1、2020-2021学年湖南省五市十校教研教改共同体高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1已知集合Ax|2x1，Bx|（x+2）（x1）0，则AB（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（0，2）2. 已知向量，若，则实数的值是（ ）A. B. C. 1D. 23若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“ml”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4某小区居民上网年龄分布图如图所示，现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为n的样本若样本中90后比00后多52人，则n（）A400B450C500D5505. 函数，的部
2、分图象大致是（ ）A. B. C. D. 6. 已知函数在单调递减，在单调递增，则最小正周期为（ ）A. B. C. D. 7设alog318，blog424，则（）AabcBacbCbcaDcba8. 已知，分别为内角，的对边，则的最大值为（ ）A. 2B. C. 4D. 8二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 已知复数，则下列命题正确的是（ ）A. 的虚部为B. C. D. 在复平面内对应的点位于第三象限10某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，
3、组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在40，100内现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法正确的是（）A频率分布直方图中第三组的频数为10人B根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分11. 已知三棱锥顶点均在表面积为的球的球面上，、两两垂直，则下列结论中正确的是（ ）A. 球的半径为B. C. 到平面的距离为D. 到平面的距离为12. 已知的重心为，过点的直线与边，的交点分别为，若，且与的
4、面积之比为，则的可能取值为（ ）A. B. C. D. 3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 若向量，满足，则与的夹角为_.14从长度（单位：cm）分别为2，3，4，5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为 15. 已知，分别为内角，的对边，则_.16. 九章算术中，刍甍（ch mng）是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段.在如图所示的刍甍中，平面平面，且四边形为等腰梯形，则刍甍的体积为_，二面角的余弦值为_.四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 在中，设（、为实数）.（1）求，的值；（2）若，求
5、.18. 函数的部分图像如图所示.（1）写出图中、的值；（2）将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图像，求方程在区间上的解.19为了参加数学选拔赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：理科：79，80，81，79，94，92，85，90文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同
6、学的概率20. 如图，四棱锥中，为等边三角形，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值.21. 内角，的对边分别为，.（1）证明：；（2）若，求的周长.22. 如图，正方形与正方形所在平面互相垂直，、分别在，上，.（1）证明：；（2）证明：平面；（3）求平面截三棱柱所成大小两部分的体积比.参考答案一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1已知集合Ax|2x1，Bx|（x+2）（x1）0，则AB（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（0，2）【分析】求出集合A，B，由此能求出AB解：Ax|2x1x|2x20x|x0，Bx|（x+2）
7、（x1）0x|2x1，AB（0，1）故选：C2已知向量（m，1），（2，m+1），若，则实数m的值是（）A2BC1D2【分析】根据题意，分析可得2mm10，解可得m的值，即可得答案解：根据题意，向量（m，1），（2，m+1），若，则2mm10，解可得：m1；故选：C3若l，m为两条不同的直线，为平面，且l，则“ml”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据线面垂直和线面平行的性质和判定定理，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论解：由l，mlm或m，充分性不成立，由l，mml，必要性成立，ml是m的必要不充分条件故选：B4某小区居民上网年龄分
8、布图如图所示，现按照分层抽样的方法从该小区抽取一个容量为n的样本若样本中90后比00后多52人，则n（）A400B450C500D550【分析】利用抽样比相等和比例的基本性质列式求解解：根据题意可知，解得n400故选：A5函数，的部分图象大致是（）ABCD【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD，再分析函数的单调性，排除C，即可得答案解：根据题意，有f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、D，又由ycosx，y2x，yx在上分别为减函数、增函数、增函数，且函数值均为正数，所以f（x）在上为增函数，排除C，故选：A6已知函数在单调递减，在单调递增，则f（x）的最小正周期为（）AB
