1、2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二（上）抽考数学试卷（文科）（宏志班）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1下列结论正确的个数是（）若x0，则xsinx恒成立；命题“x0，xlnx0”的否定是“x0，x0lnx00”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件A1个B2个C3个D4个2复数z为纯虚数，若（3i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A3B3CD3锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A（2，2）B（0，2）C（，2）D（
2、，）4已知数列an的通项为an=log（a+1）（n+2）（nN*），我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在（0，2015内的所有“优数”的和为（）A1024B2012C2026D20365已知实数m、n满足不等式组，则关于x的方程x2（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A6，6B8，8C4，7D7，46已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）AB3CD7正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存在am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（）ABCD8设aR，若函数
3、y=ex+ax，xR，有大于零的极值点，则（）Aa1Ba1CD9已知双曲线=1（a）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）ABCD210已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则E的方程式为（）ABCD11设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r=（）ABCD12已知函数f（x）定义域为（0，+），且满足f（x）+xf（x）=，f（e）=则下列结论正确的是（）A
4、f（x）有极大值无极小值Bf（x）有极小值无极大值Cf（x）既有极大值又有极小值Df（x）没有极值二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13设i是虚数单位，则=14已知点P（x，y）到A（0，4）和B（2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为15在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S10=p，前18项和S18=q，则数列|an|的前18项和T18=16半径为r的圆的面积S（r）=r2，周长C（r）=2r，若将r看作（0，+）上的变量，则（r2）=2r式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作（0
5、，+）上的变量，请你写出类似于的式子：，式可以用语言叙述为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（选做题）已知正数a、b、c满足a+b2c，求证：18在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量，且（1）求角B；（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求ABC的面积19已知数列an的前n项和Sn=n2+2n（nN+），数列bn的前n项和Tn=2n1（nN+）（1）求数列的前n项和；（2）求数列anbn的前n项和20如图（1），ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上
6、的射影O恰为EC的中点，得到图（2）（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积21过点C（0，1）的椭圆+=1（ab0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0）、B（a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（）当点P异于点B时，求证：为定值22已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a2，证明：对任意x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二（上）抽考数学试卷（文科）（宏志班）
7、参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1下列结论正确的个数是（）若x0，则xsinx恒成立；命题“x0，xlnx0”的否定是“x0，x0lnx00”；“命题pq为真”是“命题pq为真”的充分不必要条件A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】令y=xsinx，求出导数，判断单调性，即可判断；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断；由命题pq为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出pq为真，即可判断；【解答】解：对于，令y=xsinx，则y=1cosx0，则有函数y=xsi
8、nx在R上递增，则当x0时，xsinx00=0，则xsinx恒成立所以正确；对于，命题“xR，xlnx0”的否定是“x0R，x0lnx00”所以正确；对于，命题pq为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出pq为真，反之成立，则应为必要不充分条件，所以不正确；综上可得，其中正确的叙述共有2个故选：B【点评】本题考查函数的单调性的运用，考查复合命题的真假和真值表的运用，考查充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题和易错题2复数z为纯虚数，若（3i）z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为（）A3B3CD【考点】复数相等的充要条件【专题】数系的扩充和复数【分析】设出复数z，然后利用复数相等的充要
9、条件，求解即可【解答】解：设复数z=bi，b0，（3i）z=a+i，化为（3i）bi=a+i，即b+3bi=a+i，b=a=，故选：D【点评】本题考查复数的基本运算，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力3锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A（2，2）B（0，2）C（，2）D（，）【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用【专题】计算题【分析】先根据正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出的范围【解答】解：根据正弦定理得： =；则由B=2A，得： =2cosA，而三角形为
10、锐角三角形，所以A（，）所以cosA（，）即得2cosA（，）故选D【点评】考查学生利用正弦定理解决数学问题的能力，以及会利用二倍角的正弦函数公式化简求值，会求余弦函数在某区间的值域4已知数列an的通项为an=log（a+1）（n+2）（nN*），我们把使乘积a1a2a3an为整数的n叫做“优数”，则在（0，2015内的所有“优数”的和为（）A1024B2012C2026D2036【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得，a1a2an=log23log34logn+1（n+2）=log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k，在（1，2010内的所有整数
