1、第二章分类与擎合的思想分类与整合是数学中种重要的思想方法也是种重要的解题策略.因为很多数学问题很难用统的方法去解决,若将其划分为若干个局部问题每个局部问题就易于解决了特别是含参数字母的问题由于这类问题的结论大多数是由参数的变化而使问题的解答不唯,因而当解题进行到某步后不能再以同方法处理或统的形式叙述这时就必须根据参数字母不同的取值范围区别对待,即必须在参数字母总的取值范围（全集）内正确划分成若干个分区域（子集）在各个分区域内方能继续进行解题有些含参数讨论题由于所含的参数不止个故这类问题要通过多级分类、逐级讨论即在每个类中还可以继续划分更小的类直到每类中都能使问题得到解决为止当然分类讨论不局限于
2、字母参数,也有对具体问题可能出现的不同情况进行分类分类讨论是种逻辑划分的思想方法即根据对象的相同点将对象区分为不同种类的逻辑方法,分类应满足不重不漏,即各个分区域之并是全集,且任何两个分区域均无公共部分.数学之美在于简洁分类要力求简洁.分类讨论的解题步骤:（1）确定讨论的对象;（2）确定讨论对象的取值范围;（3）划分子区域;（4）对于参数字母多于个的问题则要进行逐级分类解题时要特别注意讨论的层次,避免重复讨论或讨论不全等现象;（5）对每个子域讨论的结果整合起来作出结论.其中第（5）点非常重要分类是把整体化为部分整合是把各部分加以归纳总结有“分”必有“合”因为我们研究的是问题的全体,所以必须做到
3、有“分”有“合”,先“分”后“合,这不仅是分类与整合的思想解决数学问题的主要过程也是分类与整合思想的本质属性数学思维应当注重过程的严谨性与周密性.下面按知识板块介绍体现分类与整合思想的题型第一节函数方程、不等式囤】二次函数（工）叮:2延l在区间3,2上最大值为4,求实数的值解题策略:已知二次函数在区间上的最值求参数值.由于二次项系数未定,必须对进行分类讨论.第鼻景含裹与整合的思想解:（工）工22Z1（Z1）21,o当0时,抛物线开口向下对称轴工13,2所以当工1时（工）max14即3.当（）时抛物线开口向上函数的最大值在区间端点取得,由图像特征,显然（怎r）max（2-8感1-4,即-综上所述
4、得3或刨-匝若lg（Ar）2lg（工1）仅有个实数根,那么虎的取值范围是求参数的取值范围,首先转化为方程与解题策赂:本题是含参数的对数方程仅有 一个实根不等式的混合组而所得的是含参数的一元二次方程.由判别式结合混合纽中两个不等式进行分类讨论从而获解.则仁琴 摊严:克工0,（膨（xD鲤:（2隐）堑l-0 o对由求根公式得（隐2隐!嫉）,狱（府2腮状儿陀24陀0卢0或龙4（诧0不合题意应舍去）.（）当隐0时,由得烫1堑-广20,所以工l、Z2同为负根（工l工21（）,又由知塑!l0 所以原方程有个解工l.（工210,（）当您4时原方程有个解涎:1（）当臆川川翻得虱兰三:所以工l、工2同为正根且工l
5、工2不合题意,舍去.综上可得陀0或虎4为所求.厕设为实数函数（x）工2工1硬eR.（1）讨论（工）的奇偶性;（2）求（工）的最小值.解题策略:讨论函数的奇偶性必须对0、0进行分类讨论去掉绝对值符号必须对工、Z进行分类讨论求函数的最值又必须进一步对的取值与二次函数对称轴的关系进行分类讨论,三次讨论层层深入.解:（1）当（）时,（工）（工）2工1（工）,此时（工）为偶函数.当（）时（）21而（）221,厅尸曹正普高中患誉解题方腋公所以（）（）（）（）.所以此时函数既不是奇函数也不是偶函数.（2）对工去掉绝对值号进行讨论:o封时（甄）甄:堑1-（r）:圃若则（至）亦（上单调递减所以（r）在（上最小值
