1、第四章单元质量评估一、选择题(每小题5分，共60分)1函数f(x)x364x零点的个数为(B)A0 B3 C1 D2解析：令f(x)x364xx(x8)(x8)0，则f(x)的零点为0,8和8.2以下函数在区间(0,2)上必有零点的是(D)Ayx3 By2x Cyx3 Dylgx解析：画出A，B，C，D四个选项的函数图像可知，只有D选项中ylgx在区间(0,2)上有零点3函数f(x)3xx2的零点所在的一个区间是(C)A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)解析：由f(2)120，f(1)20，f(0)10，f(2)9120，知函数的零点在(0,1)内，故选C.4下列图像中与x轴
2、均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(B)5某乡镇企业的一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，那么第n年付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数为(A)Ay(3n5)1.2n2.4 By81.2n2.4nCy(3n8)1.2n2.4 Dy(3n5)1.2n12.4解析：第n年共有(3n8)位工人，其中新工人3人，老工人(3n5)人，老工人的工资总额为(3n5)(120%)n(3n5)1.2n,3位新工人的工资总额为30.82.4.所以第n年付
3、给工人的工资总额y(3n5)1.2n2.4.6已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x0a，则f(x0)的值满足(B)Af(x0)0 Bf(x0)0 Df(x0)的符号不确定解析：由f(x)在(0，)上为增函数，又a是f(x)的零点，则f(x0)0.故选B.7用二分法求方程f(x)0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)，f(2)5，f9，则下列结论正确的是(C)Ax0 Bx0Cx0 Dx0或x0解析：f(2)f，则f(x)可以是(C)Af(x)2x Bf(x)x2xCf(x)110x Df(x)ln(8x2)解析：依题意得g20，x2.若f(x)110x，则有x10，此
4、时|x1x2|，验证其他三项，均不符合题意，因此选C.12已知函数f(x)ax3bx2cxd的图像如图所示，则(A)Ab(，0) Bb(0,1)Cb(1,2) Db(2，)解析：由f(0)0得d0，又因为f(1)0，所以abc0.又因为f(1)0，即abc0.，得2b0，所以b0.故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)13用二分法求方程x32x50在区间(2,4)上的实数根时，取中点x13，则下一个有根区间是(2,3)解析：设f(x)x32x5，则f(2)0，f(4)0，有f(2)f(3)0，则下一个有根区间是(2,3)14如果函数f(x)x2mxm3的一个零点是0，则另一个零点是3.解析
5、：由题意知m30，所以m3，所以f(x)x23xx(x3)，所以f(x)的另一个零点是3.15要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m，长与宽的和为20 m，则仓库容积的最大值为300_m3.解析：设长为x m，则宽为(20x)m，仓库的容积为V，则Vx(20x)33x260x,0x20，由二次函数的图像知，顶点的纵坐标为V的最大值x10时，V最大300(m3)16.一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A，B，C，D为圆心，b为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上的线段构成了丰富多彩的图形，如图所示，则这些图形中实线部分总长度的最小值为3.解析：由题意知实线部分的总
6、长度为l4(32b)2b(28)b12，l是关于b的一次函数，一次项系数280，故l关于b的函数单调递减，因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为，代入上式得lmin(28)123.三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17(10分)已知函数f(x)2(m1)x24mx2m1.(1)m为何值时，函数的图像与x轴有两个交点？(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值解：(1)函数的图像与x轴有两个交点，即整理得即当m0时，g(t)log2(t1)2，解得t3，综上所述，实数t的值为1或3.19(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地，现有汽
7、车、火车两种运输工具可供选择，若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/h，其他主要参考数据如下：运输工具途中速度/(km/h)途中费用/(元/km)装卸时间/h装卸费用/元汽车50821 000火车100441 800问如何根据运输距离的远近选择运输工具，使运输过程的费用与损耗之和最小？解：设运输距离为x，运输过程中的费用与损耗之和为y，则汽车y1(8x1 000)30014x1 600，火车y2(4x1 800)3007x3 000.可得y1y2(14x1 600)(7x3 000)7x1 400.当0x200时，y1200时，y1y2.故运输距离小于200 km时，选择汽车运输
8、；等于200 km时，选择汽车、火车均可；大于200 km时，选择火车运输20(12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：Mx，N(x1)今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？解：设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8x)万元，共获得利润yMN(8x)(1x8)令t(0t)，则xt21，y(7t2)t2.故当t时，可获最大利润万元此时，投入乙种商品的资金为万元，甲种商品的资金为万元21(12分)如图
9、所示，A，B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A，B两城供气已知D地距A城x km，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A，B两地的供气距离(km)的平方和成正比，当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1 300万元(供气距离指天然气站到城市的距离)(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？解：(1)由题意知D地距B地(100x)km，则10x90.设比例系数为k，则ykx2(100x)2(10x90)又
10、x40，y1 300，所以1 300k(402602)，即k，所以yx2(100x)2(x2100x5 000)(10x90)(2)由于y(x2100x5 000)(x50)21 250，所以当x50时，y有最小值为1 250万元所以当供气站建在距A城50 km，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元22(12分)已知函数f(x)满足当1x0时，f(x)ex；当00)，求函数g(x)在0,1上的零点个数解：(1)由题意可知，f(x)由图可知，函数f(x)在(1,1上的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)当k1时，yf(x)(0x1)与ykx的图像有1个交点，即函数g(x)有1个零点，当0k1时，yf(x)(0x1)与ykx的图像有2个交点，即函数g(x)有2个零点