1、第五章 第五节 数列的综合问题一、选择题1根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn(21nn25)(n1,2，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A5、6月B6、7月C7、8月 D8、9月解析：由Sn解出an(n215n9)，再解不等式(n215n9)1.5，得6n9.答案：C2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a100a101，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A100 B101C200 D201解析：a100a101且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，a100a1011，S20
2、0100(a1a200)1001100.答案：A3在数列an中，对任意nN*，都有k(k为常数)，则称an为“等差比数列”下面对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是等差比数列；等比数列一定是等差比数列；通项公式为anabnc(a0，b0,1)的数列一定是等差比数列其中正确的判断为()A BC D解析：若k0时，则an2an10，因为an2an1可能为分母，故无意义，故k不可能为0，正确；若等差、等比数列为常数列，则错误由定义知正确答案：D4(2011天津高考)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B
3、90C90 D110解析：因为a7是a3与a9的等比中项，所以aa3a9，又因为公差为2，所以(a112)2(a14)(a116)，解得a120，通项公式为an20(n1)(2)222n，所以S105(202)110.答案：D5已知x1，y1，且lnx，lny成等比数列，则xy()A有最大值e B有最小值eC有最大值 D有最小值解析：lnx，lny成等比数列，lnxlny，x1，y1，lnx0，lny0.lnxlny21(当且仅当lnxlny时等号成立)，即lnxlnylnxy的最小值为1，故xy的最小值为e.答案：B6已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的
4、两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D64解析：依题意有anan12n，所以an1an22n1，两式相除得2，所以a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，也成等比数列，而a11，a22，所以a1022432，a1112532，又因为anan1bn，所以b10a10a1164.答案：D二、填空题7(2012台州模拟)若数列an满足d(nN*，d为常数)，则称数列an为调和数列记数列为调和数列，且x1x2x20200，则x5x16_.解析：由题意知，d，即xn1xnd，xn是等差数列，又x1x2x20200，所以x5x16x1x2020.答案：208(2011江苏高考)设1a1
5、a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析：设a2t，则1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案：9已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12.则数列的通项公式为an_.解析：令x2，y2n1，则f(xy)f(2n)2f(2n1)2n1f(2)，即f(2n)2f(2n1)2n1a1，即an2an12n，1，所以数列为等差数列，由此可得ann2n.答案：n2n三、解答题10已知函数f(x)ax
6、的图象过点(1，)，且点(n1，)(nN*)在函数f(x)ax的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)令bnan1an，若数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn5.解：(1)函数f(x)ax的图象过点(1，)，a，f(x)()x.又点(n1，)(nN*)在函数f(x)ax的图象上，从而，即an.(2)由bn得，Sn，则Sn，两式相减得：Sn2()，Sn5，Sn5.11(2011湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表
7、达式；(2)设An，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新证明：须在第9年初对M更新解：(1)当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，an12010(n1)13010n；当n7时，数列an是以a6为首项，公比为的等比数列，又a670，所以an70()n6.因此，第n年初，M的价值an的表达式为an(2)设Sn表示数列an的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n；当n7时，由于S6570，故SnS6(a7a8an)5707041()n6780210()n6，An.因为an是递减数列，所以An是
8、递减数列，又A88280，A97680，所以须在第9年初对M更新12设各项均为正数的等比数列an中，a1a310，a3a540.设bnlog2an.(1)求数列bn的通项公式；(2)若c11，cn1cn，求证：cn3；(3)是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由解：(1)设数列an的公比为q(q0)，由题意有，a1q2，an2n，bnn.(2)c113，cn1cn，当n2时，cn(cncn1)(cn1cn2)(c2c1)c11，cn.相减整理得：cn1133，故cn3.(3)令f(n)f(n1)f(n)0，f(n1)f(n)数列f(n)单调递增，f(n)minf(1).由不等式恒成立得：，k5.故存在正整数k，使不等式恒成立，k的最大值为4.高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u