1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算集合U，A，B再计算得到答案.【详解】故
2、答案选A【点睛】本题考查了集合的交集和补集，意在考查学生的计算能力和对于集合运算的灵活运用.2. 复数（是虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】解：因为，其共轭复数的虚部为-1，选A3. 已知等差数列满足:，则（ ）A. 2B. 1C. 0D. 【答案】C【解析】在等差数列中，由:，得，故选C.4. 椭圆的焦距为，则的值等于（ ）A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】【分析】分椭圆的焦点在轴和轴两种情况讨论，结合椭圆的焦距为，得出关于实数的方程，解出即可.【详解】若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得；若椭圆的焦点在轴上时，则有，解得.综上所述，
3、或.故选：C.【点睛】本题考查利用椭圆的焦距求参数，在椭圆焦点位置未知的前提下，要注意对椭圆的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题.5. 如果数据x1，x2，xn的平均数是，方差是s2，则3x12,3x22，3xn2的平均数和方差分别是 ()A. 和s2B. 3和9s2C. 32和9s2D. 32和12s24【答案】C【解析】3x12,3x22，3xn2的平均数是32，由于数据x1，x2，xn的方差为s2，所以3x12,3x22，3xn2的方差为9s2，所以选择C【点睛】利用样本的平均数公式及方差公式可推导出如下结论：如果数据x1，x2，xn的平均数是，方差是s2，
4、则的平均数和方差分别是 和，请同学们记住这个结论. 记住如下结论6. 一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为（）A. 3B. 2.1C. 0.3D. 0.21【答案】B【解析】【分析】由,利用正态分布的对称性求得，则，利用二项分布的方差公式可得结果.【详解】，且，所以，的方差为故选B【点睛】本题主要考查正态分布的性质与二项分布的方差公式，属于中档题.有关正态分布的考查，知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）正态分布区间上的概率，关于对称，；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是正态曲线
5、的对称性以及各个区间概率之间的关系.7. 实数a，b，“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】设，根据其单调性和对数的真数为正结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】设，当时，为增函数，则由得,即，即必要性成立.当或时，或无意义，不成立.则“ ”是“”的必要不充要条件，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查函数的单调性的性质属于常考题.8. 用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为（ ）A.
6、B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：每个实数都大于的概率为，则3个实数都大于的概率为.本题选择C选项.9. 执行如图所示的框图,若输入,则输出的等于( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出的值,利用裂项相消法,即可求得答案.【详解】由程序框图可知,该程序功能是计算出输出: 故选：C.【点睛】本题考查利用程序框图输出结果,解题的关键就是利用程序框图,列出循环的每一步,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.10. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）A. B. C.
7、D. 【答案】A【解析】【分析】易知抛物线方程为，利用抛物线定义确定出A点坐标，求出A关于准线的对称点B，则，利用三点共线即可求出最值.【详解】由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，即，则抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，又点在抛物线上，不妨取点坐标，关于准线对称点的坐标为，则，即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题.11. 已知A、B分别为椭圆C：1（ab0）的右顶点与上顶点，F是
8、C的左焦点，若FBAB，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的性质结合勾股定理转化求解即可【详解】解：A、B分别为椭圆C：1（ab0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FBAB，可得：a2+b2+b2+c2（a+c）2，即：2ac2b22a22c2，可得e2+e10，解得e，e（舍去）故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力12. 若在区间1，+）上单调递增，则a的取值范围是（ ）A. （，1）B. （，1C. （1，+）D. 1，+）【答案】D【解析】【分析】根据题意，求出函数的导函数，分析可得在1，
9、+）上恒成立，进而变形可得变形可得在1，+）上恒成立，设分析其单调性，求出其最大值，据此分析可得答案【详解】由则 由在区间上单调递增，则有在上恒成立.即在上恒成立.即在上恒成立.设，易得在上为减函数,则 所以. 故选：D【点睛】本题考查利用导数分析函数的单调性，关键是求出函数的导数，属于中档题第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 给出命题“若xy=0，则x=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是_.【答案】2【解析】【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题
