1、第二讲 证明不等式的基本方法达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用分析法证明不等式的推论过程一定是()A正向、逆向均可进行正确的推理B只能进行逆向推理C只能进行正向推理D有时能正向推理，有时能逆向推理解析：在用分析法证明不等式时，是从求证的不等式出发，逐步探索使结论成立的充分条件，故只能进行逆向推理答案：B2已知a2，b2，则有()AababBababCabab Dab2，b2，1.答案：C3用反证法证明命题“如果a”时，假设的内容应是()A. B D或，应假设的内容为或a BacbCcb
2、a Dacb解析：cb(a2)20，cb.由题中两式相减，得ba21，baa2a120，ba，cba.答案：A5已知abc0，Aa2ab2bc2c，Babcbcacab，则A与B的大小关系是()AAB BAbc0，A0，B0.aabaacbbcbbaccaccbabacbc.ab0，1，ab0.ab1.同理bc1，ac1.1，AB.答案：A6若0xy1，则()A3y3x Blogx3logy3Clog4 xlog4 y Dxy解析：y3x在R上是增函数，且0xy1，3x3y，故A错误ylog3 x在(0，)上是增函数且0xy1，log3 xlog3 y，logx3logy3，故B错误ylog4
3、 x在(0，)上是增函数且0xy1，log4 xlog4 y，故C正确yx在R上是减函数，且0xyy，故D错误答案：C7设a、b、cR，且a、b、c不全相等，则不等式a3b3c33abc成立的一个充要条件是()Aa，b，c全为正数 Ba，b，c全为非负实数Cabc0 Dabc0解析：a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abacbc)(abc)(ab)2(bc)2(ac)2，而a、b、c不全相等(ab)2(bc)2(ac)20.a3b3c33abc0abc0.答案：C8若实数a，b满足ab2，则3a3b的最小值是()A18 B6C2 D2解析：3a3b22236(当且仅当ab1时，等号成
4、立)答案：B9要使成立，a，b应满足的条件是()AabbBab0且abCab0且a0且ab或ab0且ab解析：ab33ab 0时，有，即ba.当ab，即ba.答案：D10已知a，b，c，d都是实数，且a2b21，c2d21.则acbd的范围为()A1,1 B1,2)C(1,3 D(1,2解析：因为a，b，c，d都是实数，所以|acbd|ac|bd|1.所以1acbd1.答案：A11在ABC中，A，B，C分别为a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则B适合的条件是()A0B B0BC0B DB解析：b，cos B2，余弦函数在上为减函数，0NPQ BM PNQCM PQN DNPQM解析：
5、，0sin cos ，|sin |(|sin |sin |)|sin |M，排除A、B、C，故选D项答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13设a，b，c，则a，b，c的大小顺序是_解析：ab()，而()282，()282，.ab0，即ab.同理可得bc.abc.答案：abc14用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的反设是_解析：三角形的内角中钝角的个数可以为0个，1个，最多只有一个即为0个或1个，其对立面是“至少两个”答案：三角形中至少有两个内角是钝角15已知a，b，c，d都为正数，且S，则S的取值范围是_解析：由放缩法，得；.以上
6、四个不等式相加，得1S0，a，bR，求证：2.证明：因为m0，所以1m0.所以要证2，即证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20.而(ab)20显然成立，故2.19(12分)已知ab0，试比较与的大小解析：ab0，0，0.又11，.20(12分)若0a2,0b2,0c1，(2b)c1，(2c)a1那么1，同理1，1，由得33，上式显然是错误的，该假设不成立，(2a)b，(2b)c，(2c)a不能同时大于1.21(13分)求证：2(1)12()，kN，12(1)()()2(1)又2()，kN，112(1)()()12(1)212.故原不等式成立22(13
7、分)已知数列an的前n项和Sn2n22n，数列bn的前n项和Tn2bn.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设cnabn，证明当n3时，cn1cn.解析：(1)Sn2n22n，当n2时，Sn12(n1)22(n1)，anSnSn14n(n2)当n1时，S14，符合上式数列an的通项公式为an4n.又Tn2bn，当n2时，Tn12bn1，bnTnTn12bnbn12，即2bnbn1.而T1b12b1，b11.数列bn的通项公式为bn1n1n1.(2)证明：由(1)，知cn(4n)2n116n2n1，cn116(n1)2n.2.当n3时，1，()21，又由cnabn可知，cn1和cn均大于0，cn1cn.