1、2.1.2 曲线与方程三维目标 1.知识与技能(1)理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系； (2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；(3)学会根据已有的资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；(4)强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法2过程与方法(1)通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；(2)在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；(3)在构建曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力、知识迁移能力、合情推理能力，同时强化“形”与“数”结合并相互
2、转化的思想方法3情感、态度与价值观(1)通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；(2)通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质重点难点重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念难点： 曲线与方程的对应关系教学建议 “曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响从知识上说，曲线与方程的概念对后面所学的求出曲线的方程的准确性来说是很关键的，它在下节课中起到基础性的作用，不仅是本节的重点概念，也是高中学生较难以理解的一个概念从能力上说，通过本节的学习，提高学生对概念的理解能力，对培养学生观察问题、
3、分析问题、解决问题的能力有重要作用，是培养高二学生的观察分析能力和逻辑思维能力的重要训练内容“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念是本节的重点，本节课是由几个实例上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延，也就是曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系的理解透彻问题因此可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而促使学生对概念表述的严密性进行探索，加强认识曲线与方程的对应关系，从而突破难点教学流程课标解读1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程(重点)2理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应
4、关系(难点)【问题导思】1在平面直角坐标系中，平分一、三象限的直线与方程xy0有什么关系？【提示】直线上任一点M(x0，y0)，则x0y0，即点M(x0，y0)是方程xy0的解；如果(x0，y0)是xy0的解，那么以(x0，y0)为坐标的点都在直线上2以(a，b)为圆心，r为半径的圆和方程(xa)2(yb)2r2有什么关系？【提示】圆上的任一点M(x0，y0)的坐标是方程(xa)2(yb)2r2的解；反之，若(x0，y0)是方程(xa)2(yb)2r2的解，则以(x0，y0)为坐标的点在圆上一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲
5、线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线求曲线方程的步骤对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解例题1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程xy0之间的关系【思路探究】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都
6、在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足xy0，反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上，因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是xy0.规律方法1分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义2定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f(x，y)0
7、；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化变式训练判断下列命题是否正确，并说明原因(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为yx；(2)已知A、B两点的坐标分别为(1,0)和(1,0)，则满足ACB90的动点C的轨迹方程为x2y21.【解】(1)不正确因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹是两条直线，即l1：yx和l2：yx.直线l1上的点的坐标都是方程yx的解，而直线l2上的点(除原点外)的坐标都不是方程yx的解这显然与曲线和方程关系中的条件(1)，即“曲线上点的
8、坐标都是方程的解”不相符(2)不正确根据题意可知，动点C的轨迹是以线段AB为直径的圆(但要除去A，B两点)，因此，尽管动点C的坐标都满足方程x2y21，但以方程x2y21的解为坐标的点不都在动点C的轨迹上由方程研究曲线例题2下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)0；(2)2x2y24x2y30.【思路探究】(1)方程(xy1)0中“xy1”与“”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)我们在研究形如Ax2By2CxDyE0的方程时常采用什么方法？【自主解答】(1)由方程(xy1)0可得或即xy10(x1)或x1.故方程表示一条射线xy10(x1)和一条直线x1.(2)对方程左边配方得2(x1
9、)2(y1)20.2(x1)20，(y1)20，解得从而方程表示的图形是一个点(1，1)规律方法1判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定2方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想变式训练下列方程分别表示什么曲线，为什么？(1)x2xyxy0；(2)(x2)20.【解】(1)原方程化为(xy)(x1)0，xy0或x1.因此，原方程表示xy0和x1两条直线(2)由(x2)20，得或因此，原方程表示两个点(2,2)
10、和(2，2)求曲线方程例题3设ABC的周长为18，|AB|8，求顶点C的轨迹方程【思路探究】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】以线段AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(4,0)，B(4,0)，设C(x，y)曲线的几何特征是|AC|BC|18|AB|10.用两点间的距离公式，列出方程10.化简上式，得9x225y2225.由于点C不能在x轴上，所以y0.故所求顶点C的方程为9x225y2225(y0)规律方法1求曲线方程的一般步骤为：(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4
11、)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点2一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程3没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系变式训练已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MBx轴，B为垂足，则点M属于集合PM|MA|MB|2由距离公式，点M适