6、为（）21若则（x）在（k的最小值为（）-;,目（）（Lo骂堑时.（雾）-墅:工1-（x）十,若则（鞭）在,函）上的最小催为（）凰.且（）（入昔则（雾）在.）上单调递增,所以（工）在）上的最小值为（）21.综上所述当时（x）的鼓小值为;凰;当时.（甄）的最小值为:1当时,（堑）的最小值为倒设函数（工）工2工2对于满足1工4的切工值都有（工）0求实数的取值范围陋解题策略:分类讨论是解好本例的关键一是千万不妥去掉对0情况的讨论二是当0时,妥对对称轴的位置加以分类讨论（第二次分类）三是0的情况也妥研究无解不等于不要解也妥表达清楚.解;当凰0时.（斯）（延）2上1上4,啊以篷缆（或司f（D凰2十:0（
7、）2上0（4）-16凰s2o鹏:二或江1;墨1所以1或l或画,即“昔;或煞2旦8,当0时.（l）-220,无解;（4）16820,。58第二章含奥与整今伪思想当0时,（工）2工2（1）（）,（4）6,不合题意综上可知.实数的取值范围足哑函数ylog（2露2重b雾b:堑1）（0,b0）,求使为负值的工的取值范围.旨数不等式时必须对底数的取值在（0,1）还是（1）进行分类解题策略:当问题转化为才讨论解:因为log告（2垄2延b工b2工1）0（0,b0）所以2雾2zb堑b2延11,即2堑2虹b工b2工0,两边同除以b塞,得（;）坠2（:l0.所以（）l百或（;）墅l】（舍去儿若60.则;l,所以垄l
8、og（面）;若-b0则;l,（;）襄-.而l】l.所以xeR;若0b.则01,所以xo踩（l面儿综上所述当b时工log;（1】）;b时,工eR;b时,工log（1面）.阀五已知函数（r）21（0）g（工）r3hx.（1）若曲线y（工）与曲线yg（工）在它们的交点（1,C）处有公共切线,求、b的值;（2）当24b时求函数（工）g（工）的单调区间,并求其在区间（。1上的最大值解题策略:本例是含参数的函数的最值与单调性问题,在对l（工）（r）g（工）求导后解（堑）0得z!;.塑-依据,相对于区问（函,的位置关系分类讨论分类妥合理不重不漏符合最简原则.总之分类讨论思想的本质是“化整为零积零为整”.思维
9、策咯与操作过程是:明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳结论检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集并集为全集）.解:（1）（工）2工,g（工）3工2b.因为曲线y（工）与曲线yg（工）在它们的交点（1C）处具有公共切线,所以（1）g（1）,且（1）g（1）,即11b,且23b,解得3b3.（2）记（延）-（鞭）g（堑）,当b-十鲤时.（涎）涎凰延:凰延l.（堑）:2凰堑:.令（延）-0,得r1-.堑鸣-0时,h（工）与（工）的情况如下:广气玄正妥葛中魁誉解题方膛所以函数h（工）的单调递增区间为（函,）和（;,函）;单调递减区间）臼（为当l,即02时函数肉（塑在厩间（篷起.l上单
10、调递增.肉（塑）在仅间（函,l上的最大俏为（l）!哦当l,且:l.即26时.瞬数h（墅）在区间（乙,;）内单调递增,在顾间（,lk罐调递减h（鞭）在厌间（唾,l上的最大值为h（;）-1当;l,即6时.函数励（工）在区间（函,:）内单调递增在区间（;.;）内单调递减在区间（;上单调递增义因为（;）h（l）ll（2）:0所以h（烫）在区间（函,l上的最大值为陶（!）L综上,当02时,（堑）g（r）的最大值为寸!;当2时,（堑）十g（）的最大值为L第二节三角比与三角函数腕】已知（工）2cos工sin（工0）2sin工（cos.贮cos0sm工sin）0（02冗）.若（吾）-2,且（翼）在著司上为减阔
11、数卜（1）求函数（工）的最小正周期;（2）求实数和角0的值解题策赂:在研究三角函数Asin（o工驴）的性质时当A的正负未定时则必须对A的正、负进行分类讨论.解8（1）（r）2cos工sin（工0）2sinJr（cosrcos0sln工sin0）（工）2coszsin（r0）60r）工（、山h（工）20）尸白.迅60）函（第鼻命4、妻与餐合的思想蜘sis（二0）（鞭）-酗0）显然圃0,所以（恋）的最小正周期为T等-”（2）若哩,（涎）住船二数且（悬厕）-2荒器-昔-;（涎）最大值为2即1此时（r）2sin（2工）.（苦）-2sin（?）M巨（0,2露）-等若0同理1此时（工）2sin（2工0）,
