1、立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版第六章 不等式第讲1立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版考点搜索利用基本不等式证明不等式运用重要不等式求最值重要不等式在实际问题中的应用高考猜想在求函数的最值和实际问题中运用重要不等式，选择题、填空题或解答题中均可能作为工具出现.2立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版一、算术平均数与几何平均数定理1.若a0，b0，则称_为两个正数的算术平均数，称_为两个正数的几何平均数.2.如果a、b为实数，那么a2+b22abab_，当且仅当a=b时取“=”号.3.如果a、b为正实数，那么_，当且仅当a=b时取等
2、号.3立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版如果a+b为定值P,那么ab有最_值，为_;如果ab为定值S,那么a+b有最_值,为_.这一结论称为均值定理.其应用的三个条件依次为_、_、_.二、不等式恒成立问题不等式af(x)恒成立，f(x)max存在_，不等式af(x)恒成立，f(x)min存在_.大小一正二定三相等af(x)maxaf(x)mix4立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.若x,yR+,且x+y=s,xy=p,则下列命题中正确的是()A.当且仅当x=y时，s有最小值B.当且仅当x=y时，p有最大值C.当且仅当p为定值时，s有最小值D.若s为
3、定值，则当且仅当x=y时，p有最大值解：由均值不等式易得答案为D.D5立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版2.若x,yR+,x+y4,则下列不等式中成立的是()解：故选B.B6立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版3.设a0，b0，则下列不等式中不成立的是()解法1：由于是选择题，可用特值法，如取a=4,b=1,代入各选项中的不等式,易判断不成立.D7立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解法2：可逐项使用均值不等式判断不等式成立;B.因为相乘得成立;8立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版C.因为又由得所以成立;D.因
4、为，所以所以即不成立,故选D.9立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称物体的重量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量,这种说法对吗?并说明你的理由.解：不对.设左、右臂长分别是l1,l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a,b，真实重量为G.题型1 利用均值不等式比较代数式的大小10立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版则由杠杆平衡原理有：l1G=l2b，l2G=l1a.得G2=ab,所以.由于l1l2，故ab,由均值不等式知说法不对,真实重量是两次称量结果的几
5、何平均值.11立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：本题考查均值不等式,杠杆平衡原理知识及分析问题、解决问题的能力，属跨学科(数学、物理)的创新问题.均值不等式应用的条件是“一正二定三相等”，即两个数都为正数，两个数的和或积是定值，有相等的可取值.12立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版13立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版14立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版15立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解：因为x-1，所以x+10.设x+1=z0，则x=z-1.把x=z-1代入函数式，得当
6、且仅当z=2，即x=1时上式取等号.所以当x=1时，函数y有最小值9，无最大值.题型2 求函数或代数式的最值 2.设x-1，求函数的最值.16立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：这是一类应用均值不等式求分式型函数的值域的题型，此类问题求解中注意变形配凑成两个正数的和式(或积式)，且它们的积(或和)式为定值的形式，然后看能否有相等条件，若有再利用均值不等式得出函数的最值；若没有，则利用函数的单调性求解.17立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版设x0,y0,则的最大值为_.解法1：因为x0,y0,，所以当且仅当 (即)时,取得最大值18立足教育 开创未
7、来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解法2：令则当2cos2=1+2sin2,即,即时，取得最大值.19立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版3.若对任意正实数x、y,不等式恒成立，则a的最小值是.解：若不等式恒成立,则恒成立.所以因为所以当且仅当x=y时取等号.所以a ，故amin=.题型3 用均值不等式求解不等式中 的恒成立问题20立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：求恒成立中的问题的方法比较多，本题利用的是分离变量法：即一边为所求参数a；另一边是其他参数的式子，然后求其式子的最值.从填空题的角度来思考，本题也可以利用对称式的特点取x=y=1
8、，由此猜想a的值.21立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版(2010山东卷)若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_22立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版解：因为对任意x0恒成立，设u=x+3，所以只需a 恒成立即可因为x0，所以u5(当且仅当x=1时取等号)由u5知0 ，故a .23立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版已知a、b、cR,求证：证明：因为所以同理,三式相加得24立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能.2.a2+b22ab成立的条件是a，bR，而成立，则要求a0且b0.使用时，要明确定理成立的前提条件.3.均值不等式有a2+b22ab，a+b 等形式，解题时要根据问题特点适当选用.25
