1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.3.2空间向量运算的坐标表示新课程标准学业水平要求1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示2掌握空间向量的数量积的坐标表示1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题(数学运算)2掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直(逻辑推理、数学运算)3掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题(逻辑推理、数学运算)必备知识自主学习导思1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2怎样通
2、过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？1.空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，R，aba1b1a2b2a3b32空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则当b0时，ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)；abab0a1b1a2b2a3b30；|a|；cos a，b.若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，则一定有成立吗？提示：不一定，只有当b1，b2，b3均不为0时，成立3空间两点间的
3、距离在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)；P1P2| |1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若a(1，2，1)，ab(1，2，1)，则b(2，4，2).()(2)若a(1，2，0)，b(2，0，1)，则|a|b|.()(3)若a(0，0，1)，b(1，0，0)，则ab.()(4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则(3，3，3).()(5)已知a(x1，y1，z1)，若x1y1z11，则a为单位向量()提示：(1).baba(1，2，1) (1，2，1)(2，4，2).(2).，所以.(3)
4、.由ab0，得ab.(4).由 A(1，2，3)，B(4，5，6)，得(41，52，63) (3，3，3).(5).若x1y1z11，则，所以a不是单位向量2已知向量a(3，2，1)，b(2，4，0)，则4a2b等于()A(16，0，4) B(8，16，4)C(8，16，4) D(8，0，4)【解析】选D.4a(12，8，4)，2b(4，8，0)，所以4a2b(8，0，4).3已知a(2，3，1)，b(4，6，x)，若ab，则x等于 ()A26 B10 C2 D10【解析】选A.由于a(2，3，1)，b(4，6，x)，且有ab，所以ab24(3)(6)1x0，解得x26.4(教材二次开发：例题
5、改编)已知A点的坐标是(1，2，6)，B点的坐标是(1，2，6)，O为坐标原点，则向量与的夹角是_【解析】cos ，1，所以，.答案：关键能力合作学习类型一空间向量的坐标运算(数学运算)1.若向量a，b，则2a3b()A BC D2.若a，b，c，则a的值为()A B5C7 D363若向量a，b的坐标满足ab，ab，则ab等于()A5 B5 C7 D1【解析】1.选C.因为a，b，所以2a3b23.2选B.bc，a2223(1)55.3选B.因为ab，ab，两式相加得2a，解得a，b，所以ab11025.空间向量坐标运算方法一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定
6、了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(ab)2a22abb2；(2)(ab)(ab)a2b2.【补偿训练】已知a(2，1，2)，b(0，1，4).求：(1)ab；(2)ab；(3)ab；(4)2a(b)；(5)(ab)(ab).【解析】(1)ab(2，1，2)(0，1，4)(20，11，24)(2，2，2).(2)ab(2，1，2)(0，1，4)(20，1(1)，24)(2，0，6).(3)ab(2，1，2)(0，1，4)20(1)(1)(2)47.(4)因为2a(4，2，4)，所以(2a)(b)(4，2，4)(0
7、，1，4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.类型二用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)【典例】已知a(1，1，2)，b(6，2m1，2).(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a.【思路导引】(1)根据向量平行，设(1，1，2)k(6，2m1，2)，列出方程组，即可得出与m的值；(2)由向量垂直以及模长公式得出1，即可求出向量a.【解析】(1)因为ab，所以设(1，1，2)k(6，2m1，2)，所以解得所以，m3.(2)因为|a|且ac，所以化简得解得1.因此a(0，1，2).向量平行与垂直问题的两种题
8、型(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的1已知向量a，b，且kab与2ab互相垂直，则k()A B1 C D【解析】选A.因为a，b，所以kab，2ab，又因为kab与2ab互相垂直，所以0，所以3k32k40，解得k.2设x，yR，向量a，b，c，且ac，bc，则()A2 B C3 D4【解析】选C.因为bc，所以2y41，所以y2，所以b，因为ab，所以abx110，所以x1，所以a，所以ab，所以3.类型三用向量运算求夹角和距离
