1、等差数列及其前项和导学案【学习目标】理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式与前项和公式；体会等差数列通项公式与一次函数的关系；等差数列前项和公式与二次函数的关系；掌握等差数列的一些基本性质；【自主学习】一. 要点梳理 1、等差数列的定义如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示。2、等差数列的通项公式 若等差数列的首项为，公差是，则其通项公式为 ;掌握公式的推导方法 3、等差中项 如果三个数成 ，则叫做和的等差中项，且有= 4、等差数列的前项和公式 = = （二次型）;掌握公式的推导方法 5、等差数列的判
2、定方法（1）定义法： 是等差数列 （2）等差中项： 是等差数列 （3）通项公式法： 是等差数列 （4）前项和法： 是等差数列 6、等差数列的性质 (1)通项公式的推广： （2）若是等差数列，且，则 （3）若是等差数列 ，公差为，则也是等差数列，公差为 （4）若是等差数列 ，则组成公差为 的等差数列。（5）若、是等差数列 ，则是 7、 等差数列与等差数列各项和有关的性质（1）若是等差数列，则也成 数列，其首项与首项相同，公差是公差的 （2）分别是的前项，前项，前项的和， 成等差数列 ，公差为 （3）若项数为偶数的等差数列有 ； ， （4若项数为奇数的等差数列有 ； ， ， （5）若、是等差数列
3、，设其前项和分别为 ，则 （6）是等差数列若有 值，何时取最值可由不等式组或关于的二次函数的对称轴来确定。 若有 值，何时取最值可由不等式组或关于的二次函数的对称轴来确定。 （7）等差数列中，若，则 等差数列中，若，则 等差数列中，若，则 8、常用的方法与技巧 （1）三数成等差数列的设法：、 、 ，为公差。 四数成等差数列的设法：、 、 、 ，公差 。 （2）会用方程的思想处理等差数列的有关问题：等差数列的通项公式和前项和公式涉及五个量：，“知三求二”，同时还应注意整体代换。 二、 基础自测 1、等差数列的前项和为，若，则 （ ） A、12 B、10 C、8 D、6 2、等差数列中，已知，则为
4、（ ） A、48 B、49 C、50 D、51 3、首项为-24的等差数列，从第十项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 4、一个有限项的等差数列，它的前5项和为34,最后5项和为146，所有项和为234，则它的第七项等于（ ） A、22 B、21 C、 19 D、18 5、设等差数列、，其前项和分别为 ，若对任意的自然数都有，则的值为 【典例分析】 等差数列的基本运算 例1、设是一个公差为的等差数列，它的前10项和且成等比数列。 （1）证明； （2）求公差的值和数列的通项公式。例2、（2009安徽卷文）已知为等差数列，则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D
5、.7例3、（四川文7）等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（）A9 B10 C11 D12例4、(2008全国卷理)已知等差数列满足，则它的前10项的和（ ）A138B135C95D23练习：1、等差数列的前项和为，已知。 （1）求通项及前项和； （2）若，求。 2、在等差数列中，则=（ ） A、 24 B、 22 C、 20 D、-83、一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4、（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于（ ）A B C.- 2 D 35、（2009宁夏海南卷理）等比数列的前
6、n项和为，且4，2，成等差列。若=1，则=（ ）（A）7 （B）8 （3）15 （4）166、2009宁夏海南卷理）等差数列前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_7、(2008海南、宁夏文)已知an为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = _8、已知等差数列中，前10项和。（1）求数列的通项公式；（2）若从数列中依次取出第2，4，8，项，按原来的顺序排列成一个新的数列，试求新的数列的前项和9、等差数列的前项和为，若，则 ；一般地，若，则 10、设是公差为正数的等差数列，若，则等于（ ）A、 120 B、 105 C、 90 D、7510、下表给出一个“等差数阵”：47
7、（ ）（ ）（ ）712（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数。（1）写出的值；（2）写出的计算公式，以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置。11、已知，数列的前项和为，点在曲线上，且，（1）求数列的通项公式（2）数列的首项，前项和为，且，求数列 的通项公式等差数列的判定例5、已知数列的前项和为，且满足。 （1）求证：是等差数列； （2） 求的表达式。练习：1、已知数列满足，令，求证：数列 是等差数列。2、数列满足，又，则使得为等差数列的实数 3、设实数，且函数有最小值，若数列的前项和，令，求证：数列
8、是等差数列。等差数列的性质例6、（1）设等差数列的前项和为，已知前6项和为36,，最后6项和为180，求数列的项数及； （2）等差数列、设其前项和分别为 ，且，求的值。（3）若，则 ；（4）若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项及项数。练习：1、等差数列中，则 2、已知等差数列的前项和为为377，项数为奇数，且前项奇数项和与偶数项和之比为:6，则中间项为 3、等差数列中，已知，则= 4、设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ） A、13 B、35 C、 49 D、635、在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ） A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果为各项都大于
9、零的等差数列，公差，则（ ） A、 B、 C、 D、 7、等差数列的奇数项和为216，偶数项和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末和通项公式。8、等差数列中，其前项和为，则的值为 9、 等差数列的公差为2，若，则的值为 10、设是等差数列的前项和，若，则等于（ ） A、 B、 C、 D、 11、 已知两个等差数列、，其前项和分别为 ，且，则使得 为正整数的个数是（ ）。A、 2 B、 3 C、4 D、5等差数列的前项和的最值问题例7、在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时， 取得最大值，并求出它的最大值。练习：1、已知数列， （1）求证：是等差数列； （2）若，求数列的前项和为的最小值。2、设等差数列的前项和为已知。 （1）求公差的取值范围； （2）中哪一个值最大？并说明理由。3、在等差数列中，其前项和为，若，则在， ，中最大的是（ ）A、 B、 C、 D、4、在等差数列中，且，若的前项和为，则的最大值是（ ）A、17 B、 18 C、 19 D、205、(2008四川理)设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_。6、已知是一个等差数列，且。（1）求的通项公式 （2）求的前项和为的最大值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m