1、2.3.4 平面与平面垂直的性质一、教材分析 空间中平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点：（1）它是立体几何中最难、最“高级”的定理.(2)它往往又是一个复杂问题的开端，即先由面面垂直转化为线面垂直，否则无法解决问题.因此，面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理.二、教学目标1知识与技能（1）使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系.2过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确
2、认，获得对性质定理正确性的认识；3情感、态度与价值观通过“直观感知、操作确认、推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直的性质定理.教学难点:平面与平面性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习（1）面面垂直的定义.如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.（2）面面垂直的判定定理.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：.两个平面垂直的判定定理图形表述为：图1（二）导入新课思路1.(情境导入)黑板所在平面与地面所在平面
3、垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCDABCD中，平面AADD与平面ABCD垂直,直线AA垂直于其交线AD.平面AADD内的直线AA与平面ABCD垂直吗？图2（二）推进新课、新知探究、提出问题如图3,若,=CD,AB,ABCD,ABCD=B.请同学们讨论直线AB与平面的位置关系.图3用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理，并给出证明.设平面平面,点P,Pa,a,请同学们讨论直线a与平面的关系.分析平面与平面垂直的性质定理的特点，讨论应用定理的难点.总结应用面面垂直的性质定理的口诀.活动:问题引导学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面的关系.问题引
4、导学生进行语言转换.问题引导学生作图或借助模型探究得出直线a与平面的关系.问题引导学生回忆立体几何的核心，以及平面与平面垂直的性质定理的特点.问题引导学生找出应用平面与平面垂直的性质定理的口诀.讨论结果：通过学生作图或借助模型探究得出直线AB与平面垂直,如图3.两个平面垂直的性质定理用文字语言描述为：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面.两个平面垂直的性质定理用图形语言描述为：如图4.图4两个平面垂直的性质定理用符号语言描述为：AB.两个平面垂直的性质定理证明过程如下：图5如图5，已知,=a,AB，ABa于B.求证：AB.证明：在平面内作BECD垂足为B,则AB
5、E就是二面角CD的平面角.由,可知ABBE.又ABCD，BE与CD是内两条相交直线,AB.问题也是阐述面面垂直的性质，变为文字叙述为：求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.下面给出证明.如图6,已知，P，Pa，a.求证：a.图6证明：设=c，过点P在平面内作直线bc，,b.而a，Pa,经过一点只能有一条直线与平面垂直,直线a应与直线b重合.那么a. 利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线b，不易想到，二是证明直线b和直线a重合，相对容易些.点P的位置由投
6、影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上. 我认为立体几何的核心是：直线与平面垂直，因为立体几何的几乎所有问题都是围绕它展开的，例如它不仅是线线垂直与面面垂直相互转化的桥梁，而且由它还可以转化为线线平行，即使作线面角和二面角的平面角也离不开它.两个平面垂直的性质定理的特点就是帮我们找平面的垂线，因此它是立体几何中最重要的定理. 应用面面垂直的性质定理口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.（四）应用示例思路1例1 如图7，已知，a,a,试判断直线a与平面的位置关系.图7解:在内作垂直于与交线的垂线b,b.a,ab.a,a.变式训练 如图8,已知平面交平面于直线a
7、.、同垂直于平面，又同平行于直线b.求证：(1)a；(2)b. 图8 图9证明：如图9,(1)设=AB，=AC.在内任取一点P并在内作直线PMAB，PNAC.，PM.而a，PMa.同理,PNa.又PM，PN，a.(2)在a上任取点Q，过b与Q作一平面交于直线a1，交于直线a2.b，ba1.同理,ba2.a1、a2同过Q且平行于b，a1、a2重合.又a1，a2，a1、a2都是、的交线，即都重合于a.ba1，ba.而a，b.点评：面面垂直的性质定理作用是把面面垂直转化为线面垂直，见到面面垂直首先考虑利用性质定理，其口诀是：“见到面面垂直，立即在一个平面内作交线的垂线”.例2 如图10，四棱锥PAB
8、CD的底面是AB=2，BC=的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB底面ABCD. 图10 图11（1）证明侧面PAB侧面PBC；（2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角；（3）求直线AB与平面PCD的距离.（1）证明：在矩形ABCD中，BCAB,又面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,BC侧面PAB.又BC侧面PBC,侧面PAB侧面PBC.（2）解：如图11,取AB中点E，连接PE、CE,又PAB是等边三角形,PEAB.又侧面PAB底面ABCD，PE面ABCD.PCE为侧棱PC与底面ABCD所成角.PE=BA=,CE=,在RtPEC中，PCE=45为所求.（3）解：在矩形AB
9、CD中，ABCD,CD侧面PCD，AB侧面PCD，AB侧面PCD.取CD中点F，连接EF、PF，则EFAB.又PEAB,AB平面PEF.又ABCD,CD平面PEF.平面PCD平面PEF.作EGPF，垂足为G，则EG平面PCD.在RtPEF中，EG=为所求.变式训练如图12，斜三棱柱ABCA1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成60角，侧面BCC1B1面ABC.求平面AB1C1与底面ABC所成二面角的大小.图12活动:请同学考虑面BB1C1C面ABC及棱长相等两个条件，师生共同完成表述过程，并作出相应辅助线.解：面ABC面A1B1C1，则面BB1C1C面ABC=BC,面BB1C1C面A1B1C1=