9、C2D4【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，求得的值，从而得出结论解：由函数在单调递减，在单调递增，由题意，结合余弦函数图像可得，当x 时，f（x）在y轴的右侧第一次取得最小值，最小正周期，故选：D7设alog318，blog424，则（）AabcBacbCbcaDcba【分析】根据题意，alog318log392，blog424log4162，再具体分析a与b的大小关系即可确定答案解：，alog318log392，blog424log4162，log64log630，log424log318，即ba，cba故选：A8已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，则tanA的最大值为（）
10、A2BC4D8【分析】利用正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，当B，C都为锐角时，利用基本不等式可得tanBtanC2，进而根据两角和的正切公式可求tanA2，若B，C其中一个为钝角时，可得，即可得解tanA的最大值解：由已知及正弦定理得，两边除以sinBsinC，得，当B，C都为锐角时，tanBtanC2，当且仅当时，等号成立，若B，C其中一个为钝角时，tanA的最大值为故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知复数，则下列命题正确的是（）Az
11、的虚部为1B|z|2Cz22iD在复平面内对应的点位于第三象限【分析】先利用复数的除法运算求出z的代数形式，然后由虚部的定义、模的定义、复数的几何意义进行判断即可解：因为，z的虚部为1，|z|，z2（1i）22i，在复平面内对应的点（1，1）位于第二象限，所以选项A，C正确，选项B，D错误故选：AC10某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在40，100内现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示观察图形，则下列说法正确的是（）A频
12、率分布直方图中第三组的频数为10人B根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分【分析】利用直方图中小矩形的面积和为1，计算60，70）的频率，进而估计众数、中位数、平均数解：分数在60，70）内的频率为110（0.005+0.020+0.030+0.025+0.010）0.10，所以第三组60，70）的频数为1000.1010（人），故A正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数在区间70，80）上，估计值为75分，故B正确；因为（0.005+0.020+0.010）100.35
13、0.5，（0.005+0.020+0.010+0.03）100.650.5，所以中位数位于70，80）设为x，则0.35+（x70）0.030.5，解得x75，估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为45（100.005）+55（100.020）+65（100.010）+75（100.03）+85（100.025）+95（100.01）73（分），故D错误故选：ABC11已知三棱锥SABC的顶点均在表面积为8的球O的球面上，SA、SB、SC两两垂直，SA2，则下列结论中正确的是（）A球O的半径为BCS到平面ABC的距离为DO到平面ABC的距离为【分析】由球的表面积公式求出球的半径判断A；再
14、由分割补形法求得长方体的对角线长求解SC判断B；由等体积法求S到平面ABC的距离判断C；求出三角形ABC外接圆的半径，利用勾股定理求得O到平面ABC的距离判断D解：设球O的半径为R，由4R28，得R，故A正确；将三棱锥SABC放置在长体中，由，得，解得，故B正确；SA2，SBSC，ABAC，BC2，ABC的面积为，设S到平面ABC的距离为d1，由等体积法可得，得S到平面ABC的距离，故C错误；在ABC中，cosBAC，sinBAC，设ABC外接圆的半径为r，则，又外接球的半径R，球心O到平面ABC的距离为，故D正确故选：ABD12已知ABC的重心为G，过G点的直线与边AB，AC的交点分别为M，
15、N，若，且AMN与ABC的面积之比为，则的可能取值为（）ABCD3【分析】可得出，进而得出，可设，进而得出，从而可得出，然后根据三角形的面积公式可得出，然后解出的值即可解：如图，即，设，则，M、G、N三点共线，AMN与ABC的面积之比为，即，化简得229+90，解得或3故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若向量，满足|，|，5，则与的夹角为 【分析】利用向量数量积的夹角公式直接求解即可解：向量，满足|，|，5，两个向量夹角的范围为0，与的夹角为故答案为：14从长度（单位：cm）分别为2，3，4，5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为 【分析】列举出4条线段中
16、任取3条的所以可能情况后再确定其中能构成钝角三角形的基本事件个数，最后利用概率计算公式即可得出所求概率解：4条线段中任取3条的可能情况有234，235，245，345，共4种，其中能构成钝角三角形的情况有234，245，共2种，所以能构成钝角三角形的概率为故答案为：15已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，a1，b5，则tanA【分析】由已知利用二倍角的余弦公式可求cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，根据余弦定理可求c的值，利用正弦定理可求sinA，进而根据同角三角函数基本关系式可求tanA的值解：，ab，可得A为锐角，故答案为：16九章算术中，刍甍（ch mn
17、g）是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段在如图所示的刍甍ABCDFE中，平面ADFE平面ABCD，EFAD，且四边形ADFE为等腰梯形，EF3，AD5，则刍甍ABCDFE的体积为 ，二面角CBDE的余弦值为 【分析】由图可将刍甍ABCDEF分割成由四棱锥EABCD和三棱锥CDEF构成，分别求出四棱锥EABCD和三棱锥CDEF的体积即可；根据二面角的定义可知EHG为二面角CBDE的补角，求出cosEHG即可解：连接CE，则刍甍ABCDFE被分割为四棱锥EABCD和三棱锥CDEF，平面ADFE平面ABCD，CD平面DEF，过点E作EGAD，则EG平面ABCD，