12、f（器）2sm（等）-10e（0.2砸）0-（1（1上卿遥删粤窥,C匝如图31所示有块等腰三角形形状的空地ABC腰CA的长为3底AB的长为4现决定在该空地内筑条笔直的小路EF（宽度不计）,将该空地分成个四边形和个三角形设分成的0三撅.厂巳当丑后,.!一已冗dB四边形和三角形的周长相等,面积分别为Sl和S2.图31（l）若小路端E为AC的中点求此时小路的长度;（2）求:的最小值解题策略:本例引起分类讨论的是小路端点E、F的位置位置不同的可能性以及位置的不同导致结论的变化.解:（1）先确定点F的位置O若点F在BC上（如图32中Fl位置）设CF1r,则ECCFlAEABBFl,QQ7C即;r;3l得
13、-:3（舍去）,故点F不在BC上.若点F在AB上（如图32中F2位置）设BF2t则EC周cBFAEAF:即;3r;哎得179此时AF:4百百cosAdRB图3-2厂是在AEF巾,EF:-八EAF;2A卧AF-芋得EF,-孕故若小路端E为AC的中点,此时小路的长度为掣（2）分情况讨论点E、F的位置若小路的端点E、F都在两腰上（如图33）设CErCFy,则ECCFAE61曹正妥葛中毅檬解题方幢令ABBF,即工y（3Z）4（3）,得工y5（0r3,0y3）.AC.BC恳inCS SS幽-CE.CFSinC二二1S2ScEFScEFQ一琴（墓兰）l紧（当烂曰:掘褐等粤）ry若小路的端点E、F分别在腰（
14、不妨设腰AC）上和底边上（如图34）.设AE工,AF.由AEAFECBCBF.A即工y（3工）3（4y）得工y5（0r3,0y4）.八C.蛔smAs1 ssSlAE.AFsmA12二二11S2SAEFSAEF工y鬃（学）.器（当哑蓟曰;等号）Cx）EFB图3-3CFB图3-4综上所述,;的最小值为呈匝如图35所示半圆O的直径为2,点A为直径延长线上的点,OA2点B为半圆上任意点以AB为边向半圆外作等边三角形ABC.（1）求四边形OACB的面积的最大值;（2）求线段m长的最大值解题策略:求解时若设AOB则必须对为锐角、钝角、直角解题策略日求解时若设AOB则必须对为锐角、钝角、直角CAOE图35分
15、类讨论（如图35、36）.解:（1）设AOB,则（0,冗）在AOB中,AB2OB2OA2c2OB。OAcos14212cos54cos于足s侧ss-.岭oB罕B:厅sin宁（5-sm佰平BAEO呐）冗（吕臼图36叉因为0隧派,所以当“苛-昔.-时,s卿取到最大值s-2乎62第具聋含裹与整合伪思忽（2）设么AOB乙OAB.若为锐角则OBsinABsin,且OBcosABcos2.所以ABsinsinABcos2cos.若为钝角（如图36）则OBsin（冗）ABsin,且ABcosOBcos（冗）2,所以ABsinsinABcos2cos,若-昔.则仍有Bslns!n,ABcos-2 c于是在AO
16、C中.OCz-ACAO2AC.OAcos（;）-AB十2鸳4B（c。愚窖曾m）-54cos4-2（2cos）23sin52cos2百sin-5悼了）-5岭m（醚）1因为0赋,所以当昔,即AOB时,oC取得最大值鼠第三节复数阳设工1、工2是方程2工23工20（R）在复数范围内的两根,求工l工2（用含的解析式表示）.解题策略:在复数集内解一元二次方程必须对0、（）分类求解.在去掉绝对值号时又需进一步对的取值进行分类讨论.解:若928280即0或8此时工l 工2巨R工工十工十工rl 工2 （rl 工2）2）日（日（xil工2）22工l工22工l虐r2由2（）得1或0日）（）（斗叫工尤时日或当以所十斗
