a的最小正值【详解】由，则，所以f(x)最小正周期T=因为，则，这f(x)的最小正周期T=,所以=，所以实数a的最小正值是，故答案选D【点睛】本题主要考察带绝对值三角函数的的周期，同时要会通过函数满足的关系式，分析函数周期8.设为数列的前项和，则数列的前20项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】， 相减得 由得出 ，= = 故选D点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.9.椭圆的左右焦点分别是、，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线恰好
7、与圆相切于点P，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可知，又恰好与圆相切于点P，可知且，即可列出方程求椭圆的离心率.【详解】由恰好与圆相切于点P，可知，且 ，又，可知，在中，即所以，解得，故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题.10.已知函数的图像的一条对称轴为直线，且，则的最小值为( )A. B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数的解析式，由对称轴的方程，求得的值，得出函数的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数为辅助角，由于函数的
8、对称轴的方程为，且，即，解得，所以，又由，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设，所以，当时，的最小值，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11.若函数只有一个极值点，则k的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数求导函数 f（x）ex（x2）kx2+2kx（x2）（exkx），只有一个极值点时f（x）0只有一个实数解，有exkx0，设新函数设u（x）ex，v（x）kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【
9、详解】解：函数f（x）ex（x3）kx3+kx2只有一个极值点，f（x）ex（x2）kx2+2kx（x2）（exkx），若函数f（x）ex（x3）kx3+kx2只有一个极值点，f（x）0只有一个实数解，则：exkx0，从而得到：exkx，当k0 时，成立当k0时，设u（x）ex，v（x）kx如图：当两函数相切时，ke，此时得到k的最大值，但k0时不成立故k的取值范围为：（0，e综上：k的取值范围为：0，e故选B【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题12.双曲线左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点
10、，F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且AF2B30若该双曲线的离心率为e，则e2（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，根据是以为直角顶点的直角三角形，且，以及双曲线的性质可得，再根据勾股定理求得的关系式，即可求解.【详解】由题意，设，如图所示，因为是以为直角顶点的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，在直角中，即，整理得，所以，故选D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的几何性质离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得
11、的值(范围).二、填空题13.已知向量，且，则_【答案】【解析】【分析】把平方，将代入，化简即可得结果.【详解】因为，所以，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.14.已知抛物线E：的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则_.【答案】16【解析】【分析】由题意画出图形，得到直线的斜率，进一步求得直线的方程，与抛物
12、线方程联立求解即可得答案【详解】，为的中点，且，则直线的倾斜角为，斜率为由抛物线，得，则直线的方程为联立，得则，故答案为：16【点睛】本题考查抛物线的简单性质、直线与抛物线位置关系及抛物线过焦点弦公式的应用，属于中档题15.已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先求导数，判断函数的单调性，可得时大致图象，利用数形结合求解.【详解】过定点当时，有解当时,存在在的下方，令，解得，当时，当时，在上递减，在上递增，当时，又，作函数，的大致图象：由图象可知：时满足条件，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值、图象，直线过定点，数形结合，属于难题.16.
13、数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，如此继续，则_.【答案】1【解析】【分析】根据数列构造方法可知：，即；根据变化规律可得，从而得到结果.【详解】由数列的构造方法可知，可得：即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据数列的构造规律求解数列中的项，关键是能够根据构造特点得到数列各项之间的关系，考查学生的归纳总结能力.三、解答题17.如图为一块边长为的等边三角形地块，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改
14、造，计划从的中点出发引出两条成角的线段和，与和围成四边形区域，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设（1）当时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据角度可确定四边形为平行四边形，则和均为边长为的等边三角形；利用即可求得结果；（2）利用正弦定理，用表示出和，利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式可将化简为，利用可求得的范围；从而将所求面积表示为，进而得到所求范围.【详解】（1）当时，四边形为平行四边形，则和均为边长为的等边三角形又，绿化面积为：（2）由题意知：在中，由正弦定理得：在中，由正弦定理得： ，即 即绿化面积的取值范围为
15、：【点睛】本题考查解三角形知识的实际应用问题，涉及到正弦定理和三角形面积公式的应用、三角恒等变换中的两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式的应用；求解范围类问题的关键是能够构造出关于某一变量的函数，从而利用函数求值域的方法求得结果.18.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5或.【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.【详解】设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.（1），结合得，.（2），解得或3，当时，此时；当时，此时.【点睛】本题主
16、要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.19.已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.（1）求点横坐标的取值范围；（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）设，联立抛物线，再利用圆与直线相交建立不等式，从而确定点横坐标的取值范围；（2）
17、可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设，利用韦达定理即可证明为中点.【详解】解：（1）由题意直线斜率存在且不为零，设 到的距离为，所以 （2）当直线过圆心时， ，所以，即，所以 ，设，由得 ，所以 ，即为中点【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.20.已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰有两个元素；（3）若集合恰有三个元素，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.【答案】（1）；（2）或；（3）或4，时，；时，【解析
18、】【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合【详解】（1）等差数列的公差，数列满足，集合当，所以集合，0，（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，此时，综上，或者（3）当时，集合，符合题意与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.当时，或者，等差数列的公差，故，又，
19、2当时满足条件，此时，1，与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题21.已知函数,.（）求函数的单调区间； （）令两个零点，证明：.【答案】（）在上单调递减，在上单调递增.（）见证明【解析】【分析】（）求得函数的导数，且，进而利用导数的符号，即可求得函数单调区间；（）由有两个零点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可得出证明【详解】（）由题意，函数，则，且，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以函数在上单调递减，在上单调递增. （）由有两个零点可知由且可知，当时，函数单调递减；当时，函数单调增；
20、即的最小值为，因此当时，可知在上存在一个零点；当时，可知在上也存在一个零点，因此，即.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题22.已知椭圆：的离心率为，且过定点.（1)求椭圆的方程；（2)已知直线与椭圆交于两点，试问在轴上是否存在定点，使得以弦为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标和的面积的最大值；若不存在，请说明理由【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）本问考查了椭圆的离心率公式，以及椭圆的方程、性质，通过条件构建关于基本量 的方程组，求解即可 （2）本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用条件以弦为直径的圆恒过点，将几何关系代数化，利用韦达定理建立方程，判断方程是否有解【详解】解：（1)由已知，椭圆的方程为.（2)由得.设，则方程的两根，设，则，假设在y轴上存在定点P，使得以弦为直径圆恒过点P，则，即，即对任意恒成立，此方程组无解，不存在定点满足条件【点睛】本题的关键是将条件“以弦为直径的圆恒过点”，几何关系代数化，和联立方程组得到的韦达定理联系起来，建立关于参数 的方程