1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！11.3 导数的几何意义预习课本 P68，思考并完成下列问题(1)导数的几何意义是什么？(2)导函数的概念是什么？怎样求导函数？(3)怎么求过一点的曲线的切线方程？新知初探1导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 xx0 处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 kli mx0fx0 xfx0 xf(x0)2导函数的概念(1)定义：当 x 变化时，f(x)便是 x 的一个函数
2、，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)(2)记法：f(x)或 y，即 f(x)yli mx0fxxfxx.点睛 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)导函数 f(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同()高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()(3)函数 f(x)0 没有导函数()答案：(1)(2)(3)2设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线()A不存在 B与 x
3、 轴平行或重合C与 x 轴垂直D与 x 轴斜交答案：B3已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 2xy20，则 f(1)()A4 B4 C2 D2答案：D4抛物线 y2x 与 x 轴、y 轴都只有一个公共点，在 x 轴和 y 轴这两条直线中，只有_是它的切线，而_不是它的切线答案：y 轴 x 轴求曲线的切线方程典例 已知曲线 C：y13x343，求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程解 将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，切点 P(2,4)y|x2li mx0yxli mx0132x343132343xli mx0 42x13(x)24.ky|x24.曲线在点 P(2
4、,4)处的切线方程为 y44(x2)，即 4xy40.1过曲线上一点求切线方程的三个步骤高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2求过曲线 yf(x)外一点 P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0)(2)利用所设切点求斜率 kf(x0)limx0 fx0 xfx0 x.(3)用(x0，f(x0)，P(x1，y1)表示斜率(4)根据斜率相等求得 x0，然后求得斜率 k.(5)根据点斜式写出切线方程(6)将切线方程化为一般式 活学活用过点(1，1)且与曲线 yx32x 相切的直线方程为()Axy20 或 5x4y10Bxy20Cxy20 或 4x5y1
5、0Dxy20解析：选 A 显然点(1，1)在曲线 yx32x 上，若切点为(1，1)，则由 f(1)limx0 f1xf1xli mx01x321x1xli mx0(x)23x11，切线方程为 y(1)1(x1)，即 xy20.若切点不是(1，1)，设切点为(x0，y0)，则 ky01x01x302x01x01x30 x0 x01x01x20 x01，又由导数的几何意义知kf(x0)li mx0fx0 xfx0 xli mx0 x0 x32x0 xx302x0 x3x202，x20 x013x202，2x20 x010，x01，x012.kx20 x0154，切线方程为 y(1)54(x1)，
6、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！即 5x4y10，故选 A.求切点坐标典例 已知抛物线 y2x21 分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为 45.(2)切线平行于直线 4xy20.(3)切线垂直于直线 x8y30.解 设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0 x)212x 2014x0 x2(x)2，yx4x02x，当 x0 时，yx4x0，即 f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为 45，斜率为 tan 451.即 f(x0)4x01，得 x014，切点的坐标为14，98.(2)抛物线的切线平行于直线 4xy20，k4，即 f(x0)4x0
7、4，得 x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8y30 垂直，则 k18 1，即 k8，故 f(x0)4x08，得 x02，切点坐标为(2,9)求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标 活学活用直线 l：yxa(a0)和曲线 C：yx3x21 相切，则 a 的值为_，切点坐标为_高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！解析：设直线 l 与曲线 C 的切点为(x0，y0)，因为 yli mx0 xx3xx21x3x21x3x2
8、2x，则 y|xx03x202x01，解得 x01 或 x013，当 x01 时，y0 x30 x2011，又(x0，y0)在直线 yxa 上，将 x01，y01 代入得 a0 与已知条件矛盾舍去当 x013时，y013313212327，则切点坐标为13，2327，将13，2327 代入直线 yxa 中得 a3227.答案：3227 13，2327层级一 学业水平达标1下面说法正确的是()A若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则 f(x0)必存在C若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x