17、当01时 工l 工2 2）（2）若928280即80此时,工l、工2为对共扼虚根.r塑,-2泌-M万r-2轴-2云盂-2罕-2（:幽）63。零正妥高中魁檬解题方膛令或8,1综上所述,工l工2 十日,01QV2（2）,80.陋设两复数集M（z雹i（42）加R）lV（zz2cos0i（入3sin0）,0eR.（1）若MN,求实数的取值范围;（2）当实数入在（1）中变化时进步讨论集合MV的元素个数并当取定值时求MN;（3）本题的几何意义是什么?解题策赂:第（1）问MN,即两集合有公共元素利用两复数相等的充妥条件,消去加,即可得入关于sin的三角函数进而求值域.第（2）问可通过函数与方程的思想方法结合
18、方程根的情况进行分类讨论分类妥全面防止遗漏.第（3）问求出集合M、集合N在复乎面上的点的轨迹把数的问题转化为形的问题,其中集合N对应的轨迹含参数,当入变化时该曲线在运动从而探求两曲线相交的不同情况.本小题若考虑用数形结合,则直观易解不妨一试.本例涉及函数与方程、分类讨论、数形结合多种数学思想,是一道既新颖又具典型性的好题.解:（1）由MN得恿i（4!2）2cos0i（3sin）.所以咖-2c。s0.消些.得川4副n:03副n-（2sn0;）揣（eR儿（42入3sin0,巾liMl得川巨陆.讣（2）由4sin203sin0入0.令sin0t考虑（）423tte1,1o当-0川-亢此时蓟n0-;而
19、-土罕,Q所以集合MN省两个元素字荒,孪当（1）（1）017.此时sin0在（11）内有解而cos0士1sin20有两解所以集合MN有两个元素.o当（1）0入7此时有4t23r70,即（4t7）（r1）07所以i1t（舍）sm0r2L所以cos00此时MlV有个元素MV4i.当（1）0入1此时有4r23t10即（4t1）（t1）（）,所以-了.:-l当爵M-时-平;当隐m0-时,-1.64.第鼻景4、奥与整合的思慈小陋压以所（1）0（1）0Q当0,亢l,此时MN有四个元素l;l（3）令z工i知集合M在复平面上的点的轨迹为抛物线工2（y4）集合N在复平面k的点的轨迹为椭圆￥（y子）1。本题讨论的
20、是当变化时,椭圆上下移动时与抛物线相交的不同情况.第四节平面句量顾】已知丽（延1）而（1y）求ABC为等腰直角三角形的充要条件.解题策赂:直角顶点未明确必须对哪一角为直角进行分类讨论.解:O当CAB90ABAC时ABC为等腰直角三角形-砸咖丽丽尝哈亡惑示解得工0.当CBA90BABC时,ABC为等腰直角三角形,-一此时BA上BC且BABC BAAB（工1）BCBAAC（工11懂驾茎J壳二）土丁土讳!雕j或j二i.当BCA90。CACB时ABC为等腰直角三角形-一-此时CA上CB且CACB CAAC（1y）CBBC（工11y）-意雪羔二岳纵曰）丁门!,鹏滁j或j二.（工0,（工2,或综上所述,A
21、BC为等腰直角三角形的充要条件是露0或y-或y3j.戴ji.匝在ABC中 丽2点A（1,1）.（1）若C（2,0）且A、B、C能构成直角三角形求点B 的坐标;-（2）工轴上是否存在点B、C满足AB在请说明理由.丽0?若存在求出点B、C的坐标;若不存65玄正妥高中毯眷解题方怯令解题策略:第（1）问ABC中哪一个角是直角?必须分类讨论即使某角不可能是直角,也必须说明理由.第（2）问点B、C在工轴上的位置关系未定也会有两种不同的情况.-解:（1）设点B（ry）,则AC（11）AB（jr1y1）CB（工2,y）.因为BC2所以CB 2（工2）2y22所以（z2）224.因为元百丽2,所以B90.当乙A
