1、立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版第十二章极限与导数第讲（第二课时）1立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版题型4 利用导数求函数的极值和最值1.求函数的极值.解：2立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版令f(x)=0，则x=-1或x=2.所以当x-1时，f(x)0;当-1x1时，f(x)0;当x1且x2时，f(x)0.因为x=1时函数无意义，根据极值点的特点知x=-1是f(x)的极大值点，即f(x)极大值=f(-1)=-34，且f(x)无极小值.3立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：利用导数求函数的极值的步骤
2、是：求导函数；解方程f(x)=0；判断f(x)在f(x)=0的根x0左右的符号，若左负右正，则此点为极小值点；若左正右负，则此点为极大值点；若左右同号，则非极值点.若是求函数在闭区间上的最值，则先求极值，然后与两端点值进行比较可得最值.4立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版5立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版6立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版7立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版题型5 利用导数转化极值与最值条件2.设a为实常数，已知函数f(x)=(x2+ax+a)e-x有极小值0，求a的值.解：f(x)=(
3、2x+a)e-x+(x2+ax+a)(-e-x)=-e-xx2+(a-2)x.令f(x)=0，则x2+(a-2)x=0，所以x=0或x=2-a.(1)当a=2时，f(x)=-e-xx20，所以f(x)无极值.8立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版(2)当a2时，在(-，0)上，f(x)0;在(0，2-a)上，f(x)0;在(2-a，+)上，f(x)0.所以f(x)极小值=f(0)=a.由已知，a=0.(3)当a2时，在(-，2-a)上，f(x)0;在(2-a，0)上，f(x)0;在(0，+)上，f(x)0.所以f(x)极小值=f(2-a).由已知，f(2-a)=0.所以(2
4、-a)2+a(2-a)+a=0，解得a=4.综上分析，a=0或a=4.9立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版点评：函数有极值的必要条件是：f(x)=0，由此可转化得到相应的等式或方程，再进一步转化为所需要的条件.需要注意的是在此条件下得到的结论要检验一下是否为极值.10立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0.若x=时，y=f(x)有极值.(1)求a,b,c的值；(2)求y=f(x)在-3，1上的最大值和最小值.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f
5、(x)=3x2+2ax+b.当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0;当x=时，y=f(x)有极值，则f()=0,即4a+3b+4=0.11立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,所以f(1)=31+1=4.所以1+a+b+c=4,所以c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,所以f(x)=3x2+4x-4.令f(x)=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的变化情况如下表：12立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版所以y=f(x)在-3，1上的最大值为13，最小值为.x-3(-3,-
6、2)-2(-2，23)(，1)1y+0-0+y813413立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版1.函数的极值是一个局部性概念，它反映出函数在某个局部的最大值和最小值情况.一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，且极大值与极小值之间没有必然的大小关系，即某个极大值可能小于另一个极小值.2.若函数f(x)在区间a，b内连续，且有有限个极值点，则f(x)在这个区间内的极大值点与极小值点是交替出现的(如正弦曲线).14立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版3.可导函数在极值点的导数一定为0，但导数为0的点(称为驻点)不一定是极值点(例如，函数f(x)=x3在
7、x=0处的导数是0，但它不是极值点)，不可导的点可能是极值点(例如，函数f(x)=|x|在x=0处不可导，但它是极小值点)，因此，函数的极值点只能在导数为0的点和不可导的点中产生.15立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版4.函数的最值是一个整体性概念，它反映函数在整个区域(或定义域)内的最大值和最小值情况，函数f(x)有极值未必有最值，反之亦然.极值与最值是两个不同的概念.5.若f(x)在闭区间a，b上连续且单调，则f(x)的最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得；若连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该点也是一个最值点.16立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版6.求可导函数在定义域内的极值的一般步骤是：(1)求f(x)，令f(x)=0，求此方程在定义域内的所有实根.(2)检查f(x)在方程f(x)=0的根左右取值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.17立足教育 开创未来 高中总复习（第一轮）理科数学 全国版7.求可导函数在闭区间上的最值，只要在求极值的基础上，再与区间端点的函数值做出比较就能得出结论.在实际问题中，有时会遇到函数在开区间或无穷区间内只有一个驻点的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么它就是最大(小)值点.18
