1、山西省运城市高中联合体2020届高三数学模拟试题（四）文（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先解不等式确定集合，再由交集定义计算【详解】因为，所以，故选：B.【点睛】本
2、题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键2. 已知中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理求出，即可得出.【详解】因为，由余弦定理可得：，所以；故选：D.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.3. 若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对复数化简得，再由已知可得，从而可求出的值，进而求出其最大值.【详解】解：因为，所以，所以，故选：C.【点睛】此题考查复数的运算，考查相等的复数，属于基础题.4. 已知下图为2020年1月10日到2月21日我国新型冠状肺炎累计确诊人数及现有疑似人数趋势图，则下面
3、结论不正确的是（ ）A. 截至2020年2月21日，我国新型冠状肺炎累计确诊人数已经超过70000人B. 从1月28日到2月3日，现有疑似人数超过累计确诊人数C. 从2020年1月22日到2月21日一个月的时间内，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度一直在增加D. 2月21日与2月9日相比较，现有疑似人数减少超过50%【答案】C【解析】【分析】根据统计图表所给定信息判断各选项【详解】由图表易知A，B正确，从2020年1月22日到2月21日，新型冠状肺炎累计确诊人数上升幅度最大的在2月9日到2月15日之间，C错，2月9日现有疑似人数超过20000人，2月21日现有疑似人数不足10000人，人数减少超
4、过50%，D正确，故选：C【点睛】本题考查统计图表的认识，考查学生的数据处理能力，阅读理解能力，识图能力，属于基础题5. 当变化时，对于双曲线，值不变的是（ ）A. 实轴长B. 虚轴长C. 焦距D. 离心率【答案】D【解析】【分析】根据双曲线方程求出，再计算离心率可得【详解】由题意可得，故选：D.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率，实轴、虚轴、焦距等几何性质，属于基础题6. 已知实数，满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可知其表示的可行域是以为顶点的四边形，由目标函数得，可得其截距最大时，目标函数的值最小，平移直线可得结果.【详解】满足
5、约束条件的可行域是以为顶点的四边形，设，则，作出直线，向上平移，当该直线经过点D时，所以的最小值为，故选：C.【点睛】此题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.7. 函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】研究函数的奇偶性，排除A，探究当时，函数值的变化趋势，又排除一些选项，从而确定正确选项【详解】函数的定义域为，因为，所以是偶函数，排除选项A；当时，考虑到和的变化速度，知时，故排除选项C，D.所以选项B正确.故选：B【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，解题时可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性排除一些选项，再研究函数的特殊
6、值，与坐标轴的交点坐标，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除选项，从而得出正确结论8. 已知长方体的顶点在球的表面上，顶点，在过球心的一个平面上，若，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体，则球就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球的表面积.【详解】把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为1，3，8的长方体，则球就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球的半径满足，所以球的表面积.故选：D.【点睛】本
7、题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，以及球的表面积公式，属于常考题型.9. 关于圆周率，我国古代祖冲之曾用作为约率，作为密率，其中约率与密率提出了用有理数最佳逼近实数的问题，如，惊人精密地接近于圆周率，准确到6位小数，约率与密率可通过用连分数近似表示的方法得到，如：，舍去，得逼近的一个有理数为，类似的，我们可以得，如图是的程序框图，图中可以分别填入（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出每次循环的运行结果即可求解.【详解】第一次执行循环：；第二次执行循环：；第三次执行循，不满足条件，结束循环，故选：A.【点睛】本题考查了循环结果的程序框图，考查了基本运算，属
8、于基础题.10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由几何体的三视图可知，如图，原几何体为一个四棱锥，挖去半个圆锥，其表面积为四棱锥的的三个侧面加上圆锥的半个侧面，再加上四棱锥的底面面积减去半个圆的面积即可.【详解】解：可将由三视图还原的几何体放到正方体模型中来观察，容易看出原几何体为一个四棱锥，挖去半个圆锥，点P为正方体的一条棱的中点，平面恰为正方体的底面，平面平面，圆锥底面直径为，为顶点，母线，且为前后两个侧面三角形的高，故其表面积，故选：D.【点睛】此题考查的是由几何体的三视图求几何体的表面积，解题的关键是由三视图还原几何