22、90。时,丽。而0,所以工0,又因为（jr2）224,所以工0或2.所以点B的坐标为（00）或（2,2）.当C90时,CBAC0所以z2y0.又因为（工2）2y24所以y】所以点B的坐标为（2】面）或（2面,】）.综上所述点B的坐标为（00）或（22）或（2百,面）或（2徊,】）.（2）依题意可设点B（6,0）C（c,0）则万百（611）丽（c1,1）.一-因为BC2,AB。AC0所以BCbc 2,AB.AC（b1）（c1）10.所以b0或b2,所以点B、C的坐标分别为（00）、（20）或（20）、（0,0）.第五节数列阿数列（）中1122数列.）是公比为q（q0）的等比数列.求数列）的前2项
23、的和S2.解题策略:由（.鹏1是等比数列可得的奇数项、偶数项分别成等比数列求和时还妥对q1q1进行分类讨论.解:由数列 测l）是公比为q的等比数列得厕l2门2qq刃花了l这表明数列）的所有奇数项成等比数列所有偶数项成等比数列且公比都是q,又因为l122则当q1时S2l2342l2（l352抛l）（2462）（l铲）酗俘）-3铲）二1q1q当q1时,S2l2342l2（l352励l）（2462）（1111）（2222）3.卵列翻的通项公式吟删船）且翻皮贡（eN（1）求数列b的通项公式;（2）求数列:中最大值的项和最值的项66第鼻素4、囊与婆合的思想解题策略:已知数列为前项和的形式求通项公式时必须
24、对!2或1分类讨论若通项为分段形式,则必须分类求最值再整合数列的因为雨-1删!所以击击贡-去b1b2十厂厂瓦穷删-时,叫-岩;因为击六所以b-了2当2时去-（广六孟六）（击谎六）-去吕.铝）（n（:-籍2广l-（D1解:（1）（2以（二j（2）当硼-时哥-,11当.寄-隅）丽l）箭捍羔蔓m了（蛔斗鞍l1因为（）4241在2时为增函数所以必有424125.由04（4:掣1）六,可知4（44D聂11闽为,所以数列普的最大值项为爵-;最小值项为普-岛圃副已知数列凋）和b稠）满足;川阀;阀4b厕（1）翻（.32D其中川O为实数,为正整数.（1）试判断数列b）是否为等比数列并证明你的结论;（2）设06,
25、S为数列b的前项和,是否存在实数入使得对任意正整数!,都有Sb?若存在求入的取值范围;若不存在说明理由.解题策赂:分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,在简化研究对象、发展思维方面起着重妥作用在本例的解答中有两处是一定要讨论的一是对等比数列的证明一定要关注首项不可为0二是对为正奇数、正偶数的讨论.解（）因为b叶1-（）柑凰柑:（）2（l）汁（“厂2l4）-:（l）O（厕321）b翘且b1（入18）所以O当18时bl0（沤eN）,此时b）不是等比数列;当18时.数列（b）是以（l8）为首项鸟为公比的等比数列67曹正妥高中魁眷解题方幢介书（2）由（1）知当18时bl0S0,不满足题目要求.所以川!s故
26、知脚-（人ls）（广.可得s铡-:十）（:）要使S厕6对任意正整数成立即酗:十l）0（）偷（巨N）,得i（座（几ls）（:）o令（）（;）.则1j为正奇数时,l（）;郑为止偶数时;（）l匡巨所以（阀）的最大值为（l）;,（）的最小值为（2）-甘于是.由o式得:（8）;偷bl8入3凰1a当b3时,由b18318知不存在实数满足题目要求;当b3时存在实数入使得对任意正整数!都有Sb且的取值范围是（b18,3（J18）.第六节解析几何匝AOB是等腰直角三角形,ABZ动直线过点P（11）与AOB的斜边、直角边分别交于不同的点M、N（如图37）.（1）设直线的斜率为h,求龙的取值范围,并用陀表示点M的坐
27、标;（2）试写出表示AMN的面积S的函数解析式S（虎）并求S（虎）白（2）试写出表示AMN的面积S的函数解析式S（虎）并求S（虎）的厉工图37最大值.解题策赂:由于绕P点转动,则lV点可落在OA上也可落在OB上SAMv的计算不一样,所以须对的斜率不同的取值进行分类讨论.解:（1）由已知条件得A（10）、B（01）陶0,设直线的方程为y虎工1虎,由孤l得M（六.六）（yAr1陀（2）当腮1时,点N任直角边oA上,N（旱,0）s（腐）（1 旱）.晦12腐（隐D11当0卢1时点虎在直角边OB上N（01克）,s（隐）l讽1（l愿）1百隐六2（kD1卢二二68第二素含妻与寝合的思忽12此（卢1）龙1所以
