1、2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（下）3月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x22x30，B=y|y=x2，xR，则AB=（）AB0，1C0，3D1，+）2下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （）ABCD3已知直线l，m，平面，下列命题正确的是（）Al，lBl，m，l，mClm，l，mDl，m，l，m，lm=M4在等差数列an中，已知a1+a2=4，a2+a3=8，则a7等于（）A7B10C13D195一个正三棱柱的主（正）视图是长
2、为，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于（）A16B12C8D46已知点A（2，3），B（3，2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）Ak2或kBk2CkDk27平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， =4，点P在边CD上，则的取值范围是（）A1，8B1，+）C0，8D1，08等比数列an中，a1+a2+an=2n1，则a12+a22+an2=（）A（2n1）2BC4n1D9在ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形10方程（x+y1）=0所表示的曲线是（）ABCD11已知函数f（x
3、）=sin（x+）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C函数f（x）的图象关于直线x=对称D函数f（x）在，上单调递增12直线ax+by=1与圆相交于不同的A，B两点（其中a，b是实数），且0（O是坐标原点），则a2+b22a的取值范围为（）A（1，9+4）B（0，8+4）C（1，1+2）D（4，8）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进
4、行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为14从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数和为5的概率是15如图所示，正三棱锥SABC中，侧棱与底面边长相等，若E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于16已知Sn是公差为d的等差数列an的前n项和，且S6S7S5，则下列四个命题：d0；S110；S120；S130中真命题的序号为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17记等差数列an的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10（）求数列an的通项公式；（）令bn=an2n（n
5、N*），求数列bn的前项和Tn18在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABCA1B1C1的体积20设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC（）求角A的大小；（）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长21已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，Sn=an（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn22圆C的半径为3，
6、圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|x22x30，B=y|y=x2，xR，则AB=（）AB0，1C0，3D1，+）【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可【
7、解答】解：由A中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即A=1，3，由B中y=x20，得到B=0，+），则AB=0，3，故选：C2下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是 （）ABCD【考点】变量间的相关关系【分析】观察两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，若带状越细说明相关关系越强，得到两个变量具有线性相关关系的图是和【解答】解：两个变量的散点图，若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，两个变量具有线性相关关系的图是和故选B3已知直线l，m，平面，下列命题正确的是（）Al，lBl，m，l，mClm，l，mDl，
8、m，l，m，lm=M【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据空间线面平行、面面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析选择正确答案【解答】解：对于A，l，l与可能相交；故A错误；对于B，l，m，l，m如果lm，可能相交，故是错误的；对于C，lm，l，m与可能相交；故C错误；对于D，l，m，l，m，lm=M满足面面平行的判定定理，所以；故D正确；故选D4在等差数列an中，已知a1+a2=4，a2+a3=8，则a7等于（）A7B10C13D19【考点】等差数列的通项公式【分析】根据题意和等差数列的通项公式列出方程，求出a1和d的值，再求出a7【解答】解：设等差数列an的公差是d，因为a1+
9、a2=4，a2+a3=8，所以，解得，所以a7=a1+6d=1+12=13，故选：C5一个正三棱柱的主（正）视图是长为，宽为2的矩形，则它的外接球的表面积等于（）A16B12C8D4【考点】球内接多面体【分析】连接上下底面中心，连接它的中点和棱柱的顶点，就是球的半径，求出球的表面积即可【解答】解：正三棱柱的底面边长是，高为2，球心在两个底面中心连线的中点O，球的半径是OA，则AD=OD=1，OA=外接球的表面积是：4R2=8故选C6已知点A（2，3），B（3，2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）Ak2或kBk2CkDk2【考点】直线的斜率【分析】由题意
