1、2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分54分，第712题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1若集合A=x|x1|2，xR，则AZ=2抛物线y2=2x的准线方程是3若复数z满足（i为虚数单位），则z=4已知sin（+）=，（，0），则tan=5以点（2，1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是6若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是7已知向量（x，yR），若x2+y2=1，则的最大值为8已知函数y=f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=log2（x+1）若函数y=g（x）是y=f（x
2、）的反函数，则g（3）=9在数列an中，若对一切nN*都有an=3an+1，且=，则a1的值为10甲、乙两人从6门课程中各选修3门则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有11已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数的值为12已知为常数），且当x1，x21，4时，总有f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13若xR，则“x1”是“”的（）A充分非必要条件B必要
3、非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件14关于直线l，m及平面，下列命题中正确的是（）A若l，=m，则lmB若l，m，则lmC若l，m，则lmD若l，ml，则m15在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），则满足tanPABtanPBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）ABCD16若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”对于命题：函数是（0，1）上的“H函数”；函数是（0，1）上的“H函数”下列判断正确的是（）A和均为真命题B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题D和均为假命题三、解答题（本大题共有5
4、题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17在三棱锥PABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为（1）求三棱锥PABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18已知双曲线C以F1（2，0）、F2（2，0）为焦点，且过点P（7，12）（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）求直线l的方程19现有半径为R、圆心角（AOB）为90的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示其中E，F分别在OA，OB
5、上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，ECD=CDF=90记COD=2，五边形OECDF的面积为S（1）试求S关于的函数关系式；（2）求S的最大值20已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）M21已知数列an，bn满足bn=an+1an（n=1，2，3，）（1）若bn=10n，求a16a5的值；（2）若且a1=1，则数列a2n+1中第几项最小？请说明理由；（3）若cn=
6、an+2an+1（n=1，2，3，），求证：“数列an为等差数列”的充分必要条件是“数列cn为等差数列且bnbn+1（n=1，2，3，）”2017年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分54分，第712题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1若集合A=x|x1|2，xR，则AZ=0，1，2【考点】交集及其运算【分析】化简集合A，根据交集的定义写出AZ即可【解答】解：集合A=x|x1|2，xR=x|2x12，xR=x|1x3，xR，则AZ=0，1，2故答案为0，1，22抛物线y2=2x的准线方程是【考点
7、】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案【解答】解：抛物线y2=2x，p=1，准线方程是x=故答案为：3若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由，得z=1+2i故答案为：1+2i4已知sin（+）=，（，0），则tan=2【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系【分析】由（，0）sin（+）=，利用诱导公式可求得cos，从而可求得sin与tan【解答】解：sin（+）=cos，sin（+）=，cos=，又（，0），sin=，tan=2故答案为：2
