1、第二章2.12.1.2基础巩固一、选择题1异面直线是指()A空间中两条不相交的直线B分别位于两个不同平面内的两条直线C平面内的一条直线与平面外的一条直线D不同在任何一个平面内的两条直线答案D解析对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面A应排除对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，B应排除对于C，如右图的a，b可看作是平面内的一条直线a与平面外的一条直线b，显然它们是相交直线，C应排除只有D符合定义应选D规律总结：解答这类立体几何的命题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻
2、找特例，构造相关特例模型，能快速、有效地排除相关的选择项2正方体ABCDA1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A3条 B4条C6条 D8条答案C解析画一个正方体，不难得出有6条3若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()Aac Ba、c是异面直线Ca、c相交 Da、c平行或相交或异面答案D解析a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D4空间两个角、的两边对应平行，若60，则为()A60 B120C30 D60或120答案D解析由等角定理知、相等或互补所以60或120.5空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD2AB，EFAB，则EF与CD所
3、成的角为()A30 B45C60 D90答案A解析取AD的中点H，连FH、EH，在EFH中 EFH90，HE2HF，从而FEH30，故选A6下列命题中，正确的结论有()如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A1个 B2个C3个 D4个答案B解析是正确的二、填空题7如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对答案3解析AP与BC异面、BP与AC异面、PC
4、与AB异面8如图所示，六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中，底面是正六边形(1)A1F1与BD所成角的度数为_.(2)C1F1与BE所成角的度数为_.答案3060三、解答题9如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点求证：BGCFD1E.分析利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等解析因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE綊GD1，BF綊GD1.所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形所以GCD1E，GBD1F.因为BGC与FD1E的方向相同，所以BGCFD1E.10如图，等腰直角三
5、角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E为DA的中点求异面直线BE与CD所成角的余弦值分析根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平行线，换句话说，平移BE(或CD)设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为BEF或其补角，解EFB即可获解解析取AC的中点F，连接BF、EF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD，BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)在RtEAB中，AB1，AEAD，BE.在RtAEF中，AFAC，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.在等腰E
6、BF中，cosFEB，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.能力提升一、选择题1分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A异面 B相交C平行 D异面或相交答案D解析如图所示，a、b是异面直线，AB、AC都与a、b相交，AB、AC相交；AB、DE都与a、b相交，AB、DE异面2已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是()A若ab，bc，则acB若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交C若ab，bc，则acD若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线答案C解析由平行公理可知C正确，而其他可举反例说明错误3空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边
7、形是()A梯形 B矩形C平行四边形 D正方形答案D解析E、F、G、H分别为中点，如图FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC，又BDAC且BDAC，FGHG且FGHG，四边形EFGH为正方形4点E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，AB6，PC8，EF5，则异面直线AB与PC所成的角为()A60 B45C30 D90答案D解析如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则EG綊AB，GF綊PC，则EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在EFG中，EGAB3，FGPC4，EF5，所以EGF90.二、填空题5如图正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90的面对角线(面
8、对角线是指正方体各个面上的对角线)共有_条答案1解析与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90.6如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，若BD2，AC4，则四边形EFGH的周长为_.答案6解析EHFGBD1，同理EFGHAC2，四边形EFGH的周长为6.三、解答题7如图，在空间四边形ABCD中，ADBC2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF，求异面直线AD、BC所成角的大小解析如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则EMF或
9、其补角就是异面直线AD、BC所成的角ADBC2，所以EMMF1，在等腰MEF中，过点M，作MHEF于H，在RtMHE中，EM1，EHEF，则sinEMH，于是EMH60，则EMF2FMH120.所以异面直线AD、BC所成的角为EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60.8如图，两个三角形ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且.(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值分析用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证明两个三角形相似解析(1)证明：因为AA与BB交于点O，且，所以ABAB.同理ACAC，BCBC.(2)解：因为ABAB，ACAC，且AB和AB，AC和AC方向相反所以BACBAC.同理ABCABC，所以ABCABC，且.所以()2.点评空间等角定理是空间几何体中衡量角的关系的依据，考查时方向有二：一是直接利用定理判断角的关系；二是利用角的相等证明三角形相似解答时要注意角的两边是否平行及角的方向，其中方向容易被忽略，证明时要特别注意回答时要作出说明