12、合的条件可表示为y2.化简得x28y.曲线在x轴上方，y0.显然(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线所求曲线的方程为x28y(y0)忽略题设条件对变量的限制致误典例直线l：yk(x5)(k0)与圆O：x2y216相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程【错解】设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.【错因分析】错解中未注意到点M应在圆内，故所求的轨迹应为圆内部分，应对其加以条件限制【防范措施】由曲线求方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条
13、件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致误【正解】设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)，再由OMMP，得|OP|2|OM|2|MP|2，x2y2(x5)2y225，整理得(x)2y2.点M应在圆内，故所求的轨迹为圆内的部分解方程组得两曲线交点的横坐标为x，故所求轨迹方程为(x)2y2(0x)课堂小结1曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集M|p(M)和方程f(x，y)0的解集为(x，y)|f(x，y)0之间的一一对应关系由曲线与方程的这一对应关系，既可以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质2求曲线方程的一般步骤为：(1)建系设点，(2)写集合(找条件)，(3)列方
14、程，(4)化简，(5)证明(查缺补漏)3求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等.当堂双基1已知圆C：(x2)2(y1)24及直线l：x2y20，则点M(4，1)()A不在圆C上，但在直线l上B在圆C上，但不在直线l上C既在圆C上，也在直线l上D既不在圆C上，也不在直线l上【解析】把M(4，1)代入圆、直线方程时，均使方程成立，故点M既在圆C上，也在直线l上【答案】C2方程(x2)2(y2)20表示的图形是()A圆B两条直线C一个点 D两个点【解析】由(x2)2(y2)
15、20得x2，y2，故方程表示点(2，2)【答案】C3动点P到点(1，2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为_【解析】由题意P的轨迹是以(1，2)为圆心，以3的长为半径的圆，其方程应为(x1)2(y2)29.【答案】(x1)2(y2)294观察下表中的方程与曲线，判断它们有怎样的关系：序号方程曲线yxxx2y21【解】已知曲线只是方程所表示曲线的一部分；方程所表示的曲线是已知曲线的一部分；方程与曲线相对应.课后检测一、选择题1曲线x2xyy23x4y40与x轴的交点坐标是()A(4,0)和(1,0)B(4,0)和(2,0)C(4,0)和(1,0) D(4,0)和(2,0)【解析】在曲线x2xyy2
16、3x4y40中，令y0，则x23x40，x1或x4.交点坐标为(1,0)和(4,0)【答案】A2(2013蒙阴高二期末)方程(x24)(y24)0表示的图形是()A两条直线 B四条直线C两个点 D四个点【解析】由(x24)(y24)0得(x2)(x2)(y2)(y2)0，所以x20或x20或y20或y20，表示四条直线【答案】B3(2013吉林高二检测)方程x|y1|0表示的曲线是()【解析】x|y1|0，x0，应选B.【答案】B4到A(2，3)和B(4，1)的距离相等的点的轨迹方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10【解析】与A、B两点距离相等的点在AB的垂直平分线上，即： k
17、1且过AB的中点(3，2)，轨迹方程为y2(x3)，即xy10.【答案】C5如图所示，图形与方程对应正确的是()【解析】A项不正确，因为x2y21表示以原点为圆心，半径为1的圆，以方程x2y21的解为坐标的点不都是曲线上的点，如(，)适合方程x2y21，但不在所给的曲线上；B项不正确，理由同上，如点(1,1)适合x2y20，但不在所给的曲线上；C项不正确，因为曲线上的点的坐标不都是方程lg xlg y1的解；D项正确【答案】D二、填空题6“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是“方程f(x，y)0是曲线C的方程”的_条件【解析】“方程f(x，y)0是曲线C的方程”“曲线C上的点的坐标
18、都是方程f(x，y)0的解”，反之不成立【答案】必要不充分7方程(xy1)0表示的几何图形是_【解析】由方程得或x30，即xy10(x3)或x3.【答案】一条射线和一条直线8已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于_【解析】设动点P(x，y)，依题意|PA|2|PB|，2，化简得(x2)2y24，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S 224.【答案】4三、解答题9(2013福州高二检测)已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(，m)在此方程表示的曲线上，求m的值【
19、解】(1)12(21)210，()2(31)210，点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，而点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)若点M(，m)在方程x2(y1)210所表示的曲线上，则()2(m1)210，解之得m2或m.10在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PMy轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且4，求动点P的轨迹方程【解】由已知得M(0，y)，N(x，y)，(x，2y)，(x，y)(x，2y)x22y2，依题意知，x22y24，因此动点P的轨迹方程为x22y24.11过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y
20、轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程【解】法一设点M的坐标为(x，y)，M为线段AB的中点，A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)l1l2，且l1、l2过点P(2,4)，PAPB，即kPAkPB1，而kPA(x1)，kPB，1(x1)，整理，得x2y50(x1)当x1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.法二设点M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.l1l2，2|PM|AB|.而|PM|，|AB|，2，化简，得x2y50，即为所求的点M的轨迹方程.备选例题当k为何值时，曲线xyy(k5)x20和直线xyk0的交点在第一象限？【自主解答】由得x24x2k0.若曲线的交点落在第一象限，则应满足解得2k.当2k时，两曲线的交点在第一象限备选变式已知曲线C：yx2mx1，点A(3,0)，B(0,3)，求曲线C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围【解】线段AB所在的直线方程为xy30(0x3)联立消去y，得x2(m1)x40.令f(x)x2(m1)x4，则f(x)0在0,3内有两个不同实数根的充要条件是解得3m.故所求m的取值范围是3m.