8、5以点（2，1）为圆心，且与直线x+y=7相切的圆的方程是（x2）2+（y+1）2=18【考点】圆的切线方程【分析】由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程【解答】解：将直线x+y=7化为x+y7=0，圆的半径r=3，所以圆的方程为（x2）2+（y+1）2=18故答案为（x2）2+（y+1）2=186若二项式的展开式共有6项，则此展开式中含x4的项的系数是10【考点】二项式定理的应用【分析】根据题意求得n=5，再在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求得r的值，可得展开式中含x4的项的系数【解答】解：二项式的展开式共有6项，故n=5，则此展开式的通项公式为 Tr+1=（1）rx103
9、r，令103r=4，r=2，中含x4的项的系数=10，故答案为：107已知向量（x，yR），若x2+y2=1，则的最大值为+1【考点】向量的模【分析】利用+r即可得出【解答】解：设O（0，0），P（1，2）=+r=+1=+1的最大值为+1故答案为：8已知函数y=f（x）是奇函数，且当x0时，f（x）=log2（x+1）若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（3）=7【考点】反函数【分析】根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解【解答】解：反函数与原函数具有相同的奇偶性g（3）=g（3），反函数的定义域是原函数的值域，log2（x+1）=3，解得：x=7，即g
10、（3）=7，故得g（3）=7故答案为：79在数列an中，若对一切nN*都有an=3an+1，且=，则a1的值为12【考点】数列的极限【分析】由题意可得数列an为公比为的等比数列，运用数列极限的运算，解方程即可得到所求【解答】解：在数列an中，若对一切nN*都有an=3an+1，可得数列an为公比为的等比数列，=，可得=，可得a1=12故答案为：1210甲、乙两人从6门课程中各选修3门则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有200【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，甲、乙所选的课程中至多有1门相同，其包含两种情况：甲乙所选的课程全不相同，甲乙所选的课程有1门相同；分别计算每种情
11、况下的选法数目，相加可得答案【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：甲乙所选的课程全不相同，有C63C33=20种情况，甲乙所选的课程有1门相同，有C61C52C32=180种情况，则甲、乙所选的课程中至多有1门相同的选法共有180+20=200种情况；故答案为：20011已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数的值为【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】由题意画出图形，求出的坐标，代入，结合隐含条件求得实数的值【解答】解：如图，A（a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），由，得，即b=c，a2=b
12、2+c2=2b2，则故答案为：12已知为常数），且当x1，x21，4时，总有f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是【考点】函数恒成立问题【分析】依题意可知，当x1，x21，4时，f（x1）maxg（x2）min，利用对勾函数的单调性质可求g（x2）min=g（1）=3；再对f（x）=2ax2+2x中的二次项系数a分a=0、a0、a0三类讨论，利用函数的单调性质可求得f（x）在区间1，4上的最大值，解f（x）max3即可求得实数a的取值范围【解答】解：依题意知，当x1，x21，4时，f（x1）maxg（x2）min，由“对勾函数单调性知， =2x+=2（x+）在区间1，4上单调递增，g（x2
13、）min=g（1）=3；=2ax2+2x，当a=0时，f（x）=2x在区间1，4上单调递增，f（x）max=f（4）=83不成立，故a0；f（x）=2ax2+2x为二次函数，其对称轴方程为：x=，当a0时，f（x）在区间1，4上单调递增，f（x）max=f（4）=83不成立，故a0不成立；当a0时，1若1，即a时，f（x）在区间1，4上单调递减，f（x）max=f（1）=2a+23恒成立，即a时满足题意；2若14，即a时，f（x）max=f（）=3，解得：a；3若4，即a0时，f（x）在区间1，4上单调递增，f（x）max=f（4）=32a+83，解得a（，0），故不成立，综合123知，实数a
14、的取值范围是：（，故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13若xR，则“x1”是“”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：由x1，一定能得到 得到1，但当1时，不能推出x1 （如 x=1时），故x1是1 的充分不必要条件，故选：A14关于直线l，m及平面，下列命题中正确的是（）A若l，=m，则lmB若l，m，则lmC若l，m，则lmD若l，ml，则m【考点】
