1、2-8 函数与方程、函数模型及其应用1.(2011湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()答案C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B选项中不存在f(x)0，D选项中零点两侧函数值同号，故选C.2(文)若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值()A大于0 B小于0C等于0 D不能确定答案D来源:K解析若函数f(x)在(2,2)内有且仅有一个零点，且是变号零点，才有f(2)f(2)0，f()()()0，f()()()0，f()f()0，且函数f(x
2、)的图象为连续曲线，函数f(x)在(，)内有零点点评一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理，难度不大，但有一定的综合性，要多加强这种小题训练，做题不一定多，但却能将应掌握的知识都训练到3(文)(2011杭州模拟)函数f(x)|x2|lnx在定义域内零点的个数为()A0B1C2D3答案C解析在同一坐标系内作出函数y|x2|与ylnx的图象，lne1，e3，由图象可见两函数图象有两个交点，函数f(x)有两个零点(理)(2010吉林市质检)函数f(x)xsinx在区间0,2上的零点个数为()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析在同一坐标系中作出函数yx与ysin
3、x的图象，易知两函数图象在0,2内有两个交点4(2011深圳一检)已知函数f(x)x2x，g(x)xlnx，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax1x2x3 Bx2x1x3Cx1x3x2 Dx3x2x1答案A解析令f(x)x2x0，因为2x恒大于零，所以要使得x2x0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)xlnx0，要使得lnx有意义，则x必须大于零，又xlnx0，所以lnx0，解得0x1，即0x21，即x31，从而可知x1x20)上是单调函数，且f(0)f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是()A3B2C1D0答案B解析f(0)f(a
4、)0)，设si(i1,2,3,4)表示运矿费用的总和，则只需比较中转站在不同位置时si(i1,2,3,4)的大小如果选在P点，s16a2a23a34a435a，如果选在Q点，s26a22a3a24a332a，如果选在R处，s36a42a33a4a233a，如果选在S处，s46a42a33a24a40a，显然，中转站选在Q点时，中转费用最少7定义在R上的偶函数yf(x)，当x0时，yf(x)单调递增，f(1)f(2)0.则函数yf(x)的图象与x轴的交点个数是_答案2解析由已知可知，在0，)上存在惟一x0(1,2)，使f(x0)0，又函数f(x)为偶函数，所以存在x0(2，1)，使f(x0)0，
5、且x0x0.故函数的图象与x轴有2个交点8.(2010浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙的厚度不计)答案2500m2解析设所围场地的长为x，则宽为，其中0x200，场地的面积为x22500m2，等号当且仅当x100时成立9(文)(2010揭阳市模拟)某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d(km)(d200km)的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n(km)以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高(经济
6、效益市场销售价值生产成本运输成本)，则n的值为_.作物项目水果蔬菜稻米甘蔗市场价格(元/kg)8321生产成本(元/kg)3210.4运输成本(元/kgkm)0.060.020.010.01单位面积相对产量(kg)10154030答案50解析设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，则y1500.6d，y2150.3d，y3400.4d，y4180.3d，由50d0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.答案8解析解法1：由已知，定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点，又f(x)在区间0,2上为增函数，所以方程f(x)
7、m(m0)在区间0,2上有且只有一个根，不妨设为x1；f(x1)f(x1)f(x14)f(x14)，x142,4也是一个根，记为x2，x1x24.又f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，f(x)是周期为8的周期函数，f(x18)f(x1)m，不妨将此根记为x3，且x3x188，6；同理可知x4x286，4，x1x2x3x4x1x2x18x288.解法2：f(x)为奇函数，且f(x4)f(x)，f(x4)f(x)，以2x代入x得：f(2x)f(2x)f(x)的图象关于直线x2对称，又f(x)为奇函数，f(x)的图象关于直线x2也对称又f(x8)f(x4)4)f(x4)f(x)，f(x)的周期为
8、8.又在R上的奇函数f(x)有f(0)0，f(x)在0,2上为增函数，方程f(x)m，在8,8上有四个不同的根x1、x2、x3、x4.必在2,2上有一实根，不妨设为x1，m0，0x12，四根中一对关于直线x2对称一对关于直线x6对称，故x1x2x3x4222(6)8.10当前环境问题已成为问题关注的焦点，2009的哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说非常小请根据以下数据：当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米；当前
9、液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑1516千米；一辆出租车日平均行程为200千米(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱解析(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为P元，由题意可知，W2.8(t0且tN)3P3(t0且tN)，即37.5tP40t.又40t，即WP，所以使用液化气比使用汽油省钱(2)设37.5t5000，解得t545.5，又t0，tN，t546.设40t5000，解得t750.所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t546,7
10、50时，省出的钱等于改装设备的钱.11.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100答案C解析观察前四个月的数据规律，(1,100)，(2,200)，(3,400)，(4,790)，接近(4,800)，可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律，故选C.点评也可以将x1,2,3,4，依次代入四个选项中，通过对比差异大小来作判断，但计算量比较大12(文)(2011舟山月考)函数
11、f(x)的零点个数是()A0B1C2D3答案D解析令x(x1)0得x0或1，满足x0；当x0时，lnx与2x6都是增函数，f(x)lnx2x6(x0)为增函数，f(1)40，f(x)在(0，)上有且仅有一个零点，故f(x)共有3个零点(理)(2010瑞安中学)函数f(x)在2,2内的图象如图所示，若函数f(x)的导函数f (x)的图象也是连续不间断的，则导函数f (x)在(2,2)内有零点()A0个 B1个C2个 D至少3个答案D解析f (x)的零点，即f(x)的极值点，由图可知f(x)在(2,2)内，有一个极大值和两个极小值，故f(x)在(2，2)内有三个零点，故选D.13(2010安徽江南