11、可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求【解答】解：an=logn+1（n+2）a1a2an=log23log34logn+1（n+2）=log2（n+2），若使log2（n+2）为整数，则n+2=2k在（1，2015内的所有整数分别为：222，232，2102所求的数的和为222+232+2102=29=2026故选：C【点评】本题以新定义“优数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题5已知实数m、n满足不等式组，则关于x的方程x2（3m+2n）x+6mn=0的两根之和的最大值和最小值分别是（）A6，6B8，8C4，7D7，4【考点】简单线性规划【专题】
12、计算题【分析】先作出不等式组的平面区域，而z=x1+x2=3m+2n，由z=3m+2n可得n=，则表示直线z=3m+2n在n轴上的截距，截距越大，z越大，结合图形可求【解答】解：作出不等式组的平面区域则关于x的方程x2（3m+2n）x+6mn=0的两根之和z=x1+x2=3m+2n由z=3m+2n可得n=，则表示直线z=3m+2n在n轴上的截距，截距越大，z越大作直线3m+2n=0，向可行域方向平移直线，结合图形可知，当直线经过B时，z最大，当直线经过点D时，z最小由可得B（1，2），此时z=7由可得D（0，2），此时z=4故选D【点评】本题以方程的根与系数关系的应用为载体，主要考查了线性规划
13、在求解目标函数的最值中的应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义6已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）AB3CD【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和故选A【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题7正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存
14、在am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（）ABCD【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项am，an，使得aman=16a12，知m+n=6，由此问题得以解决【解答】解：正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，即：q2=q+2，解得q=1（舍），或q=2，存在am，an，使得aman=16a12，所以，m+n=6，=所以的最小值为故选：D.【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了8设aR，若函数y
15、=ex+ax，xR，有大于零的极值点，则（）Aa1Ba1CD【考点】利用导数研究函数的极值【专题】压轴题；数形结合【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围【解答】解：y=ex+ax，y=ex+a由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得a1a1，故选A【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立9已知双曲线=1（a）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）ABCD2【考点】双曲线的简单性质【专
16、题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得斜率为的渐近线的倾斜角为，由tan=，求得a的值，可得双曲线的离心率【解答】解：双曲线=1（a）的两条渐近线的夹角为，可得斜率为的渐近线的倾斜角为，tan=，求得a=，双曲线的离心率为=，故选：A【点评】本题主要考查双曲线的标准方程和简单性质，属于基础题10已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则E的方程式为（）ABCD【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B
17、点坐标代入方程联立相减得x1+x2=24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=24，y1+y2=30得=，从而=1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程考查了学生综合分析问题和解决问题的能力11设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体
18、SABC的体积为V，则r=（）ABCD【考点】类比推理【专题】探究型【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R=故选C【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质
19、，得出一个明确的命题（或猜想）12已知函数f（x）定义域为（0，+），且满足f（x）+xf（x）=，f（e）=则下列结论正确的是（）Af（x）有极大值无极小值Bf（x）有极小值无极大值Cf（x）既有极大值又有极小值Df（x）没有极值【考点】利用导数研究函数的极值【专题】计算题；导数的综合应用【分析】由题意可得xf（x）=（lnx）2+c；再由f（e）=可得c=，从而可得f（x）=（lnx）2+1）；从而再求导判断即可【解答】解：f（x）+xf（x）=，xf（x）=，xf（x）=（lnx）2+c；又f（e）=，e=（lne）2+c；故c=；故f（x）=（lnx）2+1）；f（x）=0；故函数f（
20、x）在（0，+）上为减函数，故f（x）没有极值；故选D【点评】本题考查了导数的运算与积分的运算，同时考查了导数的综合应用，属于中档题二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13设i是虚数单位，则=1i【考点】复数代数形式的混合运算【专题】计算题；转化思想；分析法；数系的扩充和复数【分析】由=进一步化简计算即可得答案【解答】解：=1i，=1i故答案为：1i【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，是基础题14已知点P（x，y）到A（0，4）和B（2，0）的距离相等，则2x+4y的最小值为4【考点】基本不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得x+2y=3，进
21、而可得2x+4y=2x+22y，由基本不等式求最值可得【解答】解：P（x，y）到A（0，4）和B（2，0）的距离相等，x2+（y4）2=（x+2）2+y2，展开化简可得x+2y=3，2x+4y=2x+22y2=2=2=4当且仅当2x=22y即x=且y=时取最小值4故答案为：4【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及距离公式和指数的运算，属基础题15在等差数列an中，a10，a10a110，若此数列的前10项和S10=p，前18项和S18=q，则数列|an|的前18项和T18=2pq【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】根据已知条件，求出其正负转折项，然后再求数列|an|的前
22、18项和【解答】解：设等差数列an的公差为d，a10，a10a110，d0，a100，a110，T18=a1+a10a11a18=S10（S18S10）=p（qp）=2pq故答案为：2pq【点评】求数列|an|的前n项和，关键是求出其正负转折项，然后转化成等差数列求和16半径为r的圆的面积S（r）=r2，周长C（r）=2r，若将r看作（0，+）上的变量，则（r2）=2r式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于的式子：，式可以用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数【考点】归纳推理【专题】常规题型；压轴题【分析