28、S（陀）（2（盖l）.0kl当脸时,s（腮）递减,所以s（隐）臻-s（l）当0隐时,s（您）-:（D讣综上所述,当虑-时.s（虑）卿霉2匝厄根据隐的变化讨论方程占（隐2）隐l所表示的曲线的形状解题策略:必须将虎4这个大区域划分成小区域或用特殊值进行分类讨论注意不重不漏解:由方程陀R且虎4从虎的特殊值人手讨论:（1）当诧2时方程化为工,表示两条平行于y轴的直线;（2）鄂时方程化为则-等延,表示两条相父于原点的直线;3）当晦2且虑时,方程化为口腻隐）盖-l,肉2对两分母的符号再分三小类讨论:（4龙）（内1）0,叫鹤即1炎2时方程表示焦点在工轴上且中心在原点的双曲线;（4虎）（卢1）0,剖瓣蛆椒删砷
29、“钨0,（4龙）（内1）0,即24时,由于钨（腮）（腮l）（晦l）（隐3）当咎“陀20,所以当虎3时方程表示圆Z2y24而当2h3或3陀4时,方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆第七节空间图形陋】已知斜三棱柱ABCABC!的底面是直角三角形乙BAC90。且BC1上ACABAC2BCl2仍侧棱与底面成60。,求它的体积.解题策略:在证得乎面ABC乎面ABCl 点Cl在底面上的射影H在直线AB上,但点H在直线AB上的位置不能确定所以要对点H的位置分类讨论o69曹正妥高中熟檬解题方腋公解:因为AC上AB,AC上BCl 所以AC上平面BACl.又因为AC平面ABABC所以平面ABC上平面ABCl.则
30、点Cl在平面ABC上的射影定在直线AB上所以过Cl作CH垂直BA交BA的延长线于H.设ClH工.若点H在线段BA的延长线上联结CH,如图38所示,则ClCH是CCl与底面所成的角即ClCH60。CHClH百tan60。丁工.一虏BC图3-8在RACH巾AH-c日,C:片凰业在RtBClH中因为BH2ClH2BC川仕工日以所工2（2百）2,解得工I百.所以V三棱柱ABcAlBlcl工.SABc2T百.若点H在线段AB上,如图39所示.4CBl日冗日（在RtBClH中BH2ClH2BC,即工2M（2）2解得工2百（此时点H与点B重合）.所以V三棱柱ABcAlBlcr.SABc4K若点H在线段AB的
31、延长线上,在RtBClH中因为BH2ClH2BC;所以（厅J二42）,涎:-（:仍）:解得-2俯,不合题意综上所述,斜三棱柱ABCAlBlCl的体积为2而或4K】已知直线ABD且相距28cm,EF在AB、CD所确定的习HB图39C陋已知直线AB（CD且相距28cmEF在AB、CD所确定的平面外,EFAB且相距17cmEF和平面相距15cm,求EF与CD间的距离解题策略:本例是由于图形的位置关系不确定而引起分类讨论的立体几何问题,EF在平面上的射影位置不同,则EF与CD的距离也不同,对各种情形都要讨论,否则就容易漏解或无从下手.解:在EF上任取点M作MO于O,则垂足O的位置有两种可能在平行直线A
32、B与CD之间如图310（1）所示;不在平行直线AB与CD之间如图310（2）（3）所示.70第二章么、奥与整合嫡思想MMMEEV7-（）D（l）（2）（3）图310在平面内过O作与AB、CD垂直的直线交CD于H,交AB于N则MO15cm为EF与平面的距离,MV17cm为EF与AB的距离lVH28cm为平行直线AB、CD间的距离MH为EF、CD间的距离,无论哪种情形都有OlVMN2MO21721528cm.在图310（1）中OHlVHOlV20cm所以MHMO2（）H225cm;在图310（2）中,OH）NNH36cm所以MHMO2（）H239cm;在图310（3）中OHONNH20cm此情况不
