1、考点规范练49直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m1).因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即圆心(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,所以|m|5=5,即|m|=5,即m=5,故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.2.已知直线x-y+22=0与圆x2+y2-2x-2y
2、+m=0有公共点,则m的取值范围是()A.(-,1B.1,+)C.(-,-2D.-2,+)答案:C解析:由x2+y2-2x-2y+m=0,得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2-m(m2),则圆心坐标为(1,1),半径为r=2-m(m2).圆心(1,1)到直线x-y+22=0的距离d=|1-1+22|2=2,要使直线x-y+22=0与圆x2+y2-2x-2y+m=0有公共点,则dr,即22-m,解得m-2.因此m的取值范围是(-,-2.故选C.3.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.4答案:
3、D解析:圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),3+2a-11=0,解得a=4,a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=124+16=5,圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2r2-d2=25-1=4.故选D.4.(2020山东济南模拟)已知点A在圆C:(x+1)2+(y-1)2=1上,直线l:y=2x-2与两坐标轴交点分别为M,N两点,则AMN面积的最小值为()A.5-22B.5+12C.5-12D.5-52答案:
4、D解析:如图,圆C的圆心(-1,1)到直线y=2x-2的距离d=|-2-1-2|5=5,又r=1,则圆C上的点A到直线l的距离的最小值为5-1.直线l:y=2x-2与两坐标轴交点分别为M(1,0),N(0,-2),则|MN|=5.因此AMN面积的最小值为S=125(5-1)=5-52.故选D.5.一束光线从点(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是.答案:4解析:作出已知圆C关于x轴对称的圆C,如图所示.则圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为1,则最短距离d=|AC|-r=(-1-2)2+(1+3)2-1=5
5、-1=4.6.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PAPB=.答案:32解析:如图,OA=1,AP=3,又PA=PB,PB=3.APO=30.APB=60.PAPB=|PA|PB|cos60=3312=32.7.过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则直线AB的方程为.答案:2x+2y+5=0解析:将圆C的一般方程x2+y2+4x+4y+5=0化为标准方程,得(x+2)2+(y+2)2=3,其圆心为(-2,-2),半径r=3.过原点O作圆C:x2+y2+4x+4y+5=0的两条切线,设切点分别为A,B,则|PA|=|PB|=
6、8-3=5,则点A,B在圆x2+y2=5上,则直线AB的方程为圆C:x2+y2+4x+4y+5=0与圆x2+y2=5的公共弦所在的直线,又由x2+y2=5,x2+y2+4x+4y+5=0,得2x+2y+5=0,即直线AB的方程为2x+2y+5=0.8.若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.答案:4解析:由题意知,圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r=1236+16-16=3.因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=(3-1)2+(2-1)2=5,所以|AB|的最小值|AB|min=2r2-d2=29-5=4.9
7、.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求直线l的倾斜角.答案:(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1),故直线l恒过定点P(1,1).因为圆C的圆心坐标为(0,1),则12+(1-1)2=10)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为.答案:2解析:根据题意画出图形,如图所示.由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PA
8、CB=2SPBC,四边形PACB的面积的最小值为2,SPBC的最小值S=1=12rd(d是切线长),dmin=2,此时|PC|min=5.圆心到直线的距离就是PC的最小值,51+k2=5,又k0,k=2.12.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.解:因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为1或切线过原点.当切线不过原点,即k=1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于直线和圆相切,则方程有两
9、个相等的实数根,=0,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.当切线过原点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由|-k-2|k2+1=2,得k=26.所以此时切线方程为y=(26)x.综上可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.13.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平
10、行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,即圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y00),若圆C上存在点P(x,y)使得x+y+10成立,则半径r的取值范围是()A.0r522B.r522C.00)的圆心坐标为C(-2,-2),半径为r,要使圆C上存在点P(x,y)使得x+y+10成立,则C(-2,-2)到直线x+y+1=0的距离d=|-2-2+1|2=322r,即r322.故选D.