10、、逆否命题的真假【详解】命题“若xy=0，则x=0”为假命题，其逆命题为：“若x=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是真命题，故真命题的个数为2即答案为2.【点睛】本题考查四种命题及真假判断，注意原命题和其逆否命题同真假，属容易题14. 已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中，常数项等于_.（用数字作答）【答案】135【解析】【分析】令，可以求出的展开式中，各项系数的和，二项式系数之和为，由题意可以得到等式，这样可以求出，利用二项式展开式的通项公式，可以求出常数项.【详解】令，所以的展开式中，各项系数的和
11、为，而二项式系数之和为，由题意可知：，所以展开式的通项公式为：，令，所以展开式中常数项为：.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，理解掌握二项式展开式各项系数和与二项式系数之各的区别是解题的关键.15. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有_种【答案】20【解析】【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出详解】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选
12、支付宝或现金，故有1+C21C215，而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C21C215，此时共有5+5=10种，当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C215，而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C21C215，此时共有5+5=10种，综上故有10+1020种，故答案为20.【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题.16. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.若函数有4个零点，则实数的取
13、值范围是_【答案】【解析】【分析】根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，利用导数求得函数单调性与最值，结合图象，即可求解.【详解】由是偶函数，根据对称性，在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，等价转化为直线与曲线有两个交点，而，则当时，；当时，所以函数在上是减函数，在上是增函数，于是，且，结合图象，可得.【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的零点问题，其中解答中根据函数的奇偶性，把函数的零点转化为直线与曲线有两个交点，利用导数得出函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
14、三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知函数f（x）x1（aR，e为自然对数的底数）（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，求a的值（2）求函数f（x）的极值【答案】（1）ae；（2）当a0时，f（x）无极值；当a0时，f（x）在xlna处取到极小值lna，无极大值【解析】【分析】（1）求出f（x）的导数，依题意，f（1）0，从而可求得a的值；（2）f（x）1，分a0时a0讨论，可知f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+
15、）上单调递增，从而可求其极值；【详解】解：（1）由f（x）x1，得f（x）1，又曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线平行于x轴，f（1）0，即10，解得ae；（2）f（x）1，当a0时，f（x）0，f（x）为（，+）上的增函数，所以f（x）无极值；当a0时，令f（x）0，得exa，xlna，x（，lna），f（x）0；x（lna，+），f（x）0；f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，故f（x）在xlna处取到极小值，且极小值为f（lna）lna，无极大值综上，当a0时，f（x）无极值；当a0时，f（x）在xlna处取极小值lna，无极大值【点睛】本题考查了切线方程
16、问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题18. 学校计划举办“国学”系列讲座由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示（1）分别计算这10名同学中，男女生测试的平均成绩；（2）若这10名同学中，男生和女生的国学素养测试成绩的标准差分别为S1，S2，试比较S1与S2的大小（不必计算，只需直接写出结果）；（3）规定成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良
17、的概率【答案】(1)男生73.75；女生76；(2) S1S2(3)【解析】【分析】（1）利用平均数的计算公式，分别计算出男生女生的平均成绩.（2）由于男生成绩比较集中，女生成绩比较分散，故.（3）利用列举法列举出所有的基本事件总数，从中得出两名同学的国学素养测试成绩均为优良的事件总数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】（1）由茎叶图得男生测试的平均成绩为：=（64+76+77+78）=73.75，女生测试的平均成绩为：=（56+79+76+70+88+87）=76（2）由茎叶图观察得S1S2（3）设“两名学生的成绩均这优良”为事件A，男生按成绩由低到高依次为64，76，77，7