33、存在因此EF与CD间的距离为25cm或39cm.第八节简化和避免分类讨论的技巧分类讨论思想解题的实质是“化整为零各个击破,再积零为整”的思维策略但同时还要注意充分挖掘求解问题中潜在的特殊性和简单性,尽可能消除讨论因素”灵活地采用相应的解题策略适当作点“技术处理”简化或避免分类讨论往往能给解题带来事半功倍之效避免分类讨论常见的解题策略有:直接回避、变更主元、整体考虑、反客为主数形结合等通过三角换元引进参数则无理等式.这是避开讨论的常用的基本解题策略;无理分式不等式按常规解法必须分类讨论不等式可以化为有理不等式分式不等式也容易化为整式不途径.解;设堑tae（.苛）.则原不等式可化为2sn鹏sin1
34、o.由此解得,敝碘昔.从等.所以原不霉式的解巢为（罕.十）匝已知（r）log泌re徊,8对于（r）值域内的所有实数!,不等式赃2工42加4工恒成立则实数工的取值范围是解题策略:若按常规思略将工看成主元,则要分很多情况来讨论m,无形之中增力口了解题负担.若将!看成主元则不等式转化为一次不等式恒成立问题易解.可见变换主元可以有效避免分类讨论.厅豫正兴高中慰学解题方臆公解;网为e侗,8,所以）e恬,原题转化为咖（鞭:）（:）0对任慧的雌巨巳.:陋成立当工2时不等式不成立,所以工2.令鼠（咖）-（厂）脚（测2）;.测e巳.（g（狮）为关于的次啸数1题转化闷州筐巴.引恤大于.则凰（）雕墅1巳g（3）0即
35、实数工的取值范围为（1）O（2）.皿已知函数（工）4工:2（户2）延2户2户1在区间11上至少存在个实数使（C）0求实数户的取值范围解题策赂:有些数学问题正面直接求解需要分多种情况考虑,而如果考虑对立面,可能情况会变得更简单,这就是正难则反思想,可以有效避免讨论.解:至少存在个实数C,使（C）0,需要分多种情况考虑,而考虑反面的话即对于区间1,1上任意的数C都有（C）0结合图形可知只需要满足（1）0且（1）0即可解得巨（唾o层,霹）.取补集可得所求范圃沟（3.;）阿到设偶函数（工）定义在22上且在区间0,2上递减若（1m）（m）,求实数加的取值范围解题策略:本题通常分四种情况讨论求解,妥避开这
36、场“大规模”的分类讨论,必须注意对隐含条件的挖掘把握偶函数满足（r）（工）（工）这一本质则问题即刻变得非常简洁.解:因为（工）为偶函数,则（1?）（!）,且（工）在0,2上递减则:枷咖.巾此解得枷的取德范圈为尸）求司旦刑加皿陋已知函数（工）2工24工1（叁r巨R）定义域为加且!0,值域为m的值解题策略:若一个数学问题的题设中还含有一些隐含条件,如果稍加留意,充分挖掘就能避免复杂的分类讨论从而简化解答过程.如本题中若没有注意到隐含条件,很容易想到分三种情况讨论区间泥与对称轴直线工1右边是可确定的所以深挖隐含条件可避的位置关系,而实际上区间!在对称轴工1的免讨论.解;f（涎）欺:蝇l-2（延l）l
37、l.因此区间除所以吉l.即恤闪此厩间,为蹋敞的减区间必定包含在（1中72第三聋今龚与整合的思想所以（）2（咖）l-击且（）-2（l）所以!、是方程2（工1）21上,即（工1）（2工22r1）（）的两个解r1百1百解得甄1.延-厂巫毕闽为l所以砸-l抛-厂厕已知条曲线C在y轴右边C上每点到点F（10）的距离减去它到y轴距离的差都是1.（1）求曲线C的方程;（2）是否存在正数m对于过点M（加,0）且与曲线C有两个交点A、B的任直线都有-FA。FB0?若存在求出m的取值范围;若不存在请说明理由.解题策赂:当直线过一定点,很容易想到设直线方程为点斜式或斜截式,从而忽咯斜率不存在的情况或是对斜率不存在时