10、画出图形，求出P与线段AB端点连线的斜率得答案【解答】解：如图，直线l的斜率k的取值范围是k2或k故选：A7平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2， =4，点P在边CD上，则的取值范围是（）A1，8B1，+）C0，8D1，0【考点】平面向量数量积的运算【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60，再建立坐标系，得到=x（x4）+3=x24x+3=（x2）21，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决【解答】解：AB=4，AD=2， =4，|cosA=4，cosA=，A=60，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，A（0，0），
11、B（4，0），D（1，），设P（x，），则1x5，=（x，），=（4x，），=x（x4）+3=x24x+3=（x2）21，设f（x）=（x2）21，f（x）在1，2）上单调递减，在2，5上单调递增，f（x）min=f（2）=1，f（x）max=f（5）=8，的取值范围是1，8，故选：A8等比数列an中，a1+a2+an=2n1，则a12+a22+an2=（）A（2n1）2BC4n1D【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】首先根据a1+a2+an=2n1，求出a1+a2+an1=2n11，两式相减即可求出数列an的关系式，然后求出数列an2的递推式，最后根据等比数列求和公式进行解答【解答
12、】解：a1+a2+an=2n1a1+a2+an1=2n11，得an=2n1，an2=22n2，数列an2是以1为首项，4为公比的等比数列，=，故选：D9在ABC中，已知a=2bcosC，那么这个三角形一定是（）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【考点】余弦定理的应用【分析】先根据余弦定理表示出cosC，代入整理即可得到b=c从而知是等腰三角形【解答】解：a=2bcosC=2b=a2=a2+b2c2b2=c2因为b，c为三角形的边长b=cABC是等腰三角形故选C10方程（x+y1）=0所表示的曲线是（）ABCD【考点】曲线与方程【分析】原方程等价于：，或x2+y2=4；两组方程
13、分别表示出圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分【解答】解：原方程等价于：，或x2+y2=4；其中当x+y1=0需有意义，等式才成立，即x2+y24，此时它表示直线xy1=0上不在圆x2+y2=4内的部分，这是极易出错的一个环节故选D11已知函数f（x）=sin（x+）（0，|），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A函数f（x）的最小正周期为2B函数f（x）的图象关于点（，0）d对称C函数f（x）的图象关于直线x=对称D函数f（x）在，上单调递增【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数
14、的图象【分析】由题意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求，函数f（x+）是偶函数，可得+=k+，kZ，又|，解得，可得解析式f（x）=sin（2x+），利用正弦函数的图象和性质即可判断求解【解答】解：函数f（x）=sin（x+）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，函数f（x）的周期T=，故A错误；0=2，函数f（x+）的解析式为：f（x）=sin2（x+）+=sin（2x+），函数f（x+）是偶函数，+=k+，kZ，又|，解得：=f（x）=sin（2x+）由2x+=k，kZ，解得对称中心为：（，0），kZ，故B错误；由2x+=k+，kZ，解得对称轴是：x=，kZ，故C错误；由2k2x+2k+
15、，kZ，解得单调递增区间为：k，k，kZ，故D正确故选：D12直线ax+by=1与圆相交于不同的A，B两点（其中a，b是实数），且0（O是坐标原点），则a2+b22a的取值范围为（）A（1，9+4）B（0，8+4）C（1，1+2）D（4，8）【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算【分析】由题意，圆心到直线的距离d=，确定4a2+b28，表示以原点为圆心，2，2为半径的圆环a2+b22a=（a1）2+b21，（a1）2+b2表示（a，b）与（1，0）的距离的平方，其范围为（1，（2+1）2），即可得出结论【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d=，4a2+b28，表示以原点为圆心，2，2
16、为半径的圆环a2+b22a=（a1）2+b21，（a1）2+b2表示（a，b）与（1，0）的距离的平方，其范围为（1，（2+1）2），a2+b22a的取值范围为（0，8+4），故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为9【考点】分层抽样方法【分析】本题是一个分层抽样问题，根据所给的高一学生的总数和高一学生抽到的人数，可以做出每个个体被抽到的概率，根据这个概率值做出高二学生被抽到的人数
17、【解答】解：由题意知高一学生210人，从高一学生中抽取的人数为7可以做出每=30人抽取一个人，从高二学生中抽取的人数应为=9故答案为：914从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数和为5的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有2种情形，由概率公式可得【解答】解：从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有（1，4），（2，3）共2种情形，所求概率为=故答案为：15如图所示，正三棱锥SABC中，侧棱与
18、底面边长相等，若E、F分别为SC、AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于45【考点】异面直线及其所成的角【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角即可【解答】解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，因为E是SC的中点，所以EDSA，EDF为异面直线EF与SA所成的角，设棱长为2，则DE=1，DF=1，而EDDFEDF=45，故答案为：4516已知Sn是公差为d的等差数列an的前n项和，且S6S7S5，则下列四个命题：d0；S110；S120；S130中真命题的序号为【考点】等差数列的性质【分析】
