1、9-6 空间向量及其运算(理) 1.(2011广东揭阳一模)已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为() A2 BC. D2答案D解析ab(2,12，3)，由a(ab)，得2(2)12930，解得2.2(2011日照模拟)若a(2，2，2)，b(2,0,4)，则a与b的夹角的余弦值为()来源:K.ComA. B.C D0答案C解析cosa，b.3空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行来源:高&考%资(源#网 wxcC异面 D相交但不垂直答案B解析(3，3,3)，(1,1，
2、1)，3，又(5,3，5)，ABCD.4(2011天津模拟)已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A. B.C. D.答案D解析由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，即有，解得m，n，.5(2011济宁月考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点N为B1B的中点，则|MN|()A.a B.a来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COMC.a D.a答案A解析.|a.6已知a，b，c是空间一个基底，pab，qab，一定可以与向量p、q构成空间另一基底的是()Aa Bb Cc D无法确定答案C解析a，b，
3、c不共面，p，q，c不共面，若存在x、yR，使cxpyq(xy)a(xy)b，a，b，c共面，矛盾7已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_答案解析ba(1t,2t1,0)，|ba|，当t时，|ba|取得最小值为.8(2010广东理，10)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.答案2解析a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，(ca)(2b)(0,0,1x)(2,4,2)2(1x)2，解得x2.9若a(3x，5,4)与b(x,2x，2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为_来源:高&考%资(源#网 w
4、xc答案解析a与b的夹角为钝角，ab0，3x210x80，x4，又当a与b方向相反时，ab0，存在0，使ab，(3x，5,4)(x,2x，2)，此方程组无解，这样的不存在，综上知x4.10(2011福州模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以、为边的平行四边形的面积；(2)若|a|且a分别与、垂直，求向量a的坐标解析(2，1,3)，(1，3,2)(1)因为cos，.所以sin，.所以S|sin，7.即以、为边的平行四边形面积为7.(2)设a(x，y，z)，由|a|，a，a，可得或，所以a(1,1,1)或(1，1，1).11.如下图，在平行六面体ABCDA
5、1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若a，b，c，则向量等于()AabcB.abcC.abcDabc答案C解析()abc.12(2011天津模拟)正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为()A1 B.C. D2答案C解析()，由条件知|2，2，|2|2|2|22222，|.13ABC的顶点分别为A (1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于()A5 B.C4 D2答案A解析设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23.(4,45，3)，又(0,4，3)，4(45)
6、3(3)0，|5.14(2011东营期末)若a(1,5，1)，b(2,3,5)(1)若(kab)(a3b)，求k；(2)若(kab)(a3b)，求k.(3)以坐标原点O为起点作向量a，b，求O到直线AB的距离解析kab(k2,5k3，k5)，a3b(132,533，135)(7，4，16)(1)(kab)(a3b)，解得k.(2)(kab)(a3b)，(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0.解得k.(3)由条件知A(1,5，1)，B(2,3,5)，(1，5,1)，(3，2,6)，19，|7，O到直线AB的距离d.15已知斜三棱柱ABCABC，设a，b，c，在面对角线AC和棱BC上分别取点
7、M、N，使k，k(0k1)，求证：三向量、a、c共面解析kk()ak(ba)(1k)akb，kk()kbkc，(1k)akc.向量a和c不共线，、a、c共面16.如下图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD， BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(3)设ABBE，证明：平面ADE平面CDE.解析由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直如上图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz. (1)设ABa，BCb，BEc，则由题设得
8、A(0，0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，H(0，b，c)，F(0,0,2c)所以，(0，b,0)，(0，b,0)，于是.又点G不在直线BC上，则GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以(a,0，c)，(a,0，c)，又CEF，HFD，故C、D、F、E四点共面(3)由ABBE，得ca，所以(a,0，a)，(a,0，a)又(0,2b,0)，因此0，0即CHAE，CHAD，又ADAEA，所以CH平面ADE.故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.点评如
9、果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FGGA，FHHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形(2)C、D、F、E四点共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所以EFBG，由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC、FH共面又点D直线FH上，所以C、D、F、E四点共面(3)连结EG，由ABBE，BE綊AG，及BAG90知ABEG是正方形，故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂
10、直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，BGED.又ECEAE，所以BG平面ADE.由(1)知，CHBG，所以CH平面ADE.由(2)知F平面CDE，故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.1(2011郑州一中月考)已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150答案C解析ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，得ac7，而|a|，所以cosa，c，a，c120.2(2010山东青岛)在空间四边形ABCD中，的值为()A0 B.C1 D无法确定答案A解析()()()0，故选A.3如下图，点P是单位正方体ABCDA1B1C1D1中异于A的一个顶点，则的值为()A0B1C0或1D任意实数答案C解析可为下列7个向量：，其中一个与重合，|21；，与垂直，这时0；，与的夹角为45，这时1cos1，最后1cosBAC11，故选C.4(2011泰安模拟)如下图，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则等于_来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM答案abc解析()(bc)aabc.点评空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则