1、2015-2016学年河南省八市重点高中高三（下）2月质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）ABCD2已知集合P=x|x22x30，Q=x|1x4，则PQ=（）Ax|1x3Bx|3x4Cx|x4或x3Dx|x1或x33已知角的终边经过点（3，4），则的值（）ABCD4如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A27.5B26.5C25.6D25.75已知双曲线=1的一条渐近线
2、方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）ABCD6ABC中，则ABC的形状一定为（）A等腰直角神经性B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形7某人驾车遇到险情而紧急制动并以速度v（t）=12060t（t为事件单位s）形式至停止，则从开始制动到汽车完全停止所形式的距离（单位：m）为（）A100B150C120D1608某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A6B8C7D119若实数x，y满足，则的最小值为（）AB2CD10已知（1x）（1+2x）5，xR，则x2的系数为（）A50B20C30D4011已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，
3、B两点，则|BF2|AF2|的最大值为（）A3B6C4D12若函数f（x）在去年n，m上恒有成立，则称区间n，m为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间为函数f（x）=x2tx+t2的“2度约束区间”，则实数k的取值范围是（）A（1，2BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13已知平面向量与的夹角为，则=14如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=15按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次
4、收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为16已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，G是ABC的三条边上中线的交点，若=，且cos2xmsinx（xR）恒成立，则实数m的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知首项为3的数列an满足： =3，且bn=（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列2nbn的前n项和Tn18某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方
5、案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为，试求的期望19如图为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO平面ABC，2DA=2AO=PO，且DAPO（1）求证：平面PBD平面COD；（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值20已知抛物线C的方程为x2=4y，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点（1）求|MF|；（2）设直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一的公共点，且与直线l1：y=1相交
6、于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由21已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1几何证明选讲22如图，半径为的ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，ADCE于点D，AD=1（1）求证：ABC相似于ACD；（2）求AC的长选修4-4坐标系与参数方程23在极坐标系中，
7、已知直线与圆O：=4（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长选修4-5不等式选讲24已知a0，b0，且a+b=1（1）若abm恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围2015-2016学年河南省八市重点高中高三（下）2月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设i是虚数但单位，则复数的共轭复数的虚部为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z的共轭复数，则答案
8、可求【解答】解：=，复数的共轭复数为则复数的共轭复数的虚部为：故选：B2已知集合P=x|x22x30，Q=x|1x4，则PQ=（）Ax|1x3Bx|3x4Cx|x4或x3Dx|x1或x3【考点】交集及其运算【分析】求出P中不等式的解集确定出P，找出P与Q并集即可【解答】解：由P中不等式变形得：（x+1）（x3）0，解得：x1或x3，即P=x|x1或x3，Q=x|1x4，PQ=x|3x4，故选：B3已知角的终边经过点（3，4），则的值（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；直线与圆的位置关系【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得的值【解答】解：角的终边经过点（3，4）
