1、课时作业(十三)第 13 讲 导数及其运算时间：45 分钟 分值：100 分基础热身1若 f(xh)f(x)2hx25h2x3h3，则 f(x)_.2若曲线运动方程为 S1tt2 2t2，则 t2 时的速度为_3下列结论：若 ycosx，则 ysinx；若 y x，则 y x2；若 f(x)1x2，则 f(3)227；若 yex，则 yy.其中正确的有_个4曲线 yx32x4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为_能力提升5如图 K131，函数 yf(x)在 A、B 两点间的平均变化率是_图 K1316f(x)x，则 f(8)等于_72012泰州调研 设函数 f(x)x2lnx，若曲线 yf(x)
2、在点(1，f(1)处的切线方程为yaxb，则 ab_.8某物体运动规律是 St24t5，则在 t_时的瞬时速度为 0.92012湛江模拟 函数 yf(x)的图象过原点，且它的导函数 yf(x)的图象是如图K132 所示的一条直线，则 yf(x)图象的顶点在第_象限图 K132102012南京二模 若直线 ykx3 与曲线 y2lnx 相切，则实数 k_.112011全国卷改编 曲线 ye2x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为_12观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记
3、 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)_.13(8 分)求下列函数的导数：(1)y(2x21)(3x1)；(2)y3xex2xe；(3)y lnxx21.14(8 分)曲线 yx21 上过点 P 的切线与曲线 y2x21 相切，求点 P 的坐标15(12 分)设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形面积为定值，并求此定值16(12 分)已知函数 f(x)13x32x23x(xR)的图象为曲线 C.(1)求过曲线 C 上任意一
4、点的切线斜率的取值范围；(2)试问：是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由课时作业(十三)【基础热身】12x2 解析 由 f(xh)f(x)2hx25h2x3h3，得fxhfxh2x25hx3h2，当h 无限趋近于 0 时，得 f(x)2x2.28 解析 S(t)2t31t24t，t2 时的速度 S(2)8.33 解析 由公式得正确，而由幂函数导数公式得：若 y x，则 y 12 x.445 解析 y3x22，y|x11，则 tan1，故倾斜角为 45.【能力提升】51 解析 f(1)3，f(3)1，因此f3f1311.6.28
5、解析 f(x)x12，f(x)12x12 12 x，f(8)12 8 28.71 解析 由题知，f(1)12ln11.又因为切点在切线上，于是有 ab1.82 解析 由导数的物理背景得 vS(t)2t40t2.9一 解析 由图象得 yf(x)是一次函数，所以 yf(x)是二次函数又 f(x)的图象过原点，所以可设：f(x)ax2bx，f(x)2axb.结合 f(x)的图象可知，a0，b2a0，4acb24ab24a0，即顶点 b2a，4acb24a在第一象限102 e 解析 设直线与曲线相切于点 P(x0，y0)，由题意得：y0kx03，y02lnx0，k2x0，解得 y01，x0 1e，k2
6、 e.11.13 解析 函数 ye2x1 的导数为 y2e2x，则 y|x02，曲线 ye2x1 在点(0,2)处的切线方程是 2xy20，直线 yx 与直线 2xy20 的交点为23，23，直线 y0 与直线 2xy20 的交点为(1,0)，三角形的面积为1212313.12g(x)解析 由给出的例子可以归纳推理得出：若函数 f(x)是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x)，即函数 f(x)是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有 g(x)g(x)13解答(1)解法一：y(2x21)(3x1)6x32x23x1，y(6x32x23x1)(6x3)
7、(2x2)(3x)18x24x3.解法二：y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)4x(3x1)3(2x21)12x24x6x2318x24x3.(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xln3ex3xex2xln23xexln3e2xln2.(3)ylnxx21lnxx21x2121xx21lnx2xx212x212lnx1xx212.14解答 方法一：设 P(x0，y0)，由题意知曲线 yx21 在 P 点的切线斜率为 k2x0，切线方程为 y2x0 x1x20，而此直线与曲线 y2x21 相切，切线与曲线只有一个交点，即方程 2x22x0 x2x200 的判
8、别式 4x2024(2x20)0，解得 x023 3，y073.P 点的坐标为23 3，73 或23 3，73.方法二：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)分别为切线与曲线 yx21 和 y2x21 的切点则y1x211，y22x221，k切2x1，k切4x2，k切y1y2x1x2，x212x222x1x22x14x2，x212x222x1x22x1，x12x2，消去 x1，得 x2 33，则 x12 33，则 P 点的坐标为23 3，73 或23 3，73.15解答(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得
9、a1，b3，故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2，知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为 yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0；令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形面积为定值，此定值为 6.16解答(1)f(x)x24x3(x2)211，即过曲线
10、C 上任意一点的切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线 C 上存在过点 A(x1，y1)的切线与曲线 C 同时切于两点，另一切点为 B(x2，y2)，x1x2，则切线方程是 y13x312x213x1(x214x13)(xx1)，化简，得 y(x214x13)x23x312x21.而过 B(x2，y2)的切线方程是 y(x224x23)x23x322x22，由于两切线是同一直线，则有 x214x13x224x23，得 x1x24.又由23x312x2123x322x22，得23(x1x2)(x21x1x2x22)2(x1x2)(x1x2)0，13(x21x1x2x22)40，x1(x1x2)x22120，即(4x2)4x22120，x224x240，得 x22.但当 x22 时，由 x1x24 得 x12，这与 x1x2 矛盾，所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点