1、平面向量的概念及线性运算自主梳理1向量的有关概念(1)向量的定义：既有_大小_又有_方向_的量叫做向量平面向量是自由向量（2）表示方法： 用 有向线段 来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 用字母a，b，或用，表示(3)模：向量的_长度_叫向量的模，记作_ |a|_或_向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是_任
2、意的_(5)单位向量：长度为_1个_单位长度的向量叫做单位向量与a平行的单位向量e_.(6)平行向量：方向_相同_或_相反_的_非零_向量；平行向量又叫_共线向量_，任一组平行向量都可以移到同一直线上规定：0与任一向量_平行_向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. (7)相等向量：长度_相等_且方向_相同_的向量2向量的加法运算及其几何意义（1）已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的 和 ，记作 ab ，即 ab =+= ，这种求向量和的方法叫做向
3、量加法的 三角形法则 .（2）以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则 . (3)加法运算律ab_ ba _ (交换律)；(ab)c_a(bc)_(结合律)3向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a_长度相等_、_方向相反_的向量，叫做a的相反向量，记作_a _(2)向量的减法 定义aba_(b)_，即减去一个向量相当于加上这个向量的_相反向量_ 图，a，b，则 ab ，_ ab _.4向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数与向量a的积是一个向量，记作_a _，它的长度与方向规定如
4、下：|a|_|a| _；当0时，a与a的方向_相同_；当|b|，则ab；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(7)任一向量与它的相反向量不相等.解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(
5、6)正确. 对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意平行移动的. (7)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.二向量的线性运算例2在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解()ab；()()ab.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.变式训练(1)在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，
6、设a，b，试用a，b表示.解 .又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.(2)如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知a，b，c，试用a、b、c表示，.变式迁移2 解 题型三共线向量问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线. (1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.
7、a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线.变式训练(1) 设两个非零向量e1和e2不共线如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值（1）证明e1e2，3e12e2，8e12e2，e1e23e12e24e1e2（8e12e2) 与共
8、线又与有公共点C，A、C、D三点共线（2）（e1e2)（2e13e2) 3e12e2，A、C、D三点共线，与共线从而存在实数使得即3e12e2(2e1ke2)由平面向量的基本定理得解之，得k的值为.（2）如图所示，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值. 解:()()，又，即，. (3)如图所示，平行四边形ABCD中，b，a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线.证明 在ABD中.因为a, b，所以ba.由共线向量定理知：，又与有公共点C，M、N、C三
9、点共线(4)设，不共线，点P在AB上，求证：且1，R.证明：P在AB上，与共线t.t()tt(1t)t.设1t，t，则且1，R.用方程思想解决平面向量的线性运算问题如图所示，在ABO中， ，AD与BC相交于点M，设a， b.试用a和b表示向量.解设manb，则manba(m1)anb.ab.又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t，使得t，即(m1)anbt.(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线.存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.变式训练4综合问题如图，OMAB，点P在由射
10、线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且xy，则x的取值范围是_；当x时，y的取值范围是_解析：由题意得：ab (a，bR，0b0)a()b(b).由a0，求得x(，0)又由xy，则有0xy1，当x时，有0y1，求得：y.答案：(，0)变式训练5如图,平面内有三个向量 其中的夹角为1200, 的夹角为300, 且 则 的值是_6_. 在ABC中, O是ABC的重心.A,B, C的对边分别为a,b,c,若求证ABC是等边三角形.平面向量的概念及线性运算练习一一、选择题1若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 ()A.B.C. D. 2. 已知O是ABC所在
11、平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A. B.2C.3 D.23如图，正六边形 ABCDEF中，()A0 BC D4. 设P是ABC所在平面内的一点，2，则()AP、A、B三点共线 BP、A、C三点共线CP、B、C三点共线 D以上均不正确5已知向量a，b不共线，ckab (kR)，dab.如果cd，那么()A.k1且c与d同向 B.k1且c与d反向 C.k1且c与d同向 D.k1且c与d反向6.在ABC中，已知D是AB边上一点，2，则等于（ ）A.B.C D7. 在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点， ，则的值为()A. B. C. D18在四边形ABCD中，且0，则四边形A
12、BCD是()A矩形B菱形C直角梯形 D等腰梯形9如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，则 向量ab可表示为 () A3e2e1 B2e14e2 Ce13e2 D3e1e210已知向量p，其中a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是 ()A0，B0,1 C(0,2 D0,211化简：(1)_；(2)_；(3)()()_.12已知在平面上不共线的四点O、A、B、C，若320，则_2_.13.下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_.14.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_2_.15
13、已知|a|3，|b|5，且ab，则实数的值是_ _解析：ab，a与b共线，.16已知a，b是不共线的向量，若1ab，a2b(1，2R)，则A、B、C三点共线的充要条件为_解析：A、B、C三点共线12110121.17已知|a|6，|b|8，且|ab|ab|，则|ab|_10_.18已知3x4ya,2x3yb，其中a，b为已知向量，则向量x_，y_.答案：abab19设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线(2) 试判断A、C、D三点是否共线，并说明理由(3)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)ab，2a8b， 3(ab)，2a8b3(ab)