9、，则sin=，cos=，=sincos+cossin=，故选：C4如图为教育部门对辖区内某学校的50名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这50名儿童的体重的平均数为（）A27.5B26.5C25.6D25.7【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图，利用频率和为1求出a的值，再利用平均数的定义求出体重的平均数【解答】解：根据频率分布直方图，得；（0.03+0.032+a+0.01+0.008）10=1，解得a=0.02，所以这50名儿童的体重的平均数为=0.15+0.215+0.3225+0.335+0.0845=25.6故选：C5已知双曲线=1的一条渐近线方
10、程为y=x，则此双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】因为焦点在 x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y=，又渐近线方程为y=，b2=c2a2，化简得，即e2=，e=故选A6ABC中，则ABC的形状一定为（）A等腰直角神经性B直角三角形C等边三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】正弦定理【分析】由已知利用正弦定理可求sinC，进而可得C=或，分类讨论，分别求出A的值即可判断得解【解答】解：ABC中，因为，由
11、正弦定理，可得sinC=，故C=或，当C=时，A=，ABC为直角三角形；当C=时，A=，ABC为等腰三角形；综上，ABC的形状一定为等腰三角形或直角三角形故选：D7某人驾车遇到险情而紧急制动并以速度v（t）=12060t（t为事件单位s）形式至停止，则从开始制动到汽车完全停止所形式的距离（单位：m）为（）A100B150C120D160【考点】定积分【分析】令v（t）=12060t=0，解得t=2，即汽车在2s后停止，根据定积分的物理意义可知：汽车刹车距离为S：S=dt，根据定积分的计算，即可求得S【解答】解：令v（t）=12060t=0，解得：t=2，汽车刹车距离为S：S=dt=120，故答
12、案选：C8某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A6B8C7D11【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积【解答】解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，该几何体的表面积S=7，故选：C9若实数x，y满足，则的最小值为（）AB2CD【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z的最小值【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：A（3，0），C（2，1），z=1+，2，故选：A
13、10已知（1x）（1+2x）5，xR，则x2的系数为（）A50B20C30D40【考点】二项式系数的性质【分析】根据题意，（1x）（1+2x）5展开式中x2的系数为（1+2x）5的展开式中x2的系数与x的系数之差，求出即可【解答】解：因为（1x）（1+2x）5=（1+2x）5x（1+2x）5，（1+2x）5的通项公式为Tr+1=2rxr，所以x2的系数为：222=4010=30故选：C11已知椭圆，左右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率不为0的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|AF2|的最大值为（）A3B6C4D【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的性质可得：当且仅当ABx轴时，|AB|取
14、得最小值由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a，再利用基本不等式的性质即可得出|【解答】解：由椭圆，可得a=2，b2=3，c=1左右焦点分别为F1（1，0），F2（1，0）当且仅当ABx轴时，|AB|取得最小值为2=3由椭圆的定义可知：|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8，则|BF2|+|AF2|=8|AB|83=5，5，可得|BF2|AF2|，当且仅当|BF2|=|AF2|=时取等号故选：D12若函数f（x）在去年n，m上恒有成立，则称区间n，m为函数f（x）的“k度约束区间”，若区间为函数f（x）=x2tx+t2的“2度约束区间”，则实数k的取值范围是（）A（1，2
15、BCD【考点】函数的值【分析】由x，t，（t0），得：t，由f（t）=t2tt+t2=t22t得：t2，结合二次函数的性质求出t的范围即可【解答】解：由题意得：x2tx+t22t对任意的x，t，（t0）都成立，由t得：t1，f（）=1+t221=1，由f（t）=t2tt+t2=t22t得：t2，t1，f（）=1+t211+t2=t2，又f（x）=x2tx+t2的对称轴是x=，由f（）=，得：t，由于1，t的范围是（1，2，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13已知平面向量与的夹角为，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量的数量积以及向
16、量的模的求法运算法则化简求解即可【解答】解：向量与的夹角为，可得=|cos=21=，则=故答案为：14如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+3+5+7+99=2500【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i99，S=4，i=5不满足条件i99，S=9，i=7不满足条件i99，S=16，i=9不满足条件i99，S=1+3+5+7+99，i=101满足条件i99，退出循环，输出S=1+3+5+7+99=2500故答案为：250015按照国家的相关税法规定，作者的稿酬应该缴
