1、31.2函数的表示法(2)内容标准学科素养1.通过具体实例，了解分段函数的概念数学抽象2.能画出简单分段函数的图象.直观想象授课提示：对应学生用书第35页教材提炼知识点分段函数函数y|x|在x0与x0时的解析式相同吗？ 知识梳理如果函数yf(x)，xA，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数自主检测1已知函数f(x)则f(2)等于()A0B.C1D2答案：C2若f(x)且f(x)1，则x()A1 B1 C1 D0答案：C3函数D(x)则其定义域为_，值域为_答案：R0,14函数y|x1|的图象关于直线_对称答案：x1授课提示：对应学生用书第35页探究一分
2、段函数的定义域、值域及求值问题例1教材P68例6拓展探究(1)若已知函数M(x)求M(3)，M(2)，MM(0)，fM(3)，FM(a)解析当x3时，M(3)(31)24.当x2时，M(2)(21)29.M(0)1，MM(0)M(1)(11)24.f(x)x1，fM(3)f(4)415.当a1时，M(a)(a1)2，fM(a)(a1)21.当1a0时，M(a)a1，fM(a)(a1)1a2.当a0时，M(a)(a1)2，fM(a)(a1)21.综上，fM(a)(2)xR，用m(x)表示f(x)、g(x)中的较小者，记为m(x)min.求m(x)的解析式，并求m(x)的值域解析由(x1)2x1得
3、x1或x0，即函数yf(x)与yg(x)的图象相交于两点(1,0)和(0,1)结合f(x)与g(x)的图象得出m(x)的解析式为m(x)如图，值域为R.1分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集2绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决3分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值探究二求分段函数解析式例2如图，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动设点P运动
4、的路程为x，APB的面积为y.求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出yf(x)的图象解析(1)按照题意，根据x的变化，写出分段函数的解析式当点P在线段BC上移动时，即0x6，BPx，于是SAPBABBP6x3x；当点P在线段CD上移动时，即6x12，SAPBABBC6618；当点P在线段DA上移动时，即12x18，SAPBABPA6(18x)543x.于是y(2)画出yf(x)的图象，如图所示求分段函数解析式的关键点(1)明确自变量x的分段区间及分段点(2)明确每一段上的函数类型用待定系数法求.若函数yf(x)的图象如图所示，则其表达式f(x)为_解析：此函数在三个区间上的图象各不相同，
5、故分别写出其在各区间内的函数表达式答案：f(x)探究三分段函数与方程、不等式例3(1)函数f(x)若f(x0)8，则x0_.解析当x02时，f(x0)x28，即x6，x0或x0(舍去)当x02时，f(x0)2x08，x04.综上，x0或x04.答案或4(2)已知函数f(x)，若f(a)3，则a的取值范围是_解析当a2时，f(a)a3，此时不等式的解集是(，3)；当2a4时，f(a)a13，此时不等式无解；当a4时，f(a)3a3，此时不等式无解所以a的取值范围是(，3)答案(，3)由分段函数的函数值求自变量的方法已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注
6、意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解将本例(1)改为：若f(x)8，求x的范围解析：当得x.当x4.x的范围为(，)(4，).授课提示：对应学生用书第36页一、形分而神不分分段函数问题的求解方法分段函数只是在自变量不同的范围下，有不同的解析式，但在定义域内，它还是一个函数，而不是多个函数，解决问题时，要“分段处理”，然后结果要合为一体典例已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_解析当a0时，1a1,1a1，所以f(1a)(1a)2aa1，f(1a)2(1a)a3a2.因为f(1a)f(1a)，所以1a3a2，所以a.当a0时，1a
7、1,1a1，所以f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1所以a(舍去)综上所述，a.答案二、不分类讨论致错典例若函数f(x)则方程f(x)1的解是()A.或2B.或3C.或4 D或4解析当1x2时，由f(x)1得，3x21，所以x或x(舍去)当2x5时，由f(x)1得，x31，所以x4.综上，f(x)1的解是x或x4.答案C纠错心得解决分段函数求值问题，要紧扣“分段”的特征，即函数在定义域的不同部分，有不同的对应关系，它不是几个函数，而是一个函数，应看成一个整体才有意义，它的定义域应是各部分x范围的并集，求值时要重视x的取值范围如本例当1x2时，求出x或x，通过检验应舍去x.