14、，2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解：A、C、D三点不共线ab，BC2a8b，ab2a8b3a9b.而3a3b，假设存在R，使得，即3a9b3a3b.则显然满足上述条件的实数不存在，故A、C、D三点不共线(3)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1.20设两个非零向量e1和e2不共线如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e
15、12e2(2e1ke2)，得解得，k.平面向量的概念及线性运算练习二1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 (为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.42平面向量a，b共线的充要条件是 ()Aa，b方向相同 Ba，b两向量中至少有一个为0C存在R，使ba D存在不全为零的实数1，2，使1a2b0解析：a，b共线时，a，b方向相同或相反，故A错a，b共线时，a，b不一定是零向量，故B错当ba时，a，b一定共线，若b0，a0，则ba不成立，故C错排除A、B、C.3下列命题是
16、假命题的是()A对于两个非零向量a、b，若存在一个实数k满足akb，则a、b共线B若ab，则|a|b| C若a、b为两个非零向量，则|ab|ab|D若a、b为两个方向相同的向量，则|ab|a|b|4设a，b是任意的两个向量，R，给出下面四个结论：若a与b共线，则ba；若ba，则a与b共线；若ab，则a与b共线；当b0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数1，使得a1b.其中正确的结论有 ()ABCD5已知点O，N在ABC所在平面内，且|，0，则点O，N依次是ABC的()A重心外心 B重心内心 C外心重心 D外心内心解析：由|知，O为ABC的外心；0，知，N为ABC的重心答案：C6已知ABC
17、中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若 (0)， (0)，则的最小值是()A9 B. C5 D.解析：由题意得，2，又D、E、F在同一条直线上，可得1.所以()()2，当且仅当2时取等号答案：D7.已知ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ，则点P与ABC的关系为 () AP在ABC内部 BP在ABC外部 CP在AB边所在直线上 DP是AC边的一个三等分点解析：，22，P是AC边的一个三等分点8O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心 B垂心 C内心 D重心9.已知P是ABC所在
18、平面内的一点，若，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部B.AC边所在直线上C. AB边所在直线上D.BC边所在直线上10.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心解：由条件得，因与都是单位向量，故点P在BAC的平分线上，所以点P的轨迹通过ABC的内心选B.11在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则 ()A.ab B.ab C.ab D.ab解析：aa(ba)ab.故选D.12.设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2
19、b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_1_.13.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是_(将正确的序号填在横线上).2a3b4e，且a2b3e； 存在相异实数、，使ab0；xayb0(实数x，y满足xy0)；若四边形ABCD是梯形，则与共线.14.已知a，b，则_.aba(ba)ab.15.如图，以向量a，b为边作OADB，用a、b表示、.解ab， ab，ab.又ab，(ab).ababab.即ab，ab， ab.16.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？解设a，tb，(ab)，a
20、b，tba.要使A、B、C三点共线，只需.即abtba.有当t时，三向量终点在同一直线上.平面向量的概念及线性运算练习三1若ABC满足|，则ABC的形状必定为()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形2.命题p：a与b是方向相同的非零向量，命题q: a与b是两平行向量，则命题p是命题q的()A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件3在ABC所在平面上有一点P，满足，则PBC与ABC的面积之比是()A. B. C. D.4设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的
21、点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是()AC可能是线段AB的中点 BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上 DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，0，不可能成立因此选项A不正确，同理B也不正确若C，D同时在线段AB上，由，知01,01，此时2，与已知2矛盾，因此选项C不正确若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，1，时，1，此时2，与已知2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上5.设a，b是两个不共线的非零向量，若8akb与ka2
22、b共线，则实数k_4_.解析：因为8akb与ka2b共线，所以存在实数，使8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k4.6如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、(不包括边界)若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足a_0，b_0(用“”，“”或“”填空)解析：由于点P落在第部分，且ab，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a0，b0.答案：7设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_(4，2)_解析：设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，
23、或者x4，y2，即a(4，2)8.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200_100_9.如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.10.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_.解析方法一若M与B重合，N与C重合，则mn2.方法二 2mn，.O、M、N共线，1. mn2.11. 已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_2_.12如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.作D
24、FAB交AB的延长线于F，设ABAC1BCDE，DEB60，BD.由DBF45，得DFBF，所以，所以（）.14ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，m()，则实数m_.解析：如图所示，连接BO，并延长交圆O于点D，连接CH，CD，AD，则BCDBAD90，CDBC，ADAB.又H为ABC的垂心，AHBC，CHAB.CDAH，ADHC.四边形AHCD为平行四边形.O为BD的中点，.m1.故填1.15设O是ABC内部一点，且2，则AOB与AOC的面积之比为_三、解答题16如图，在ABC中，BN与CM交于P点，且a，b.用a，b表示.解析：由题意知：a，b，ba，ab.设，则ba，ab，b(ba)ab ，a(ab)ab而，abab而a，b不共线且.因此ab.17已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3.(1)解2，又2，0.(2)证明显然(ab).因为G是ABO的重心，所以(ab).由P、G、Q三点共线，得，所以，有且只有一个实数，使.而(ab)maab，nb(ab)ab，所以ab.又因为a、b不共线，所以，消去，整理得3mnmn，故3.