9、0)处的切线斜率不存在D若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则 f(x0)有可能存在解析：选 C f(x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于 x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线2曲线 f(x)2x在点 M(1，2)处的切线方程为()Ay2x4 By2x4Cy2x4 Dy2x4解析：选 C yx21x2x21x，所以当 x0 时，f(1)2，即 k2.所以直线方程为 y22(x1)即 y2x4.故选 C.3曲线 y13x32 在点1，53 处切线的倾斜角为()A1 B.4高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！C
10、.54D4解析：选 B yli mx013xx32 13x32xli mx0 x2xx13x2 x2，切线的斜率 ky|x11.切线的倾斜角为4，故应选 B.4曲线 yax2 在点(1，a)处的切线与直线 2xy60 平行，则 a 等于()A1 B.12C12D1解析：选 A y|x1li mx0a1x2a12xli mx02axax2xlimx0(2aax)2a，2a2，a1.5过正弦曲线 ysin x 上的点2，1 的切线与 ysin x 的图象的交点个数为()A0 个B1 个C2 个D无数个解析：选 D 由题意，yf(x)sin x，则 f 2 li mx0sin2x sin 2xli
11、mx0cos x1x.当 x0 时，cos x1，f 2 0.曲线 ysin x 的切线方程为 y1，且与 ysin x 的图象有无数个交点6已知函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 y12x2，则 f(1)f(1)_.解析：由导数的几何意义得 f(1)12，由点 M 在切线上得 f(1)121252，所以 f(1)f(1)3.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！答案：37已知曲线 f(x)x，g(x)1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线 f(x)在交点处的切线方程为_解析：由y xy1x，得x1，y1，两曲线的交点坐标为(1,1)由 f(x)
12、x，得 f(x)li mx01x1xli mx011x112，yf(x)在点(1,1)处的切线方程为 y112(x1)即 x2y10，答案：x2y108曲线 yx23x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为_解析：设 f(x)yx23x，切点坐标为(x0，y0)，f(x0)li mx0 x0 x23x0 xx203x0 xli mx02x0 x3xx2x2x031，故 x02，y0 x203x0462，故切点坐标为(2，2)答案：(2，2)9已知抛物线 yx2，直线 xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解：根据题意可知与直线 xy20 平行的抛物线 yx2 的切线对应的切点到直线 xy20
13、 的距离最短，设切点坐标为(x0，x20)，则 y|xx0li mx0 x0 x2x20 x2x01，所以 x012，所以切点坐标为12，14，切点到直线 xy20 的距离 d1214227 28，所以抛物线上的点到直线 xy20 的最短距离为7 28.10已知直线 l：y4xa 和曲线 C：yx32x23 相切，求 a 的值及切点的坐标解：设直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0，y0)，yxx0 x32x0 x23x302x203x高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(x)2(3x02)x3x204x0.当 x0 时，yx3x204x0，即 f(x0)3x204x
14、0，由导数的几何意义，得 3x204x04，解得 x023或 x02.切点的坐标为23，4927 或(2,3)，当切点为23，4927 时，有4927423 a，a12127，当切点为(2,3)时，有 342a，a5，当 a12127 时，切点为23，4927；a5 时，切点为(2,3)层级二 应试能力达标1.已知 yf(x)的图象如图，则 f(xA)与 f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：选 B 由图可知，曲线在点 A 处的切线的斜率比曲线在点 B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知 f(xA)0，对于任意实数 x，
15、有f(x)0，则 f1f0的最小值为_解析：由导数的定义，得 f(0)li mx0fxf0 xli mx0ax2bxccxli mx0(axb)b.又因为对于任意实数 x，有 f(x)0，则b24ac0，a0，所以 acb24，所以 c0.所以 f1f0abcbb2 acb2bb 2.答案：27已知函数 f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx，若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值解：f(x)li mx0yxli mx0axx21ax21x2ax，f(1)2a，即切线斜率 k12a.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必
16、究！g(x)li mx0 yxli mx0 xx3bxxx3bxx3x2b，g(1)3b，即切线斜率 k23b.在交点(1，c)处有公共切线，2a3b.又a11b，即 ab，故可得a3，b3.8已知曲线 yx21，是否存在实数 a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由解：yxxx21x21x2xx，yli mx0yxli mx0(2xx)2x.设切点为 P(x0，y0)，则切线的斜率为 ky|xx02x0，由点斜式可得所求切线方程为 yy02x0(xx0)又切线过点(1，a)，且 y0 x201，a(x201)2x0(1x0)，即 x202x0a10.切线有两条，(2)24(a1)0，解得 a2.故存在实数 a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(，2)