17、纳个人所得税，具体规定为：个人每次取得的稿酬收入，定额或定率减去规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，首先减去每次稿酬所得费用800元；每次收入在4000元以上的，首先减除20%的费用并且以上两种情况均使用20%的比例税率，且按规定应纳税额征30%，已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元【考点】函数模型的选择与应用【分析】由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x800）20%（130%），即可得出结论【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280=（x800）20%（130%）所以x=2800，故答案为：2
18、800元16已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，G是ABC的三条边上中线的交点，若=，且cos2xmsinx（xR）恒成立，则实数m的取值范围为42，4+2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意知G是ABC的重心， +=，代入+（a+b）+2c=求出a、b、c的关系；由+cos2xmsinx恒成立，得出（cos2xmsinx）max，利用基本不等式求出+的最小值，构造函数g（x）=cos2xmsinx（xR），用换元法和分类讨论思想求出g（x）的最小值，再列出不等式求出m的取值范围【解答】解：由题意知，G是ABC的重心，则+=，即=（+），代入+（a+b）+2c=，得：（12c
19、）+（a+b2c）=，则，解得；又+cos2xmsinx恒成立，即（cos2xmsinx）max，且+=（+）1=（+）（a+b）=3+（+）3+2=3+2，当且仅当时“=”成立；令g（x）=cos2xmsinx（xR），则g（x）=2sin2xmsinx+1，设t=sinx，t1，1；则g（t）=2t2mt+1，对称轴是t=；若1，即m4，则g（t）max=g（1）=1+m，令3+21+m，解得m4+2，即4m4+2；若1，即m4，则g（t）max=g（1）=1m，令3+21m，解得42m4；若11，即4m4，则g（t）max=g（）=1+，由3+21+解得4m4，故4m4；综上，实数m的取
20、值范围是42，4+2故答案为：42，4+2三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知首项为3的数列an满足： =3，且bn=（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列2nbn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】（1）计算bn+1bn=；（2）求出bn的通项公式，得出Tn，使用错位相减法求和【解答】解：（1）=3，=，bn+1bn=数列bn是等差数列（2）b1=，bn=+（n1）=n+Tn=2+22+23+24+2n，2得：2Tn=22+23+24+25+2n+1，得：Tn=1+2n2n+1=12n+1+=12n+1+（2n+14
21、）=2n+1Tn=+2n+118某革命老区为带动当地经济的发展，实现经济效益与社会效益双赢，精心准备了三个独立的方案；方案一：红色文化体验专营经济带，案二：农家乐休闲区专营经济带，方案三：爱国主义教育基础，通过委托民调机构对这三个方案的调查，结果显示它们能被民众选中的概率分别为，（1）求三个方案至少有两个被选中的概率；（2）记三个方案被选中的个数为，试求的期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：甲未被选中，乙、丙被选
22、中，乙未被选中，甲、丙被选中，丙未被选中，甲、乙被选中，3个方案被选中，概率为=从而求概率；（2）由题意可知的可能取值为0，1，2，3求其概率从而求数学期望【解答】解：记三个方案记为甲、乙、丙，被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）=，P（B）=，P（C）=（1）“只有两个方案被选中”可分为三种情形：甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P1=乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P2=丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P3=以上三种情况是互斥的因此只有两个方案被选中的概率为P=3个方案被选中，概率为=，三个方案至少有两个被选中的概率为+=；（2）由题意可知的可能取值为0，1，2，3P（=0）=；P（=1
23、）=+=；由（1）知P（=2）=；P（=3）=故E=0+1+2+3=19如图为AB上一点，且3OB=3OC=2AB，又PO平面ABC，2DA=2AO=PO，且DAPO（1）求证：平面PBD平面COD；（2）求PD与平面BDC所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（1）设OA=1，利用勾股定理得出PDOD，由OC平面ABPD得出OCPD，于是PD平面COD，从而有平面PBD平面COD；（2）以O为原点建立坐标系，求出和平面BCD的法向量，则PD与平面BDC所成的角的正弦值为|cos，|【解答】证明：（1）设OA=AD=1，则OB=OC=OP=2，ADPO，PO平
24、面ABC，AD平面ABC，ADAOOD=，PD=又PO=2，PD2+OD2=PO2，PDODOB=OC，OCABPO平面ABC，OC平面ABC，POAB，又AB平面ABPD，OP平面ABPD，ABOP=O，OC平面ABPD，PD平面ABPD，OCPD，又OC平面COD，DO平面COD，OCOD=O，PD平面COD，PD平面PBD，平面PBD平面COD（2）以O为原点，以OC，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，1，1）=（0，1，1），=（2，2，0），=（0，3，1）设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，令x=1