38、的讨论若从题设中可以明白判定直线的斜率不可能为零时可将直线方程设为工tJm,这样不仅避免或简化了讨论的步骤且可以大大减少计算量从而提高解题速度.（1）由题意知C上每点到点F（1,0）的距离等于到直线工1的距离根据抛物线的定义,可得曲线C的方程为y24工.（2）显然过点M的直线存在垂直工轴的情况,但又不含垂直轴的情况,因此为了避免分类,可设直线方程为工ry加.并设A、B两点的坐标分别为（工l,yl）、（工2,y2）.将直线方程工tym与抛物线方程y24工联立消去工得y24ty4加0,所以16t216m0恒成立（正数加）.故yly24tyly24m.所以-￥.￥-侧;,卿墅-（蚁y:）勤-叫-由E
39、4.FB0得工l工2（工l工2）1yly20所以24t2214?0即m26m14t2.因为对任直线,都有丽.丽0故加26饥14r2在r巨R上恒成立.所以m26沉10即32面m32百.可见存在正数m,对于过点M（加,0）且与曲线C有两个交点A、B的任直线都有丽丽0加的取值范围为3232百.解:（1）厅d曹正妥葛中魁誉解题方临令专题练三:分类与整合的思想-填空题1.若函数（工）2工的单调递增区间是3,。）则2.设A（工工22工lg（922）0）,B工工0）且AB则实数的取值范围是3.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形则它的体积为靴已知数列（）的通项公式为寺2翻（D6阀翻.设S是数列）
40、的前厕项O和.若b入S厕0对任意N都成立,则实数的取值范围是鼠已知。R若关于的方程堑墅翻l-0省实根侧的墩值范闹是.6.已知抛物线顶点在原点焦点在坐标轴上又知此抛物线上的点A（m,3）到焦点F的距离为5则m的值为;抛物线方程为-7.在ABC中,设AB（2,3）AC（1k）若ABC是直角三角形,则实数龙的值为.8.过点M（10）作直线I与圆C:工2y216交于A、B两点O为原点则AOB面积的最大值是.若两数（洒）-“b的图像经过点（0,1）和（昔l）,且当甄匡倍l时.（工）2恒成立则实数的取值范围是二选择题11.若、b巨R且b0则下列不等式中恒成立的是（A.2b22bB.b2万）.连十可）2设阀
41、数狐）:能妄!僧凰侧吨值）A.（10）O（01）C.（10）O（1）B.（1）（1,）D.（1）O（0,1）74第三伞含襄与潜合伪墨鱼13.在直角坐标系工O）中了,了分别是与工轴、y轴平行的单位向量若在直角三角形ABC中,丽2了了丽3了叮则k的可能值有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个14.关于工的方程（工21）2工21虎0给出下列四个命题:o存在实数虎使得方程恰有2个不同的实根;存在实数陀,使得方程恰有4个不同的实根;存在实数龙使得方程恰有5个不同的实根;存在实数龙,使得方程恰有8个不同的实根其中假命题的个数是（）.A。0B。1C.2D.3三解答题15.是否存在实数使函数（工）log（z
42、2工）在区间24上是增函数?若存在说明可取哪些值;若不存在说明理由.m给出两条直线;涎咖测:0,;（2）刃l52枷0,其中枷eR（1）当加为何值时,l与2重合?（2）设l2求m;（3）设l与2相交,求m的取值范围;（4）求m的值使得l上2.17.已知椭圆c的中心为直角坐标系工Oy的原点焦点在工轴上,它的个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（1）求椭圆C的方程;（）若P为椭圆c上的动点,M为过P目垂直于翻轴的直线上的点,揣-川.求点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线75.零正妥葛中么襟解题方腋令设函数（0）sin鹏0（）cos翅0.00.其中为正整数（1）判断函数l（）、3（0）的单调性,并就l（0）的情形证明你的结论;18（2）证明:26（0）4（0）（cos40sin40）（cos20sin2）;（3）对于任意给定的正整数求函数测（0）的最大值和最小值76