1、正弦定理和余弦定理应用举例自主梳理1.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)(2)方位角一般指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如方位角 45，是指北偏东 45，即东北方向(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图所示)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向南偏西等其他方向角类似(4)坡度角坡面与水平面所成的二面角的度数.坡面与水平面的夹角(如图所示)(5)坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 ihltan(i 为
2、坡比，为坡角)自我检测1如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA45，且 AB200 米则 A，C 两点的距离为()A.200 63米B100 6米C.100 63米D200 2米2如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10B北偏西 10C南偏东 10D南偏西 10灯塔 A、B 的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则 605010，即北偏西 103在 200 m 高的
3、山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是 30、60，则塔高为_m.40034如图，某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45，沿倾斜角为 30的斜坡前进 1 000 m后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 60，则山的高度 BC 为_ m.500(31)5ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD33，sin B 513，cosADC35，求 AD.解 由 cosADC350 知 B2，由已知得 cos B1213，sinADC45，从而 sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B45121335 5133365.由正弦定理得，ADsin BBDsi
4、nBAD，所以 AD BDsin BsinBAD33 513336525.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 题型一与距离有关的问题例 1 如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3 3)海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D点需要多长时间？实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取
5、要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当解 由题意知 AB5(3 3)海里，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB 中，由正弦定理，得DBsinDABABsinADB，DBABsinDABsinADB 5(3 3)sin 45sin 1055(3 3)sin 45sin 45cos 60cos 45sin 6010 3(海里)又DBCDBAABC30(9060)60，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得 CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001 200210 320 312900，CD30(海里)，需要的时间 t30301(小
6、时)故救援船到达 D 点需要 1 小时变式训练 1（1）要测量对岸 A、B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C、D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，求 A、B 之间的距离.解:在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3 km.在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC 3sin 75sin 60 6 22.在ABC 中，由余弦定理，得AB2(3)26 2222 3 6 22cos 7532 3 35，AB 5(km)，A、B 之间的距离为 5 km.（2）某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25方向，从 A 出发有一条南偏东 35
7、走向的公路，在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 走去，走 20 千米到达 D，此时测得 CD 为 21千米，求此人在 D 处距 A 还有多少千米？解 如图所示，易知CAD253560，在BCD 中，cos B312202212231202331，所以 sin B12 331.在ABC 中，ACBCsin Bsin A24，由 BC2AC2AB22ACABcos A，得 AB224AB3850，解得 AB35，AB11(舍)，所以 ADABBD15.故此人在 D 处距 A 还有 15 千米点评：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角
8、形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解（3）如图，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处(31)海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度，以 B 处向北偏东 30方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 设缉私船应沿 CD
9、 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD10 3t 海里，BD10t 海里，在ABC 中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcos A(31)2222(31)2cos 1206.BC 6海里.又 BCsin AACsinABC，sinABCACsin ABC2sin 1206 22，ABC45，B 点在 C 点的正东方向上，CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得BDsin BCDCDsinCBD，sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12.BCD30，缉私船沿北偏东 60的方向行驶.又在BCD 中，CBD120，BCD30，D
10、30，BDBC，即 10t 6.t 610小时15 分钟.缉私船应沿北偏东 60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟.题型二 测量高度问题例 2 如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为，求塔高 AB.解 在BCD 中，CBD.由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，所以 BCCDsinBDCsinCBD ssin sin()，在 RtABC 中，ABBCtanACBstan sin sin()变式训练 2(1)某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 4