19、由已知条件知正确；由S11=11a60知正确；由S12=0，知错误；由S13=12a70，知错误，故真命题的序号是【解答】由已知条件即a60，a70，a6+a70，因此d0，正确；S11=11a60正确；S12=0，故错误；S13=12a70，故错误，故真命题的序号是答案：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17记等差数列an的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10（）求数列an的通项公式；（）令bn=an2n（nN*），求数列bn的前项和Tn【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式求出a
20、1=1，d=1，由此能求出数列an的通项公式（）由bn=an2n=n2n，利用错位相减法能求出数列bn的前项和Tn【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由已知条件得：，解得a1=1，d=1，数列an的通项公式为an=n（）bn=an2n=n2n，Tn=12+222+323+n2n，2Tn=122+223+324+n2n+1，Tn=22（12）+23（23）+2n（n1）n+n2n+12=（2+22+23+2n）+n2n+1=（n1）2n+1+218在ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60（1）求BC的长；（2）求sin2C的值【考点】余弦定理的应用；二倍角的正弦【分析】（1）直接利用余
21、弦定理求解即可（2）利用正弦定理求出C的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC22ABACcosA=4+9223=7，所以BC=（2）由正弦定理可得：，则sinC=，ABBC，C为锐角，则cosC=因此sin2C=2sinCcosC=2=19如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60（）证明：ABA1C；（）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB平面O
22、A1C得要证的结论；（）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1OC，再根据OA1AB，得到OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积【解答】（）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B因为CA=CB，所以OCAB由于AB=AA1，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB因为OCOA1=O，所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C；（）解：由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形，所以又，则，故OA1OC因为OCAB=O，所以OA1平面ABC，OA1为三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面积，故三棱柱ABCA1B1
23、C1的体积20设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC（）求角A的大小；（）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长【考点】余弦定理；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】（）根据2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，可得2sinBcosA=sin（A+C），从而可得2sinBcosA=sinB，由此可求求角A的大小；（）利用b=2，c=1，A=，可求a的值，进而可求B=，利用D为BC的中点，可求AD的长【解答】解：（）2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA=sin（A+
24、C）A+C=Bsin（A+C）=sinB02sinBcosA=sinBcosA=A（0，）A=；（）b=2，c=1，A=a2=b2+c22bccosA=3b2=a2+c2B=D为BC的中点，AD=21已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，Sn=an（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn【考点】数列递推式【分析】（1）利用an=SnSn1计算可得an=an1，累乘可知an=n（n+1），验证n=1时即可；（2）通过裂项可知=，并项相加即可【解答】解：（1）由题意得当n2时，Sn1=an1，an=SnSn1=anan1，an=an1，a2=3a1，a3=a2，a4=a3
25、，an=an1，以上各式相乘得：an=a1=n（n+1），当n=1时，a1=2也适合上式，an=n（n+1）（nN*）；（2）由（1）得an=n（n+1），=，Tn=+=1+=1=22圆C的半径为3，圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为1，则可知C（1，2），从而可得圆C的方程（2）设L的方程y=x+b，以A
26、B为直径的圆过原点，则OAOB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，联立直线方程与圆的方程，由=（2+2b）242（b2+4b4）0 可得b，由方程的根与系数的关系代入x1x2+y1y2=0，可求b，从而可求直线方程【解答】解：（1）如图由圆心C在直线2x+y=0上且在x轴下方，x轴被圆C截得的弦长为可得圆心到x轴的距离为2C（1，2）圆C的方程是（x1）2+（y+2）2=9（2）设L的方程y=x+b，以AB为直径的圆过原点，则OAOB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0 由得2x2+（2b+2）x+（b2+4b4）=0要使方程有两个相异实根，则=（2+2b）242（b2+4b4）0 即b由y1=x1+b，y2=x2+b，代入x1x2+y1y2=0，得2x1x2+（x1+x2）b+b2=0即有b2+3b4=0，b=4，b=1故存在直线L满足条件，且方程为y=x4或y=x+12016年10月21日