25、得=（1，1，3），cos=PD与平面BDC所成的角的正弦值为20已知抛物线C的方程为x2=4y，M（2，1）为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点（1）求|MF|；（2）设直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一的公共点，且与直线l1：y=1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；（2）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l2与抛物线C相切，利用导数求出直
26、线l2的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用=0，求出N点坐标【解答】解：（1）抛物线C的方程为x2=4y的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y=1，由抛物线的定义可得|MF|=1+1=2；（2）由抛物线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点P（x0，），由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l与抛物线C相切，由y=x2得y=x，可得直线l2的斜率为x0，可得直线l的方程为y=x0（xx0），令y=1得x=，可得Q点的坐标为（，1），即有=（x0，n），=（，1n），由点N在以PQ为直径的圆上
27、，可得=（1+n）（n）=（1n）+n2+n2=0，（*）要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，则在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）21已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的函数有且只有一个零点，求a的值（e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点【分析】（1）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）把方程化为=x22ex+a，求得 h（x）=的最大值为 h（e）=，再求得m（x）=x22ex+a 的最小值 m（e）=ae2，根据 ae2=求出a的值【解答】解
28、：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（x）=，=1+4a0即a时，x2+xa0，则f（x）0，f（x）在（0，+）递增，=1+4a0即a时，令f（x）=0，解得：x1=0，x2=，若a0，则x20，f（x）在（0，+）递增，若a0，x（0，）时，f（x）0，x（，+），f（x）0，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）关于x的方程g（x）=f（x）+lnx+2e，可化为=x22ex+a，令h（x）=，令h（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值为 h（e）= 令m（x）=x22ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值 m（e）=ae2 ，由 ae2=可得 a=e2+请考生在第（
29、22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1几何证明选讲22如图，半径为的ABC的外接圆圆O的直径为AB，直线CE为圆O的切线且相切于点C，ADCE于点D，AD=1（1）求证：ABC相似于ACD；（2）求AC的长【考点】相似三角形的判定【分析】（1）利用已知可得ABC，ACD为直角三角形，利用圆周角定理可得ABC=ACD，从而可证ABCACD（2）由（1）可得ABCACD，利用相似三角形的性质可得=，进而即可解得AC的值【解答】解：（1）证明：AB是圆O的直径，BCAC，ABC直角三角形
30、，ACD为直角三角形，直线CE与圆O相切于点C，ABC=ACD，ABCACD，得证（2）由（1）可得ABCACD=，AC2=ABAD，AB=9，AD=1，AC2=9，解得AC=3选修4-4坐标系与参数方程23在极坐标系中，已知直线与圆O：=4（1）分别求出直线l与圆O对应的直角坐标系中的方程；（2）求直线l被圆O所截得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）先利用三角函数的和角公式展开直线的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得直角坐标方程，（2）利用直角坐标中直线与圆的关系求出截得的弦长即可【解答】解：（1）sin
31、（+）=2，sin+cos=2，cos=x，sin=y，化成直角坐标方程为：x+y2=0，圆=4化成直角坐标方程为x2+y2=16，（2）圆心到直线的距离为：d=2，截得的弦长为：2=4选修4-5不等式选讲24已知a0，b0，且a+b=1（1）若abm恒成立，求m的取值范围；（2）若恒成立，求x的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）由基本不等式可得；（2）问题转化为|2x1|x+1|4，去绝对值化为不等式组，解不等式组可得【解答】解：（1）a0，b0，且a+b=1，ab=，当且仅当a=b=时“=”成立，由abm恒成立，故m；（2）a，b（0，+），a+b=1，+=（+）（a+b）=2+4，当且仅当a=b=时“=”成立，若恒成立，则只需|2x1|x+1|4即可，只需或或，解得：2x62016年11月5日