11、0 米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为 30，求塔高解由题意可知，在BCD 中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，CDsinDBCBDsinBCD，BD40sin 30sin 135 20 2.过 B 作 BECD 于 E，显然当人在 E 处时，测得塔的仰角最大，有BEA30.在 RtBED 中，又BDE1801353015.BEDBsin 1520 2 6 2410(31)在 RtABE 中，ABBEtan 30103(3 3)(米)故所求的塔高为103(3 3)米(2)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西 60的方向以每小时 6 千
12、米的速度步行了 1 分钟以后，在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为 60.(1)求该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了几分钟；(2)求塔的高 AB.解(1)依题意知，在DBC 中，BCD30，DBC18045135，CD6 000 160100(米)，D1801353015，由正弦定理得CDsinDBC BCsinD，BCCDsinDsinDBC 100sin 15sin 135 100 6 242250(6 2)250(31)(米).在 RtABE 中，tan ABBE.AB 为定长，当 BE 的长最小时，取最大值 60，这时 BECD.当
13、 BECD 时，在 RtBEC 中，ECBCcosBCE50(31)32 25(3 3)(米).设该人沿南偏西 60的方向走到仰角 最大时，走了 t 分钟.则 t EC6 0006025(3 3)6 000603 34(分钟).(2)由(1)知当 取得最大值 60时，BECD，在 RtBEC 中，BEBCsinBCD，ABBEtan 60BCsinBCDtan 6050(31)12325(3 3)(米).即所求塔高 AB 为 25(3 3)米.题型三 几何中的正、余弦定理应用问题例 3 如图所示，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求 BD 的长.探究提高
14、要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形.在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理.解 在ABC 中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得ABsinBCAACsinABC，sinABCACsinBCAAB9sin 305 910.ADBC，BAD180ABC，于是 sinBADsinABC 910.同理，在ABD 中，AB5，sinBAD 910，ADB45，由正弦定理：ABsinBDABDsinBAD，解得 BD9 22.故 BD 的长为9 22.变式训练 3 如图所示，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，BD 交AC 于 E，AB2.(1)求 c
15、osCBE 的值；(2)求 AE.解:(1)因为BCD9060150，CBACCD，所以CBE15，所以 cosCBEcos(4530)6 24.(2)在ABE 中，AB2，由正弦定理AEsin(4515)2sin(9015)，故 AE2sin 30cos 15 1cos 15 6 2.四 三角形中最值问题例 4 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已测得一组、的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，请据此算出 H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的
16、距离 d(单位：m)，使 与 之差较大，可以提高测量精度若电视塔实际高度为 125 m，试问 d 为多少时，最大？解(1)由 AB Htan，BD htan，AD Htan 及 ABBDAD，得 Htan htan Htan，解得 Hhtan tan tan 41.241.241.20124(m)因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.(2)由题设知 dAB，得 tan Hd.tan Hhd.所以 tan()tan tan 1tan tan hdH(Hh)dh2 H(Hh)，当且仅当 dH(Hh)d，即 d H(Hh)125(1254)55 5时，上式取等号，所以当 d55 5时，tan
17、()最大因为 02，则 00，0)，x0,4的图象，且图象的最高点为S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求 A，的值和 M，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？解方法一(1)依题意，有 A2 3，T43，又 T2，6.y2 3sin6x.当 x4 时，y2 3sin23 3，M(4,3)又 P(8,0)，MP 42325(2)如图，连接 MP，在MNP 中，MNP120，MP5.设PMN，则 060.由正弦定理得MPsin 120 NPsin MNsin(60)，NP10 33sin，MN10 33s
18、in(60)，NPMN10 33sin 10 33sin(60)10 33 12sin 32 cos 10 33sin(60)060，当 30时，折线段赛道 MNP 最长即将PMN 设计为 30时，折线段赛道 MNP 最长1解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍2应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量
19、高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等练习一一、选择题1如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为()A.518B.34C.32D.782如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A、B 两点的距离为()A50 2 mB50 3 mC25 2 mD.25 22m3ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为()A.9 22B.9 24C.9 28D9 24某人向正东方向走 x km 后，向右转 150，然后朝新
20、方向走 3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么 x 的值为()A.3B2 3C.3或 2 3D35一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60方向，另一灯塔在船的南偏西 75方向，则这只船的速度是每小时()A5 海里B5 3海里C10 海里D10 3海里二、填空题6把一根长为 30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC，且120ABC，则第三条边 AC 的最小值是_15 3 _cm7一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东60，行驶 4h
21、 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为km30 2 km8某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为 15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60和 30，第一排和最后一排的距离为 10 6米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为 50 秒，升旗手应以_0.6_米/秒的速度匀速升旗三、解答题9.如图，在ABC 中，已知B45，D 是 BC 边上的一点，AD10，AC14，DC6，求 AB 的长.解 在ADC 中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得 cosADCAD2DC2AC22ADDC10