9、(数学运算)角度1求夹角【典例】已知向量a，则下列向量中与a成60角的是()A BC D【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦值，进一步求角【解析】选B.对于A选项中的向量a1，cos a，a1，则a，a1120；对于B选项中的向量a2，cos a，a2，则a，a260；对于C选项中的向量a3，cos a，a3，则a，a3120；对于D选项中的向量a4，此时a4a，两向量的夹角为180.角度2求距离【典例】ABCA1B1C1是正三棱柱，若AB1，AB1BC1，则AA1()A B C D【思路导引】由题意画出图形，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建
10、立空间直角坐标系，设AA1a，再由0列式求解a值，则答案可求【解析】选B.如图，取AB的中点O，连接OC，以O为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴建立空间直角坐标系设AA1a，则A，B1，B，C1，则，.由AB1BC1得a20，即a.所以AA1.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系；(2)求坐标：求出相关点的坐标；写出向量的坐标；(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算；(4)转化：转化为夹角与距离问题1在空间直角坐标系Oxyz中，O(0，0，0)，E(2，0，0)，F(0，2，0)，B为EF的中点，C为空间一点
11、且满足|3，若cos ，则()A9 B7 C5 D3【解析】选D.设C(x，y，z)，B(，0)，(x，y，z)，(x，y，z)，(2，2，0)，由cos ，整理可得xy，由|3得，化简得xy，由联立得x，y，则(x，y，z)2y3.2已知ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为_【解析】设BC边的中点为D，则()(1，2，2)，所以|3.答案：33已知向量a(2，1，2)，b(1，1，4).(1)计算2a3b和.(2)求a，b【解析】(1)因为向量a(2，1，2)，b(1，1，4)，所以2a3b2(2，1，2)3(1，1，4)，(4，2，4
12、)(3，3，12)(1，5，8)，所以3.(2)cos a，b.因为a，b0，所以a，b.备选类型向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.设ABAP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由【思路导引】根据图形特征建立坐标系，设出点G的坐标，利用到点P，B，C，D的距离都相等建立方程组，考察方程组的解的情况【解析】因为PA平面ABCD，且AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又ABAD，所以AP，AB，AD两两垂直以A为坐标
13、原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等连接GB，GC，GP，设ABAPt，G(0，m，0)(其中0m4t)，则B(t，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4t，0).因为CDA45，所以C(1，3t，0).所以(1，3tm，0)，(0，4tm，0)，(0，m，t).由|，得12(3tm)2(4tm)2，即t3m.由|，得(4tm)2m2t2.由消去t，化简得m23m40.由于方程没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等立体几何存在性问题的解法存在性问题通常都是假设存在，即设出点的
14、坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性转化为方程或不等式有解问题如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，在棱B1B上是否存在一点M，使得D1M平面EFB1.若存在，求出该点；若不存在，说明理由【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，设M(1，1，m).连接AC，则(1，1，0).而E，F分别为AB，BC的中点，所以.又因为，(1，1，m1)，而D1M平面EFB1，所以D1MEF，且D1MB1E，即0，且0.
15、所以解得m，即M为B1B的中点课堂检测素养达标1若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，满足条件(ca)2b2，则x的值为()A2 B2 C0 D1【解析】选A.因为ca(1，1，1)(1，1，x)(0，0，1x)，2b2(1，2，1)(2，4，2)，所以(ca)2b22x2.所以x2.2向量a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，下列结论正确的是()Aab，ac Bab，acCac，ab D以上都不对【解析】选C.因为ab(2，3，1)(2，0，4)22(3)0140，所以ab.又因为a(2，3，1)(4，6，2)c，所以ac.3(教材二次开发：习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则_，_【解析】(1，1，1)，|.答案：(1，1，1)4若向量a，b，则_【解析】由于向量a，b，所以2ab.故3.答案：35已知空间三点A(1，1，1)，B(1，0，4)，C(2，2，3)，则与的夹角的大小是_【解析】因为(2，1，3)，(1，3，2)，cos ，所以，120.答案：120关闭Word文档返回原板块- 15 - 版权所有高考资源网