12、十校联考)某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()Af(x) Bf(x)Cf(x) Df(x)lgsinx答案C解析根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点经验证：f(x)不存在零点；f(x)不存在零点；f(x)的定义域为全体实数，且f(x)f(x)，故此函数为奇函数，且令f(x)0，得x0，函数f(x)存在零点；f(x)lgsinx不具有奇偶性14(文)(2011山东济宁一模)已知a是函数f(x)2xx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足()Af(x0)0 Bf(x0)0 Df(x0)的符号不确定答案B解析分别作出y2x与yx的图象如图，当0x0a时，y2
13、x的图象在yx图象的下方，所以，f(x0)0.(理)(2010安徽合肥质检)已知函数f(x)，把函数g(x)f(x)x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()Aan(nN*)Bann(n1)(nN*)Cann1(nN*)Dan2n2(nN*)答案C解析当x0时，f(x)2x1；当0x1时，f(x)f(x1)12x1112x1；当1x2时，f(x)f(x1)1f(x2)22x2122x21；当x0时，g(x)的零点为x0；当0x1时，g(x)的零点为x1；当1x2时，g(x)的零点为x2；当n1xn(nN*)时，g(x)的零点为n，故a10，a21，a32，ann1.15(
14、文)某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管) (1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少，并求出这个最小值解析(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保
15、管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x1天每次购买的原材料在x天内的保管费用为来源:Ky14000.03123(x1)6x26x.(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x26x6001.5400x6x2594x600(元)，购买一次原材料平均每天支付的总费用为y6x5942594714.当且仅当6x，即x10时，取得等号该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少，最少费用为714元(理)(2011日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂，由于工厂生产须占用农场的部分资源，因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入
16、工厂在不赔付农场的情况下，工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x2000，若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格)(1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出工厂获得最大利润的年产量；(2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y0.002t2(元)，在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，农场要在索赔中获得最大净收入，应向张林的工厂要求赔付价格s是多少？解析(1)工厂的实际年利润为：来源:Kw2000st(t0)w2000sts()2，当t()2时，w取得最大值所以工厂取得最大年利润的年产量t()2(吨)(2)设农场净收入为v元，则vst
17、0.002t2.将t()2代入上式，得v.又v，令v0，得s20.当0s0；当s20时，v1，设函数f(x)axx4的零点为m，g(x)logaxx4的零点为n，则的取值范围是()A(3.5，) B(1，)C(4，) D(4.5，)答案B分析欲求的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数yax和对数函数ylogax与直线yx4的交点的横坐标，因为指数函数yax和对数函数ylogax互为反函数，故其图象关于直线yx对称，又因直线yx4垂直于直线yx，指数函数yax和对数函数ylog
18、ax与直线yx4的交点的横坐标之和是直线yx与yx4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可解析令axx40得axx4，令logaxx40得logaxx4，在同一坐标系中画出函数yax，ylogax，yx4的图象，结合图形可知，nm为直线yx与yx4的交点的横坐标的2倍，由，解得x2，所以nm4，因为(nm)114，又nm，故(nm)4，则1.2(2011温州十校模拟)已知函数f(x)2mx22(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A(0,2) B(0,8)C(2,8) D(，0)
19、答案B解析当m0时，显然不合题意；当m0时，f(0)10，若对称轴0即0m4，结论显然成立；若对称轴4，只要4(4m)28m4(m8)(m2)0即可，即4m8.综上0m8，选B.3(2011江南十校联考)定义域为D的函数f(x)同时满足条件：常数a，b满足a0，a1)，那么函数f(x)的零点个数是()A0个 B1个C2个 D至少1个答案D解析在同一坐标系中作出函数yax与yxa的图象，a1时，如图(1)，0a0，所以函数f(x)在区间1,2上为增函数若存在零点，则，解得a1b82a.因此能使函数在区间1,2上有零点的有：a1,2b10，故b2，b4，b8.a2,3b12，故b4，b8，b12.
20、a3,4b14，故b4，b8，b12.a4,5b16，故b8，b12.根据古典概型可得有零点的概率为.7设函数yx3与y()x2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案B解析令g(x)x322x，可求得g(0)0，g(1)0，g(3)0，g(4)0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2)8(2010福建理，4)函数f(x)的零点个数为()A0B1C2D3答案C解析令x22x30得，x3或1x0，x3，令2lnx0得，lnx2xe20，故函数f(x)有两个零点9(2011龙岩模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处
21、有一棵树与两墙的距离分别是am(08时，在xa时，矩形面积取最大值ua(16a)，在a,12上为减函数，故选C.10已知yx(x1)(x1)的图象如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程f(x)0.有三个实根当x1时，恰有一实根当1x0时，恰有一实根当0x1时，恰有一实根正确的有_答案解析f(2)5.990，即f(2)f(1)0，结合图象知f(x)0在(1,0)上没有实数根，所以不正确又f(0.5)0.5(0.5)1.50.010.3650.所以f(x)0在(0.5,1)上必有一实根，在(0，0.5)上也有一个实根f(x)0在(0,1)上有两个实根所以不正确由f(1)0结合图象知，f(x)0在(1，)上没有实根，不正确，由此可知正确