1、第十章 复数101复数及其几何意义101.1复数的概念课程目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学知识体系内部的矛盾(数的运算规则、求方程的根)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件知识点一复数的概念及分类填一填(1)复数的概念为了使得方程x21有解，人们规定i的平方等于1，即i21，并称i为虚数单位当a与b都是实数时，称abi为复数，复数一般用小写字母z表示，即zabi(a，bR)其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)a，Im(z)b.(2)复数的分类所有复数组成的集合称为复数集，
2、复数集通常用大写字母C表示，因此Cz|zabi，a，bR任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数答一答1复数集与实数集的关系是怎样的？与已学过的有关数集的关系是怎样的？提示：实数集R是复数集C的真子集，即RC.至此，我们学过的有关数集的关系如下：复数zabi(a，bR)知识点二复数相等填一填两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1z2.如果a，b，c，d都是实数，那么abicdiac且bd.特别地，当a，b都是实数时，abi0的充要条件是a0且b0.答一答2怎样理解两复
3、数相等的概念？提示：(1)两个实数可以比较大小，但两个不全是实数的复数就不能比较大小，只能说相等或不相等如2i和3i,2和i之间就无大小可言(2)虚数不能比较大小，有大小关系的两个数一定是实数两个不全为实数的复数不能比较大小(1)根据复数abi与cdi相等的定义可知，在ac，bd两式中，只要有一个不成立，那么就有abicdi.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的(3)实数之间的“”(小于)关系，具有以下性质：若ab，bc，则ac；若ab，则对任意实数c，满足acbc；若a0，则acb，则aibi.分析本题考查复数的基本概念和基本性质解(1)错误当且仅当zR时，z20成
4、立若zi，则z210，则z1z2.(3)任意两个复数都不能比较大小解析：(1)复数i11i，虚部为1.正确(2)若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小错误(3)若两个复数都是实数，可以比较大小，错误类型二复数的分类例2已知复数z(a25a6)i(aR)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数分析根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的a的值解(1)当z为实数时，当a6时，z为实数(2)当z为虚数时，当a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z为虚数(3)当z为纯虚数时，不存在实数a，使得z为纯虚数本题除要熟悉复数的实
5、部、虚部的概念及复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件外，还要注意“分式分母不为零”这个隐含条件.变式训练2实数m取什么值时，复数(m25m6)(m23m)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零解：设z(m25m6)(m23m)i.(1)要使z为实数，必须有m23m0，得m0或m3，即m0或m3时，z为实数(2)要使z为虚数，必须有m23m0，即m0且m3.故m0且m3时，z为虚数(3)要使z为纯虚数，必须有m2.m2时，z为纯虚数(4)要使z0时，依复数相等的充要条件有：m3，当m3时，复数z为零类型三复数相等的应用例3(1)已知x2y22xyi2i，求实数x、y的值(2)关于x的
6、方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值分析(1)复数abicdi的充要条件是什么？()(2)利用复数相等解题的前提是什么？(a，b，c，dR)解(1)x2y22xyi2i，解得或(2)设方程的实数根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，解得a11或a.1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等2在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR.忽略条件后，不能成立因此在解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决变式训练3已知关于x的方程x2(2i1)x3mi0有实数根，求实数m的值解
7、：设方程的实根为x0，则x(2i1)x03mi0，因为x0、mR，所以方程变形为(xx03m)(2x01)i0，由复数相等得解得故m.1复数1i的虚部是(B)A1 B1Ci Di解析：分清复数的实部、虚部是解题的关键2若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值为(A)A1 B1C1 D以上全不对解析：由题意得x1.3复数(2x25x2)(x2x2)i为虚数，则实数x满足(D)Ax Bx2或xCx2 Dx1且x2解析：由题意得x2x20，解得x1且x2.4已知z1m23mmi，z24(5m4)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1z2，则m的值为1.解析：由题意得m23mmi4(5m4)i，从而解得m1.