1、第八章8.68.6.2第1课时A组素养自测一、选择题1一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是(B)A(0，90)B0，90C(0，90D0，180解析由线面角的定义知B正确.2在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(B)A1B2C3D6解析仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为(D)A1B2C3D4解析PA平面ABCD，PAAB，PAAD，PABC，PACD.BC平面PABBCPB由CD平面PADCDPD.PAB，PAD，PBC，PCD都是直角三角形.4下列说
2、法中，正确的是(B)A垂直于同一直线的两条直线互相平行B垂直于同一平面的两条直线互相平行C垂直于同一平面的两个平面互相平行D平行于同一平面的两条直线互相平行解析A中两直线可相交、异面、平行，故A错；B中l，m则lm，正确；C中两平面可平行、相交，故C错；D中两直线可平行、相交、异面，故D错.5(多选)如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，则下列结论正确的是(BCD)ACF平面PADBDF平面PAFCCF平面PABDCD平面PAF解析六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，AFCD，由线面平行的判定定理，可得CD平面PAF，故D正确；DFAF，DFPA，又AFPAA，DF平面
3、PAF，故B正确；由正六边形的性质可知，CFAB，由线面平行的判定定理，可得CF平面PAB，故C正确；CF与AD不垂直，CF平面PAD不正确.故选BCD二、填空题6如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为_.解析如图，连接EB，由BB1平面ABCD，知FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在RtFBE中，BF1，BE，则tanFEB.7已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_外心_.(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)解析P到ABC三顶点的距离都相
4、等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心.8等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_45_.解析如图，设C在平面内的射影为O点，连接AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角.设ACBC1，则AB，CM，CO.sinCMO，CMO45.三、解答题9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2(1)求证：ACB1D；(2)求三棱锥CBDB1的体积.解析(1)证明：如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，BB1平面ABCD.AC平面ABCD，BB1AC.又底面ABCD为正方形，ACBD.BB1BDB，AC
5、平面BDB1B1D平面BDB1，ACB1D.(2)VCBDB1VB1BDC.B1B平面ABCD，B1B是三棱锥B1BDC的高.VB1BDCSBDCBB1222.三棱锥CBDB1的体积为.10(20192020湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点.(1)求证：AD平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.解析(1)证明：直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1AD，ABAC，D是BC的中点，ADBC.又BCBB1B，AD平面BCC1B1(2)连接C1D.由(1)AD平面BCC1B1，则AC1D即为直线AC1
6、与平面BCC1B1所成角.在RtAC1D中，AD，AC1，sinAC1D，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.B组素养提升一、选择题1如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，PAAB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(D)BC平面PAB；ADPC；AD平面PBC；PB平面ADC.A0个B1个C2个D3个解析PA平面ABC，PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB，故正确；由BC平面PAB，得BCAD，又PAAB，D是PB的中点，ADPB，又PBBCB，PB，BC平面PBC，AD平面PBC，ADPC，故正确；由AD平面PBC，正确，故选D2空间四边形ABCD的四
7、边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(C)A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交解析取BD中点O，连接AO、CO，则BDAO，BDCO，BD面AOC，BDAC，又BD、AC异面，选C3如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH平面ABC于H，则垂足H是ABC的(C)A外心B内心C垂心D重心解析PCPA，PCPB，PAPBP，PC平面PAB.又AB平面PAB，ABPC.又ABPH，PHPCP，AB平面PCH.又CH平面PCH，ABCH.同理BCAH，ACBH.H为ABC的垂心.4(2018全国卷文，10)在长方体ABCDA1B1C1D1中
8、，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为(C)A8B6C8D8解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为AB2，所以BC12，从而求得CC12，所以该长方体的体积为V2228，故选C二、填空题5(2019北京卷文，13)已知l，m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.解析证明如下：m，根据线面平行的性质定理，知存在n，使得mn.又l，ln，lm.6如图所示，已知在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1
9、，若BC边上存在点Q，使得PQQD，则a的取值范围是_2，)_.解析因为PA平面AC，QD平面AC，PAQD.又PQQD，PAPQP，QD平面PAQ，所以AQQD.当0a2时，由四边形ABCD是矩形且AB1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有AQD2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时AQ1DAQ2D90，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQQD.三、解答题7如图，在锥体PABCD中，底面ABCD是菱形，且DAB60，PAPD，E，F分别是BC，PC的中点.求证：AD平面DEF.证明取AD的中点G，连接PG，BG.因为PAPD，所以ADPG.设菱形A
10、BCD边长为1在ABG中，因为GAB60，AG，AB1，所以AGB90，即ADGB.又PGGBG，所以AD平面PGB，从而ADPB.因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EFPB，从而ADEF.易证DEGB，且ADGB，所以ADDE，因为DEEFE，所以AD平面DEF.8如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F.解析当F为CD的中点时，D1E平面AB1F.连接A1B、CD1，则A1BAB1，A1D1AB1，又A1D1A1BA1，AB1面A1BCD1，又D1E面A1BCD1，AB1D1E.又DD1平面BD，AFDD1又AFDE，AF平面D1DE，AFD1E.D1E平面AB1F.即当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.