22、036196210612，ADC120，ADB60.在ABD 中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得ABsinADB ADsin B，ABADsinADBsin B10sin 60sin 4510 32225 6.10.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形 ABCD 的面积S=SABD+SCDB=12ABADsinA+12BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故 S=12(ABAD+BCCD)sinA=12(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD 中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA
23、在CDB 中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=12，又 0A180，A=120故 S=16sin120=8 3BADOC11如图，A、B、C、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75、30，于水面 C 处测得 B 点和D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B、D 的距离(计算结果精确到 0.01 km，21.414，62.449)解 在
24、ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CDAC0.1 又BCD180606060，所以ABCCBD，所以 BABD.在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，即 ABACsin 60sin 153 2 620，所以 BD3 2 6200.33(km)故 B、D 的距离约为 0.33 km.12如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的南偏西 75方向的 B1处，此时两船相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60方向的 B2 处，此时两船相距10 2海里问乙
25、船每小时航行多少海里？解如图，连接 A1B2，由题意知，A1B120，A2B210 2，A1A2206030 210 2(海里)又B2A2A118012060，A1A2B2 是等边三角形，B1A1B21056045.在A1B2B1 中，由余弦定理得 B1B22A1B21A1B222A1B1A1B2cos 45202(10 2)222010 2 22 200，B1B210 2(海里)因此乙船的速度大小为10 220 6030 2(海里/小时)练习二一、选择题1.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设 为坡角，那么 cos 等于()A.35B.45C.34D.432.有一长为 1 的斜坡，它的倾
26、斜角为 20，现高不变，将倾斜角改为 10，则斜坡长为()A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 203.在ABC 中，已知A45，AB 2，BC2，则C 等于()A.30 B.60 C.120 D.30或 1504.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援，则cos 等于()A.217B.2114C.3 2114D.2128二、填空题5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的
27、扇形 AOB，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿OD 走到 D 用了 2 分钟，从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_.50 7_米.6.如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则 BC 的长为_.8 27.已知ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC 的面积为_.15 38.在ABC 中，B60，AC 3，则 AB2BC 的最大值为_2 7_.9.在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD12
28、DC，ADB120，AD2.若ADC 的面积为 3 3，则BAC_.60_.三、解答题10.如图所示，海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，船向正南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30方向，航行 30 海里后，在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解 在ABC 中，BC30，B30，ACB18045135，所以A15.由正弦定理，得 BCsin A ACsin B，即30sin 15 ACsin 30，所以 AC30sin 30sin 15 15(6 2).所以 A 到 BC 的距离为 ACsin 4515(6 2)22
29、15(31)15(1.7321)40.98(海里).这个距离大于 38 海里，所以继续向南航行无触礁的危险11在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 2(cos)10 方向 300 千米的海面 P 处，并以 20 千米/小时的速度向西偏北 45方向移动台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 千米，并以 10 千米/小时的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？解:如图,设在时刻 t(小时)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t60(千米)若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭，则 OQ10t60.由余弦定理知OQ2PQ2PO2
30、2PQPOcosOPQ.PO300，PQ20t，cosOPQcos(45)coscos45sinsin45 210 22 1 2102 22 45，12在一个特定时段内，以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域，点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45且与点 A相距 40 2海里的位置 B，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45(其中 sin2626，090)且与点 A 相距 10 13海里的位置 C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域
31、，并说明理由解：(1)如图，AB40 2，AC10 13，BAC由于 090，所以 cos1262625 2626.由余弦定理得 BC AB2AC22ABACcos10 5.所以船的行驶速度为 10 52315 5(海里/小时)(2)方法一如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，设点 B、C 的坐标分别是 B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有，x1y1 22 AB40，x2ACcosCAD10 13cos(45)30，y2ACsinCAD10 13sin(45)20，又点 E(0，55)到直线 l 的距离 d|05540|143 57，所以船会进入警戒水域方法二易求点 B 坐标为(40,40)(方法同解法一)在ABC 中，由正弦定理得 sinBACBCsin 1010，cosB 1sin2B1 1103 1010.即 tanBsinBcosB13，kBCtan(45B)1131132.直线 BC 的方程为 y402(x40)，即 2xy400，以下同解法一