9、体，属于中档题.11. 已知椭圆的离心率为，若面积为的矩形的四个顶点都在椭圆上，点为坐标原点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由离心率的值先求出椭圆方程，然后设出点的坐标，再由椭圆的对称性和题意可得，从而可求出，进而求出的值.【详解】解：由椭圆的离心率为，解得，所以椭圆的方程为，不失一般性，设，由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积，所以，即或，可得，所以，故选：D.【点睛】此题考查椭圆的离心率和椭圆的简单的几何性质，考查转化能力和计算能力，属于中档题.12. 已知表示不超过的最大整数，若函数的图象关于点对称，且方程有实根，则的取值集合为（ ）A. B. C. D. 【
10、答案】B【解析】【分析】由函数的对称性可得，令，可得，可得，即可得到，从而求出的取值范围；【详解】解：由的图象关于点对称，得，取，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，由，可得，所以时，方程有实根，所以的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查函数的值域、函数的对称性的应用，属于中档题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数的图象在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，计算出切线斜率，同时计算出函数值，然后可得切线方程【详解】由得，所以，所以的图象在处的切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题，函数图象在点处的切线方程是14. ，
11、是方程的两个根，则_.【答案】【解析】【分析】根据根与系数关系，得到，再由两角和的正切公式，即可计算出结果.【详解】因为，是方程的两个根，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角恒等变换的应用，熟记两角和的正切公式即可，属于常考题型.15. 已知向量，满足，且，则_.【答案】【解析】【分析】由已知等式平方后求出，然后再计算可得【详解】因为，两边平方得，所以，故答案为：.【点睛】本题考查求向量的模，解题关键是把模转化为数量积的运算16. 如图，在正方体中，点为中点，点为棱上的动点，点为棱上的动点，点在对角线上，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】画出该正方体展开后的平面图形，由
12、图像即可确定最小值，再由题中数据计算，即可得出结果.【详解】如图，由展开后的平面图形可得最小值为图中的，因为正方体棱长为，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查求棱柱表面上距离的最值问题，根据棱柱的结构特征即可，属于基础题型.三解答题：共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17. 已知数列满足，前项和为.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，得到，两式相减求得，进而求得得出数列的首项和公差，进而求得其通项公式和前项和公式；（
13、2）由（1）求得，利用“裂项法”，即可求解【详解】（1）因为，所以，两式相减得，所以，所以数列是等差数列，令，可得，又由，所以 即数列的公差，所以数列的通项公式为，前项和.（2）由，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的判定，等差数列通项公式和前项和公式的求解，以及“裂项法”求和的应用，其中解答中根据数列的递推关系式求得数列的通项公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18. 某家电企业生产一种智能音箱，在其官网上销售，根据以往销售数据绘制出一周内销售数量的频率分布直方图如图所示.（1）估计每周销量的平均数(结果保留整数，同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）
14、用一周销量不低于100件的频率作为每周销量不低于100件的概率.估计未来10周内周销量不低于100件的有多少周？现采用随机模拟的方法估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率，先由计算机产生0到9之间的随机整数，用表示周销量低于100件，表示周销量不低于100件，再以3个随机整数为1组表示3周周销量的结果，经随机模拟产生如下20组随机数：807 966 191 925 271 932 812 458 569 683489 257 394 027 552 488 740 113 537 741确定的值，并根据以上数据估计未来3周恰有2周周销量不低于100件的概率.【答案】（1）104；（2）
15、周；，.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中的每个小矩形的面积乘以该组区间的中点值相加即可求出结果；（2）先求周销量不低于100件的概率，再求次数；先求的值，从20组随机数中找到3周恰有2周周销量不低于100件的频数，即可得到结果.【详解】（1）每周销售数量的平均数为 （2）由频率分布直方图可知周销量不低于频率所以估计未来周内周销量不低于件的有周. 根据周销量不低于100件的频率为0.6，可得，这20组数据中表示3周恰有2周周销量不低于100件的有：807，925，683，257，394，552，740，537，741共9组，所以估计所求概率.【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样