15、空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】在A中，l与m平行或异面；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得lm；在D中，m与相交、平行或m【解答】解：由直线l，m及平面，知：在A中，若l，=m，则l与m平行或异面，故A错误；在B中，若l，m，则l与m相交、平行或异面，故B错误；在C中，若l，m，则由线面垂直的性质定理得lm，故C正确；在D中，若l，ml，则m与相交、平行或m，故D错误故选：C15在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为（1，0），（1，0），则满足tanPABtanPBA=m（m为非零常数）的点P的轨迹方程是（）ABCD【考点】
16、轨迹方程【分析】设P（x，y），则由题意，（m0），化简可得结论【解答】解：设P（x，y），则由题意，（m0），化简可得，故选C16若函数y=f（x）在区间I上是增函数，且函数在区间I上是减函数，则称函数f（x）是区间I上的“H函数”对于命题：函数是（0，1）上的“H函数”；函数是（0，1）上的“H函数”下列判断正确的是（）A和均为真命题B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题D和均为假命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】对函数，G（x）=在（0，1）上的单调性进行判断，得命题是真命题对函数=，H（x）=在（0，1）上单调性进行判断，得命题是假命题【解答】解：对于命题：令t=，函数=t2+
17、2t，t=在（0，1）上是增函数，函数y=t2+2t在（0，1）上是增函数，在（0，1）上是增函数；G（x）=在（0，1）上是减函数，函数是（0，1）上的“H函数“，故命题是真命题对于命题，函数=是（0，1）上的增函数，H（x）=是（0，1）上的增函数，故命题是假命题；故选：B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17在三棱锥PABC中，底面ABC是边长为6的正三角形，PA底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为（1）求三棱锥PABC的体积；（2）若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】棱柱
18、、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）在RtPAB中计算PA，再代入棱锥的体积公式计算；（2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，分别求出PMN的三边长，利用余弦定理计算cosPMN即可【解答】解：（1）PA平面ABC，PBA为PB与平面ABC所成的角，即，PA平面ABC，PAAB，又AB=6， （2）取棱AC的中点N，连接MN，NP，M，N分别是棱BC，AC的中点，MNBA，PMN为异面直线PM与AB所成的角 PA平面ABC，所以PAAM，PAAN，又，AN=AC=3，BM=BC=3，AM=3，所以，故异面直线PM与AB所成的角为18已知双曲线C以F1（2，0）、F2（2，0）
19、为焦点，且过点P（7，12）（1）求双曲线C与其渐近线的方程；（2）若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点）求直线l的方程【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的标准方程【分析】（1）设出双曲线C方程，利用已知条件求出c，a，解得b，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，通过0，求出t的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过x1x2+y1y2=0，求解t即可得到直线方程【解答】解：（1）设双曲线C的方程为，半焦距为c，则c=2，a=1，所以b2=c2a2=3，故双曲线C的方程为 双曲线C的渐近线方程为
20、（2）设直线l的方程为y=x+t，将其代入方程，可得2x22txt23=0（*） =4t2+8（t2+3）=12t2+240，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个根，所以，又由，可知x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+t）（x2+t）=0，可得，故（t2+3）+t2+t2=0，解得，所以直线l方程为 19现有半径为R、圆心角（AOB）为90的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件OECDF，如图所示其中E，F分别在OA，OB上，C，D在上，且OE=OF，EC=FD，ECD=CDF=90记COD=2，五边形OECDF的面积为S（1）试求S关于的函数关系式；（2
21、）求S的最大值【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）设M是CD中点，连OM，推出COM=DOM=，MD=Rsin，利用CEODFO，转化求解DFO=，在DFO中，利用正弦定理，求解S=SCOD+SODF+SOCE=SCOD+2SODF的解析式即可（2）利用S的解析式，通过三角函数的最值求解即可【解答】解：（1）设M是CD中点，连OM，由OC=OD，可知OMCD，COM=DOM=，MD=Rsin，又OE=OF，EC=FD，OC=OD，可得CEODFO，故EOC=DOF，可知，又DFCD，OMCD，所以MODF，故DFO=，在DFO中，有，可得所以S=SCOD+SODF+SOCE=SCOD+2