18、8，女生按成绩由低到高依次为56，70，76，79，87，88，则从10名学生中随机选取一男一女两名同学共有24种方取法：64，56，64，70，64，76，64，79，64，87，64，88，76，56，76，70，76，76，76，79，76，87，76，88，77，56，77，70，77，76，77，79，77，87，77，88，78，56，78，70，78，76，78，79，78，87，78，88，成绩大于等于75分为优良，其中两名均为优良的取法有12种取法，分别为：76，76，76，79，76，87，76，88，77，76，77，79，77，87，77，88，78，76，78，79，
19、78，87，78，88，则这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率【点睛】本小题主要考查茎叶图，考查利用茎叶图比较方差，考查平均数的计算，考查古典概型概率计算问题，属于基础题.19. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且（1）求证：；（2）求二面角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知
20、可得（1）证明：，所以.（2），设平面的一个法向量为，由，得，即，解得，可取设侧面的一个法向量为，由，及可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得所以.即所求二面角的大小为.考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆E：（）过点，其心率等于.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且椭圆E于点P.求证：为定值：设与以为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线经过定点.【答案】（1）；（2）见解析，见解析.【解析】【分析】（1）由题意的离心率公式和点满足题意方程，结合椭圆的，的关系解出方程，进而得到椭圆方程；（2）设，求得直线
21、的方程，代入椭圆方程，解得点的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；先求得的斜率，再由圆的性质可得，求出的斜率，再求直线的方程，即可得到定点.【详解】（1）设椭圆焦距为，所以且解得所以椭圆E方程为；（2）设，易得直线的方程为：， 代入椭圆得，由得，从而，所以.依题意，由得，则的方程为：，即，所以直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题.21. 设，函数，其导数为（1）当时，求的单调区间；（2）函数是否存在零点？说明理由；（3）设在处取得最
22、小值，求最大值【答案】（1）在的单调递减，在单调递增；（2）故时，存在唯一零点；（3）【解析】试题分析：（1）求单调区间，只要求得导数，解不等式确定增区间，确定减区间；（2），令，通过它的导数研究的单调性，然后确定函数值，从而说明有唯一零点（也可直接用零点存在定理确定，不必要研究单调性）；（3）首先确定，由（2）的唯一零点就是的最小值点，由可把用表示出来，接着计算，把用的代数式替换后得到一个的函数，然后再利用导数的知识求得最值试题解析：（1）当时，由于，且时，；时，所以在的单调递减，在单调递增（2），令，所以因为，所以，所以在单调递增因为，又所以当时，此时必有零点，且唯一；当时，而故时，存在唯
23、一零点（3）由（2）可知存在唯一零点，设零点为当时，；当时，故在的单调递减，在单调递增所以当时，取得最小值，由条件可得，的最小值为由于，所以所以设则令，得；令，得故在的单调递增，在单调递减，所以故的最大值是考点：导数与单调性，函数的零点，导数与最值【名师点睛】本题考查导数的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题首先确定函数的单调区间，方法是解不等式确定增区间，解不等式确定减区间；函数零点的存在性可以通过零点存在定理证明，关键是区间的两个端点，使，如果象本题一样还能证明函数是单调的，则只能有唯一的零点（单纯证明零点存在，不需要证明单调性）本题最难的地方在于第（3）小题，首先由（2）得
24、出零点是唯一的，即最小值点是唯一的，从而建立和参数的关系，这样就可以转化为一个变量的函数，对一元函数我们才可以利用导数求得它的最值这里还涉及到转化与化归的思想（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，若直线与曲线相切； （1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）在曲线上取两点，与原点构成，且满足，求面积的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）求出直线l的直角坐标方程为
25、y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，求出r2，曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，由此能求出曲线C的极坐标方程（2）设M（1，），N（2，），（10，20），由2sin（2），由此能求出MON面积的最大值【详解】（1）直线l的极坐标方程为，由题意可知直线l的直角坐标方程为y2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r2，曲线C的参数方程为（r0，为参数），曲线C的普通方程为（x）2+（y1）24，所以曲线C的极坐标方程为22cos2sin0，即（2）由（）不妨设M（1，），N（2，），（10，20）， 4sin（）sin（）2sinco
26、s+2 sin22sin（2），当时，故所以MON面积的最大值为2【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题选修4-5：不等式选讲 23. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，若正实数，满足，求的最小值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1），讨论，三种情况，分别计算得到答案.（2）计算，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），当时，解得，当时，故；当时，故；综上：所求不等式的解集为（2），故，故当且仅当时等号成立，故的最小值为【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.