10、B1C1,BCB1C1，则B1C1面ABC.设所求两面交线为AE，即二面角的棱为AE,则B1C1AE，即BCAE.过C1作C1DBC于D，面BB1C1C面ABC,C1D面ABC，C1DBC.又C1CD=60,CC1=a,故CD=,即D为BC的中点.又ABC是等边三角形,BCAD.那么有BC面DAC1,即AE面DAC1.故AEAD，AEAC1,C1AD就是所求二面角的平面角.C1D=a，AD=a，C1DAD,故C1AD=45.点评:利用平面与平面垂直的性质定理,找出平面的垂线是解决问题的关键.思路2例1 如图13，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至ABD的位置，使CD=AC,图13（1）求证
11、：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）证明：(证法一):由题设,知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O为垂足，则OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中点.OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.(证法二):取AB中点O，连接OD、OC,则有ODAB，OCAB，即COD是二面角CABD的平面角.设AC=a，则OC=OD=,又CD=AD=AC,CD=a.COD是直角三角形，即COD=90.二面角是直二面角，即平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中点E，连接CE、OE、OC,BCD为正三角形，CEBD.又BOD为等腰直角三角形,OEBD.O
12、EC为二面角CBDA的平面角.同（1）可证OC平面ABD,OCOE.COE为直角三角形.设BC=a，则CE=a，OE=a,cosOEC=即为所求.变式训练 如图14，在矩形ABCD中，AB=33,BC=3，沿对角线BD把BCD折起，使C移到C，且C在面ABC内的射影O恰好落在AB上.图14（1）求证：ACBC；（2）求AB与平面BCD所成的角的正弦值；（3）求二面角CBDA的正切值.（1）证明：由题意,知CO面ABD,COABC,面ABC面ABD.又ADAB,面ABC面ABD=AB,AD面ABC.ADBC.BCCD,BC面ACD.BCAC.(2)解:BC面ACD,BC面BCD,面ACD面BCD
13、.作AHCD于H,则AH面BCD,连接BH,则BH为AB在面BCD上的射影,ABH为AB与面BCD所成的角.又在RtACD中,CD=33,AD=3,AC=3.AH=.sinABH=,即AB与平面BCD所成角的正弦值为.(3)解:过O作OGBD于G,连接CG,则CGBD,则CGO为二面角CBDA的平面角.在RtACB中,CO=,在RtBCD中,CG=.OG=.tanCGO=,即二面角CBDA的正切值为.点评:直线与平面垂直是立体几何的核心,它是证明垂直问题和求二面角的基础,因此利用平面与平面垂直的性质定理找出平面的垂线,就显得非常重要了.例2 如图15,三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，
14、AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成30角，求二面角BB1CA的正弦值.图15活动:可以知道，平面ABC与平面BCC1B1垂直，故可由面面垂直的性质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线.解：由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC1B1，过A作AN平面BCC1B1，垂足为N，则AN平面BCC1B1（AN即为我们要找的垂线）,在平面BCB1内过N作NQ棱B1C，垂足为Q，连接QA，则NQA即为二面角的平面角.AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB，CAB1A.AB=BB1=1，得AB1=.直线B1C与平面ABC成30角，B1CB=30，B1C=2.在RtB1AC中，由勾股定理,得AC=.
15、AQ=1.在RtBAC中，AB=1，AC=，得AN=.sinAQN=,即二面角BB1CA的正弦值为.变式训练 如图16，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2，M为BC的中点.(1)证明：AMPM；(2)求二面角PAMD的大小. 图16 图17(1)证明：如图17,取CD的中点E，连接PE、EM、EA,PCD为正三角形,PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=.平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD.四边形ABCD是矩形,ADE、ECM、ABM均为直角三角形.由勾股定理可求得EM=，AM=，AE=3,EM2+AM2=AE2.AMEM.又EM是PM在平面A
16、BCD上的射影,AME=90.AMPM.(2)解:由(1)可知EMAM，PMAM,PME是二面角PAMD的平面角.tanPME=1.PME=45.二面角PAMD为45.（五）知能训练课本本节练习.（六）拓展提升(2007全国高考,理18)如图18,在三棱锥SABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,BAC=90,O为BC中点.(1)证明SO平面ABC;(2)求二面角ASCB的余弦值. 图18 图19(1)证明：如图19,由题设,知AB=AC=SB=SC=SA.连接OA,ABC为等腰直角三角形,所以OA=OB=OC=SA,且AOBC.又SBC为等腰三角形,故SOBC,且SO=SA.从而OA2+SO2=SA2.所以SOA为直角三角形,SOAO.又AOBC=O,所以SO平面ABC.(2)解:如图19,取SC中点M,连接AM、OM,由(1),知SO=OC,SA=AC,得OMSC,AMSC.所以OMA为二面角ASCB的平面角.由AOBC,AOSO,SOBC=O,得AO平面SBC.所以AOOM.又AM=SA,故sinAMO=.所以二面角ASCB的余弦值为.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业课本习题2.3 B组3、4.
