1、4-7 解三角形应用举例1.(2011舟山期末)某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为()A. B2C2或 D3答案C解析如图，ABC中，AC，BC3，ABC30，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，3x296xcos30，x或2.2为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是()A20m B20mC20(1)m D30m答案A解析如图所示，四边形CBMD为正方形，而CB20m，所以BM20m.又在RtAMD中，DM20m，ADM3
2、0，来源:KAMDMtan30(m)，ABAMMB2020m.3一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西，另一灯塔在船的南75西，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里答案C解析如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10(海里/小时)4(文)(2010广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()km.()Aa
3、B.aC2a D.a答案D解析依题意得ACB120.由余弦定理cos120AB2AC2BC22ACBCcos120a2a22a23a2ABa.故选D.(理)(2010北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是()高&考%资(源#网 wxcA10海里 B10海里C20海里 D20海里答案A解析如图，由条件可知ABC中，BAC30，ABC105，AB20，ACB45，由正弦定理得，BC10，故选A.5(2011沧州模拟)
4、有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 B2sin10C2cos10 Dcos20答案C解析如图，BD1，DBC20，DAC10，在ABD中，由正弦定理得，AD2cos10.6江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距()A10m B100mC20m D30m答案A解析设炮塔顶A、底D，两船B、C，则BAD45，CAD30，BDC30，AD30，DB30，DC10，BC2DB2DC22DBDCcos30300，BC10.7在地面上一点D测得一电视塔尖的仰角为45，再向塔底方
5、向前进100m，又测得塔尖的仰角为60，则此电视塔高约为_m()A237 B227C247 D257答案A解析如图，D45，ACB60，DC100，DAC15，AC，ABACsin60237.选A.8一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.答案30解析如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在三角形AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)9(文)如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105，行进
6、10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135后继续前行回到出发点，那么x_.答案解析由题知，CBA75，BCA45，BAC180754560，x.(理)(2011洛阳部分重点中学教学检测)在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且POQ90，再过一分钟，该物体位于R点，且QOR30，则tanOPQ的值为_答案解析由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQQR，不妨设其长度为1.在RtPOQ中，OQsinOPQ，OPcosOPQ，在OPR中，由正弦定理得，在ORQ中，两式两边同时相除得tanOPQ.10.(2011郑州一测)某气象仪器研究所按以
7、下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪器的垂直弹射，观察点A、B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒A地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得最高点H的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)解析由题意，设|AC|x，则|BC|x340x40，在ABC内，由余弦定理：|BC|2|BA|2|CA|22|BA|CA|cosBAC，即(x40)2x210000100x，解得x420.在ACH中，|AC|420，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：，可得|CH|AC|140.答：该仪器的垂直弹射高
8、度CH为140米.来源:K11.在ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“ab”是“acosAbcosB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当ab时，AB，acosAbcosB；当acosAbcosB时，由正弦定理得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，2A2B或2A2B，AB或AB.则ab或a2b2c2.所以“ab”“acosAbcosB”，“acosAbcosB” “ab”，故选A.12(文)(2010山东济南)设F1、F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，P在双曲线上，若0，|2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为
9、()A. B.C 2 D.答案D解析由条件知，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，根据双曲线定义得：4a2(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|F1F2|24ac4c24ac，a2acc20，1ee20，e1，e.(理)(2010安徽安庆联考)如图，在ABC中，tan，0，()0，经过点B以A、H为两焦点的双曲线的离心率为()A. B.1C.1 D.答案A解析0，AHBC，tan，tanC，又()0，CACB，tanBtancot2，设BHx，则AH2x，CHx，ABx，由条件知双曲线中2CAH2x,2aABBH(1)x，e，故选A.13ABC的周长是20，面
10、积是10， A60，则BC边的长等于_答案7解析由已知得由得b2c2a2bc，结合知(20a)22cba2bc来源:高&考%资(源#网 wxc又由得bc40，代入得a7.14.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一轮船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45.如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解析在ABC中，BC30，B30，ACB135，BAC15.由正弦定理知，即.AC60cos1560cos(4530)60(cos45cos30sin45sin30)15()(海里)于是，A到BC所在直线的距离为：ACsin4515
11、()15(1)40.98(海里)它大于38海里，所以船继续向南航行，没有触礁的危险15(2011辽宁文，17)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinBbcos2Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.解析(1)由正弦定理得，sin2AsinBsinBcos2AsinA，即sinB(sin2Acos2A)sinA.故sinBsinA，所以.(2)由余弦定理知c2b2a2，得cosB.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cosB0，故cosB，所以B45.1(2011辽宁铁岭六校联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)且在3，2
12、上是减函数，、是锐角三角形的两个内角，则f(sin)与f(cos)的大小关系是()Af(sin)f(cos)Bf(sin)f(cos)Cf(sin)f(cos)Df(sin)与f(cos)的大小关系不确定答案A解析f(x1)f(x)，f(x2)f(x)，f(x)周期为2，f(x)在3，2上是减函数，f(x)在1,0上是减函数，f(x)为偶函数，f(x)在0,1上是增函数，、是锐角三角形内角，0，1sinsincos0，f(sin)f(cos)2(2011济南三模)已知函数f(x)sin(x)(0，)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点(2，)，则函数f(x)_.答案sin(x)
13、解析由题知两个相邻的最高点与最低点的距离为2，f(x)maxf(x)min2，结合图象由勾股定理可得2，故周期T4，又函数f(x)过点(2，)，所以sin()，又因为，所以，所以函数f(x)的解析式为f(x)sin(x)3(2011广东肇庆模拟)在ABC中，B，且4，则ABC的面积是_答案6解析由已知得accos4，所以ac8，所以ABC的面积SacsinB86.4(2011温州五校联考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知点D是BC边的中点，且(a2ac)，则角B_.答案30解析()aaccosBa2accosB又 (a2ac)，cosB，B30.5(2011茂名期末)在A
14、BC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.来源:K(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状解析(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcosC得a2b2ab4.又ABC的面积为，absinC，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sinCsin(BA)sin2A，得sin(AB)sin(BA)2sinAcosA，即2sinBcosA2sinAcosA，cosA(sinAsinB)0，cosA0或sinAsinB0，当cosA0时，0A，A，ABC为直角三角形；当sinAsinB0时，得sinBsinA，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形ABC为等腰三角形或直角三角形