22、SODF=（2）=（其中） 当，即时，sin（2+）取最大值1又，所以S的最大值为 20已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2）（1）判断f（x）=3x+2是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若f（x）=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f（x）M【考点】抽象函数及其应用【分析】（1）利用f（x）=3x+2，通过f（t+2）=f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）=3x+2不属于集合M（2）由属于集合M，推出有实解，即（a6）x2+4ax+6（a2）=0有实解，若a=6时，若a6时，
23、利用判断式求解即可（3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）32x+4bx4=0，令g（x）=32x+4bx4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b0时，当b0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）M【解答】解：（1）当f（x）=3x+2时，方程f（t+2）=f（t）+f（2）3t+8=3t+10此方程无解，所以不存在实数t，使得f（t+2）=f（t）+f（2），故f（x）=3x+2不属于集合M （2）由属于集合M，可得方程有实解a（x+2）2+2=6（x2+2）有实解（a6）x2+4ax+6（a2）=0有实解，若a=6时，上述方程有实解；若a6时，
24、有=16a224（a6）（a2）0，解得，故所求a的取值范围是 （3）当f（x）=2x+bx2时，方程f（x+2）=f（x）+f（2）2x+2+b（x+2）2=2x+bx2+4+4b32x+4bx4=0，令g（x）=32x+4bx4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b0时，g（0）=10，g（1）=2+4b0，故g（x）在（0，1）内至少有一个零点；当b0时，g（0）=10，故g（x）在内至少有一个零点；故对任意的实数b，g（x）在R上都有零点，即方程f（x+2）=f（x）+f（2）总有解，所以对任意实数b，都有f（x）M 21已知数列an，bn满足bn=an+1an（n=1，2，3，）（1
25、）若bn=10n，求a16a5的值；（2）若且a1=1，则数列a2n+1中第几项最小？请说明理由；（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，），求证：“数列an为等差数列”的充分必要条件是“数列cn为等差数列且bnbn+1（n=1，2，3，）”【考点】数列与函数的综合；数列的应用；数列递推式【分析】（1）判断bn是等差数列然后化简a16a5=（a16a15）+（a15a14）+（a14a13）+（a6a5）利用等差数列的性质求和即可（2）利用a2n+3a2n+1=22n+12312n，判断a2n+3a2n+1，求出n7.5，a2n+3a2n+1求出n7.5，带带数列a2n+1中a17最小
26、，即第8项最小法二：化简，求出a2n+1=a1+b1+b2+b3+b2n=，利用基本不等式求出最小值得到数列a2n+1中的第8项最小（3）若数列an为等差数列，设其公差为d，说明数列cn为等差数列 由bn=an+1an=d（n=1，2，3，），推出bnbn+1，若数列cn为等差数列且bnbn+1（n=1，2，3，），设cn的公差为D，转化推出bn+1=bn（n=1，2，3，），说明数列an为等差数列得到结果【解答】解：（1）由bn=10n，可得bn+1bn=（9n）（10n）=1，故bn是等差数列所以a16a5=（a16a15）+（a15a14）+（a14a13）+（a6a5）=（2）a2n+
27、3a2n+1=（a2n+3a2n+2）+（a2n+2a2n+1）=b2n+2+b2n+1=（22n+2+2312n）（22n+1+2322n）=22n+12312n由a2n+3a2n+122n+12312n0n7.5，a2n+3a2n+122n+12312n0n7.5，故有a3a5a7a15a17a19a20，所以数列a2n+1中a17最小，即第8项最小 法二：由，可知a2n+1=a1+b1+b2+b3+b2n=（当且仅当22n+1=2332n，即n=8时取等号）所以数列a2n+1中的第8项最小 （3）若数列an为等差数列，设其公差为d，则cn+1cn=（an+1an）+2（an+2an+1）
28、=d+2d=3d为常数，所以数列cn为等差数列 由bn=an+1an=d（n=1，2，3，），可知bnbn+1（n=1，2，3，） 若数列cn为等差数列且bnbn+1（n=1，2，3，），设cn的公差为D，则cn+1cn=（an+1an）+2（an+2an+1）=bn+2bn+1=D（n=1，2，3，），又bn+1+2bn+2=D，故（bn+1bn）+2（bn+2bn+1）=DD=0，又bn+1bn0，bn+2bn+10，故bn+1bn=bn+2bn+1=0（n=1，2，3，），所以bn+1=bn（n=1，2，3，），故有bn=b1，所以an+1an=b1为常数故数列an为等差数列综上可得，“数列an为等差数列”的充分必要条件是“数列cn为等差数列且bnbn+1（n=1，2，3，）” 2017年2月18日