16、本的数字特征以及利用随机数法求概率.属于中档题.19. 在三棱锥中，平面平面，是的中点.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用勾股定理得到，再利用面面垂直的性质得到平面，从而得到.（2）首先根据题意得到点，到平面的距离相等，设为，从而得到，化简得到，再计算即可得到答案.【详解】（1）因为，所以因为，所以，即.因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为是的中点，所以点，到平面的距离相等，设为，所以，即，化简得由（1）可得，所以，.因为，所以.所以.因为，所以.所以，故.即点到平面的距离为.【点睛】本题第一问考查面
17、面垂直的性质，同时考查了线线垂直，第二问考查了点到面的距离，同时考查学生的计算能力，属于中档题.20. 已知纵坐标分别为的点，是抛物线上的两点，且点，到直线的距离相等.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，与抛物线准线交于点，(点为坐标原点)的延长线与准线交于点，且，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）求出的横坐标，利用它们到直线的距离相等可求得，得抛物线方程；（2）设，设直线AB的方程为，与联立得，应用韦达定理得，由向量数量积得，得，再由共线得一关系式，结合韦达定理中的，可求得参数，从而知直线所过定点的坐标【详解】解：（1
18、）因为点M，N在抛物线C上，且纵坐标分别为.所以点M，N的横坐标分别为因为点M，N到直线的距离相等，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）设直线AB的方程为，与联立得，设，则，由得，即，所以，抛物线准线方程是，故，由B，E三点共线得，即，直线AB方程为所以直线过定点，点P的坐标为.【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查直线与抛物线相交问题与定点问题解题方法是“设而不求”的思想方法，设交点坐标，设直线方程，直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，代入由题中其他条件得一个参数值或参数间的关系，从而可通过直线方程判断所过定点21. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求证：.【答案】（
19、1）当时，的增区间是，减区间是，时，的减区间是，当时，的增区间是，减区间是，；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，求出的解，按两根的大小分类讨论得单调区间；（2）首先得出，不等式恒成立等价于恒成立，由此可得的取值范围是，引入新函数，利用导数证明它是减函数，从而，从而证得结论成立【详解】（1），由得或，当时，在或时，时，的增区间是，减区间是，时，的减区间是，无增区间，当时，在或时，时，的增区间是，减区间是，；（2）不等式恒成立，首先，即，不等式转化为时，恒成立，的对称轴是，所以时，由题意，所以，此时，令，则，令，则，当时，在上递增，所以，所以是减函数，所以综上，【点睛】本题考查用导
20、数研究函数的单调性，用导数证明不等式，含有参数的函数在求单调区间时必须分类讨论用导数证明不等式，实质还是转化为求函数的最值，由最值满足不等关系得出不等式成立考查了转化与化归思想，运算求解能力，逻辑推理能力(二)选考题：共10分，请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为(为参数)，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】（1），； （2）.【解析】分析】（1）化简曲线的参数方程为(为参数)，平方相加，即可求得
21、曲线的普通方程，根据两角差的正弦函数和极坐标的互化公式，即可求解直线的直角坐标方程；（2）设点，求得点到直线的距离为，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由曲线的参数方程为(为参数)，可得(为参数)，平方相加，可得，即曲线的普通方程为，又由直线的极坐标方程为，可得，因为，可得，即直线的直角坐标方程为.（2）由曲线的参数方程，可设点，则点到直线的距离为，当时，取得最大值，最大值为.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及曲线的参数方程的应用，其中解答中合理消去参数以及熟记极坐标与直角坐标的互化公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23. 已知函
22、数.（1）若，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）时，函数，分类讨论去掉绝对值号，即可求解；（2）由的解集包含，得到恒成立，在根据绝对值的定义，得到恒成立，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）当时，函数，当时，等价于，该不等式恒成立，当时，等价于，该不等式不成立，当时，等价于，解得.所以不等式的解集为.（2）由的解集包含，即时恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得或所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，绝对值的定义，合理分类讨论是解答的关键，着重考查推理与运算能力.