23、】圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，类比得到球的体积函数的导数等于球的表面积函数，有二维空间推广到三维空间【解答】解：V球=，又故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”故答案为，球的体积函数的导数等于球的表面积函数【点评】本题考查类比推理，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（选做题）已知正数a、b、c满足a+b2c，求证：【考点】不等式的证明；综合法与分析法(选修）【专题】综合题【分析】利用分析法证明，将问题转化为证明，进一步转化为证明a+b2c即可【解答】证明：要证，只需证，（3分）即只要证（5分）两边都是非
24、负数，只要证（ac）2c2ab即证a22acab只要证a（a+b）2aca0，只要证a+b2c这就是已知条件，且以上各步都可逆，（10分）【点评】本题考查不等式的证明，考查分析法的运用，掌握分析法的证题步骤是关键18在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量，且（1）求角B；（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求ABC的面积【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）根据向量数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，得，再由0B，解此方程可得角B的大小
25、；（2）根据余弦定理，建立关于a、c的方程并化简得4=a2+c2ac，而a、b、c成等差数列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，从而得到ABC是等边三角形，由此不难得到ABC的面积【解答】解：（1）向量，且，化简得，可得，（5分）又0B，得，解之得（7分）（2）a，b，c成等差数列，b=2，a+c=2b=4又b2=a2+c22accosB，即4=a2+c2ac（10分）将a+c=4代入，得a24a+4=0，得a=2，从而c=2，三角形为等边三角形（12分）因此，ABC的面积（14分）【点评】本题给出向量含有三角函数式的坐标，在已知数量积的情况下求ABC中角B的大小，并依此求ABC
26、的面积着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题19已知数列an的前n项和Sn=n2+2n（nN+），数列bn的前n项和Tn=2n1（nN+）（1）求数列的前n项和；（2）求数列anbn的前n项和【考点】数列的求和【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）由已知得an=2n+1从而=，由此利用裂项求和法能求出数列的前n项和（2）由已知得，从而anbn=（2n+1）2n1，由此利用错位相减法能求出数列anbn的前n项和【解答】解：（1）数列an的前n项和Sn=n2+2n（nN+），a1=S1=1+2=3，n2时，an=SnSn1
27、=（n2+2n）（n1）2+2（n1）=2n+1，n=1时，2n+1=3=a1，an=2n+1=，数列的前n项和：An=（+）=（2）数列bn的前n项和Tn=2n1（nN+），b1=T1=21=1，n2时，bn=TnTn1=（2n1）（2n11）=2n1，n=1时，2n1=1=a1，anbn=（2n+1）2n1，数列anbn的前n项和：Bn=31+52+722+（2n+1）2n1，2Bn=32+522+723+（2n+1）2n，得Bn=3+22+23+2n（2n+1）2n=（2n+1）2n=2n+11（2n+1）2n，Bn=（2n1）2n+1【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题
28、时要认真审题，注意列项求和法和错位相减法的合理运用20如图（1），ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将AEF沿EF折起，使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图（2）（1）求证：EFAC；（2）求三棱锥FABC的体积【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题；证明题【分析】（1）欲证EFAC，可先证EF平面AEC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF平面AEC内两相交直线垂直，而EFAE，EFEC，ECAE=E，满足定理条件；（2）先根据题意求出SFBC，将求三棱锥FABC的体积转化成求三棱锥ABCF的体积，再根据三棱
29、锥的体积公式求解即可【解答】解：（1）证明：在ABC中，EF是等腰直角ABC的中位线，EFAC（2分）在四棱锥ABCEF中，EFAE，EFEC，（4分）又ECAE=EEF平面AEC，（5分）又AC平面AEC，EFAC（6分）（2）在直角梯形EFBC中，EC=2，BC=4，又AO垂直平分EC，V=SFBCAO=【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题21过点C（0，1）的椭圆+=1（ab0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0）、B（a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线
30、BD交于点Q（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（）当点P异于点B时，求证：为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合【分析】（I）当直线l过椭圆右焦点时，写出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段CD的长；（）设出直线l的方程，并和椭圆联立方程，求得点D的坐标，并求出点P的坐标，写出直线AC与直线BD的方程，并解此方程组，求得Q点的坐标，代入即可证明结论【解答】解：（I）由已知得b=1，解得a=2，所以椭圆的方程为椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程化简得7
31、x28x=0解得x1=0，x2=，代入直线l的方程得y1=1，y2=，所以D点坐标为（，）故|CD|=；（）当直线l与x轴垂直时与题意不符，设直线l的方程为y=kx+1（k0，k）代入椭圆方程化简得（4k2+1）x2+8kx=0，解得x1=0，x2=，代入直线l的方程得y1=1，y2=，所以D点坐标为（，），又直线AC的方程为，直线BD的方程为y=，联立解得，因此Q点坐标为（4k，2k+1），又P点坐标为（，0），=（，0）（4k，2k+1）=4，故为定值【点评】此题是个难题本题考查了、直线与椭圆的位置关系及弦长公式，和有关定值定点问题，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力
32、其中问题（II）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，22已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a2，证明：对任意x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题【解答
33、】解：（）f（x）的定义域为（0，+），当a0时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调增加；当a1时，f（x）0，故f（x）在（0，+）单调减少；当1a0时，令f（x）=0，解得x=当x（0，）时，f（x）0；x（，+）时，f（x）0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+）单调减少（）不妨假设x1x2由于a2，故f（x）在（0，+）单调递减所以|f（x1）f（x2）|4|x1x2|等价于f（x1）f（x2）4x24x1，即f（x2）+4x2f（x1）+4x1令g（x）=f（x）+4x，则+4=于是g（x）=0从而g（x）在（0，+）单调减少，故g（x1）g（x2），即f（x1）+4x1f（x2）+4x2，故对任意x1，x2（0，+），|f（x1）f（x2）|4|x1x2|【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减