18、刍甍ABCDFE的体积为过点G作GHBD，连接EH，则BDEH，EHG为二面角CBDE的补角，在BDG中，由等面积法易得，二面角CBDE的余弦值为四、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在ABC中，设（x、y为实数）（1）求x，y的值；（2）若，求【分析】（1）利用向量的线性运算可得，从而可求得x，y的值；（2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可求解解：（1），+（），（2）由（1）得，18函数的部分图象如图所示（1）写出图中x0、y0的值；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数g（x）的图象，
19、求方程在区间，上的解【分析】（1）利用三角函数的最大值，可得y03，由f（x）在xx0处是x正半轴上取得第二个最大值，即可求出的x0值；（2）先利用三角函数的图象变换，求出g（x）的解析式，然后令g（x），利用整体代换的思想以及特殊角的三角函数，求出x的值即可解：（1）因为函数，则函数f（x）的最大值为3，所以y03，由题意可知，f（x）在xx0处是x正半轴上取得第二个最大值，令3，解得x，所以，y03；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数，由，可得，所以或，kZ，解得或，kZ，又x，所以方程的解为19为了参加数学选拔赛，某
20、高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下：理科：79，80，81，79，94，92，85，90文科：94，80，90，81，73，84，90，80（1）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥更好；（2）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出2人进行培训，求抽出的2人中至少有1名理科组同学的概率【分析】（1）根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解（2）得出成绩不低于90分的同学有理科3个，文科3个，用列举法求出基本事件数，求出对应的概率解：（1）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次
21、模拟测试中发挥比较好，理由如下：理科组同学成绩的平均数，方差为：33.5，文科组同学成绩的平均数，方差为：41.75，由于，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥更好（2）设理科组同学中成绩不低于90分的3人分别A，B，C，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为a，b，c，则从他们中随机抽出2人有以下15种可能：AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc其中全是文科组同学的情况有ab，ac，bc三种，记“抽出的2人中至少有一名理科组同学同学”为事件M则20如图，四棱锥B1AA1C1D中，A1B1C1为等边三角形，AA1平面A1B1C1，AA1DC1，
22、AA12DC1，F为A1B1的中点（1）证明：C1F平面ADB1；（2）证明：平面ADB1平面AA1B1；（3）若A1B12，AA12，求直线A1A与平面ADB1所成角的正弦值【分析】（1）取AB1中点E，证明DEC1F；（2）先证明C1F平面AA1B1，再结合DEC1F，证明面面垂直（3）过点A1作A1GAB1，由（2）知A1G平面ADB1，求A1AG解：（1）证明：取AB1中点E，连接DE，EF，则，四边形EFC1D为平行四边形，DE/FC1，DE平面ADB1，FC1平面ADB1，FC1/平面ADB1（2）证明：AA1平面A1B1C1，A1B1C1是正三角形，C1FA1B1，C1FAA1，
23、A1B1AA1A1，C1F平面AA1B1，DE/FC1，DE平面AA1B1，DE平面ADB1，平面ADB1平面AA1B1（3）过点A1作A1GAB1，则A1G平面ADB1，A1AG即为直线A1A与平面ADB1所成角，在AA1B1中，利用等面积法得，所以21ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）证明：a：b：c2：3：4；（2）若，求ABC的周长【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，cosA，利用两角和的正弦公式可求sinC的值，进而根据正弦定理即可证明（2）由（1）利用两角和的余弦公式可求cosC的值，将已知等式平方，设a2t，b3t，c4t，利用平面向量数量积的运
24、算即可求解解：（1）证明：，AB，A为锐角，由正弦定理可得，得证（2）由（1）知，设a2t，b3t，c4t，则，解得t2，ABC的周长为9t1822如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别在BD，AE上，EN2NA，DM2MB（1）证明：MNBD；（2）证明：CF平面BMN；（3）求平面BMN截三棱柱AFDBEC所成大小两部分的体积比【分析】（1）设正方形边长为3，过N向AB作垂线交AB于H，连接MH，求解三角形证明HMBD，再由平面与平面垂直的性质可得NHBD，得到BD平面NMH，从而可得MNBD；（2）连接AC交BD于O，延长BN交AF于P，连接OP，则OP/FC，
25、再由平行线截线段成比例可得OP/MN，又平行公理可得MN/CF，进一步得到CF/平面BMN；（3）由（2）得平面BDP即为截面BMN设正方形边长为1，分别求出三棱锥PABD与三棱柱ADFBCE的体积，则答案可求【解答】（1）证明：设正方形边长为3，过N向AB作垂线交AB于H，连接MH，则，NH1，BH2，由余弦定理求得，可得BM2+HM2BH2，HMBD，又NHAB，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，NH平面ABEF，NH平面ABCD，则NHBD，又NHMHH，BD平面NMH，则MNBD；（2）证明：连接AC交BD于O，延长BN交AF于P，连接OP，则OP/FC，又由平行线截线段成比例可得OP/MN，MN/CF，MN平面BMN，CF平面BMN，CF/平面BMN；（3）解：由（2）得平面BDP即为截面BMN，设正方形边长为1，则，体积比为