1、考纲要求考纲研读空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.本节知识是代数化方法研究几何问题的基础，向量运算分为向量法与坐标法两类，以通过向量运算推理，去研究几何元素的位置关系为重点.第6讲空间坐标系与空间向量1空间向量的概念在空间，既有大小又有方向的量，叫做_，记作 a 或2空间向量的运算(3)数乘向量：a(R)仍是一个向量，且a 与 a 共线，|a|a|.(4)数量积：ab|a|b|cosa，b，ab 是一个
2、实数空间向量3空间向量的运算律(1)交换律：abba；abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)；(a)b(ab)(R)注意:(ab)ca(bc)一般不成立(3)分配律：(ab)ab(R)；a(bc)abac.4空间向量的坐标运算(x1x2，y1y2，z1z2)a_；ab_；cosa，b_.(3)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，(4)对于非零向量 a 与 b，设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么有ababx1x2，y1y2，z1z2；abab0 x1x2y1y2z1z20.(x1，y1，z1)x1x2y1y2z1z21已知向量 a(1,1,0)，b(1
3、,0,2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 值是()DA11B.53C.5D.752已知向量 a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，)则下列结论正确的是(Aab，bcCac，abBab，acD以上都不对3设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O 球面上有两个点 A，B 的坐标分别为 A(1,2,2)，B(2，2,1)，则|AB|()A18B12CC4(2010 年广东)若向量 a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则 x_.25在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距
4、离相等，则M的坐标是_(0，1,0)考点1向量的线性运算图 1361解题思路：利用三角形法则转化(1)本题结合图形特点运用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量(2)向量的线性运算有一个常用的结论：如果点B 是线段AC【互动探究】图 1362考点2向量的坐标运算例2：已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1 的中点，建立适当的坐标系，求平面 AMN 的法向量解题思路：在平面AMN内找两个相交向量分别与法向量垂直解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图D28.图D28【互动探究】2已知点 A(1,0,
5、0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面 ABC 的法向量可以是()D考点3 用向量证明平行与垂直问题例3：如图 1363，已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且 ABAA1，D，E，F 分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面 ABC；(2)B1F平面AEF.图 1363解题思路：未引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，引入空间向量可降低思维难度，使解题变得程序化，但学生时常用传统方法把问题复杂化导致解题困难故DE平面 ABC.图 1364【互动探究】3正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为正方形 ABCD 的中心，求证
6、：D1O平面A1BC1.图 D31 证明：如图D31，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 设正方体棱长为2a则A1(2a,0,2a)，B(2a,2a,0)，C1(0,2a,2a)，D1(0,0,2a)，O(a，a,0)考点4 用向量处理相关计算例4：如图 1366，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CPm.在线段 A1C1上是否存在一个定点 Q，使得对任意的 m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP，并证明你的结论图 1366图 1367解题思路：利用向量转化几何关系用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几
7、何中的“形”到“形”的推理方法【互动探究】4如图 1365，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边的中点，N 为 BC 的中点(1)证明：直线 MN平面 OCD；(2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小.图 1365解法一：(传统方法)(1)如图D29，取OB 中点E，连接ME，NE.MEAB，ABCD，MECD.又NEOC，平面 MNE平面 OCD.MN平面 OCD.图D29(2)CDAB，MDC 为异面直线AB 与MD 所成的角(或其补角)作APCD 于P，连接MP.OA平面ABCD，CDMP.图 D301运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，计
8、算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论如利用两个向量(非零)数量积为零，可证明空间直线垂直；利用数量积可计算两异面直线的夹角，可求线段的长度；运用共面向量定理可证点共面、线面平行等；利用向量的射影、平面的法向量，可求点面距、线面角、异面直线所成的角等2.在近年高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载体，命题呈现一题两法的新格局一直以来立体几何解答题都是让广大考生又喜又忧为之而喜是因为只要能建立直角坐标系，基本上可以处理立体几何绝大多数的问题；为之而忧就是对于不规则的图形来讲建系的难度较大，问题不能得到很好的解决.2011 年广东的立体几何问题建系就存在着这样的问题，很多考生由于建系问题导致立体几何的完成情况不是很好，而利用传统的方法来做这道题相当于口算题.对理科考生而言，选择传统方法，还是利用空间向量解题是最艰难的，比较容易建系的就用空间向量(有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与证明
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