1、习题课:简谐运动的图象及运动的周期性、对称性1.做简谐运动的单摆摆长不变,若摆球质量增加为原来的4倍,摆球经过平衡位置时速度减小为原来的一半,则单摆振动的()A.频率、振幅都不变B.频率、振幅都改变C.频率不变,振幅改变D.频率改变,振幅不变解析单摆振动的频率与摆长和所在地的重力加速度有关,与质量、振幅大小无关,题中单摆振动的频率不变;单摆振动过程中机械能守恒,振子在平衡位置的动能等于其在最大位移处的势能,因此,题中单摆的振幅改变。答案C2.一个弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动,其中有两个时刻弹簧对振子的弹力大小相等,但方向相反,那么这两个时刻弹簧振子的()A.速度一定大小相等,方向相反B.
2、加速度一定大小相等,方向相反C.位移一定大小相等,方向相反D.以上三项都不对解析由弹簧振子的运动规律知,当弹簧弹力大小相等、方向相反时,这两时刻振子的位移大小相等、方向相反,加速度大小相等、方向相反,故选项B、C正确;由于物体的运动方向在两时刻可能为同向,也可能为反向,故选项A错误。答案BC3.如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象,则下列说法正确的是()A.甲、乙两摆的振幅之比为21B.t=2 s时,甲摆的重力势能最小,乙摆的动能为零C.甲、乙两摆的摆长之比为41D.甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等解析由图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm,故选项A正确;t=2 s时
3、,甲摆在平衡位置处,乙摆在振动的最大位移处,故选项B正确;由单摆的周期公式T=2lg,得到甲、乙两摆的摆长之比为14,故选项C错误;因摆球摆动的最大偏角未知,故选项D错误。答案AB4.一简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点。t=0时刻振子的位移x=-0.1 m;t=43 s时刻x=0.1 m;t=4 s时刻x=0.1 m。该振子的振幅和周期可能为()A.0.1 m,83 sB.0.1 m,8 sC.0.2 m,83 sD.0.2 m,8 s解析若振幅A=0.1 m,T=83 s,则43 s为半周期,从-0.1 m处运动到0.1 m处,符合运动实际,4 s-43 s=83 s=T为一个周期,正
4、好返回0.1 m处,故选项A正确;若A=0.1 m,T=8 s,43 s只是T的16,不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处,故选项B错误;若A=0.2 m,T=83 s,43 s=T2,振子可以由-0.1 m处运动到对称位置,4 s-43 s=83 s=T,振子可以由0.1 m处返回0.1 m处,故选项C正确;若A=0.2 m,T=8 s,43 s=2T12,而sin 2TT12=12,即T12时间内,振子可以从平衡位置运动到0.1 m处,再经83 s又恰好能由0.1 m处运动到0.2 m处后,再返回0.1 m处,故选项D正确。答案ACD5.如图所示,光滑槽半径远大于小球运动的弧长,今有
5、两个小球同时由图示位置从静止释放,O点为槽的最低点,则它们第一次相遇的地点是()A.O点B.O点左侧C.O点右侧D.无法确定解析两球释放后到槽最低点前的运动为简谐运动且等效单摆模型,其周期T=2Rg。从释放到最低点O的时间t=T4相同,所以在O点相遇。答案A6.一质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是()A.质点振动频率是4 HzB.在10 s内质点经过的路程是20 cmC.在5 s末,质点做简谐运动的相位为32D.在t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点的位移大小相等,都是 2 cm解析由振动图象知,T=4 s,故f=0.25 Hz,故选项A错误;一个周期走4个振幅,10 s为2.
6、5个周期,故路程为422.5 cm=20 cm,故选项B正确;由图象可知,5 s末相位为2,故选项C错误;由x=2sin2t可知,1.5 s和4.5 s两时刻位移均为2 cm,故选项D正确。答案BD7.右图为某一质点的振动图象,在t1和t2两时刻(|x1|x2|)对应的质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系正确的是()A.|v1|v2|,方向相同B.|v1|a2|,方向相同D.|a1|a2|,方向相反解析在t1时刻,质点从正向最大位移处向平衡位置运动,在t2时刻,质点从平衡位置向负向最大位移处运动,故质点速度v1与v2方向相同,由于|x1|x2|,所以|v1|x2|,t1时刻回复力大于t2
7、时刻回复力,故|a1|a2|。答案AD8.如图所示,在水平地面上有一段光滑圆弧形槽,弧的半径是R,所对圆心角小于10。现在在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A,使其由静止下滑,则:(1)球由M至O的过程中所需时间t为多少?在此过程中能量如何转化(定性说明)?(2)若在MN圆弧上存在两点P、Q,且P、Q关于O对称,已测得球A由P直达Q所需时间为t,则球由Q至N的最短时间为多少?解析(1)由单摆周期公式可知,球A的运动周期T=2Rg,所以tMO=14T=2Rg。在由MO的过程中球A的重力势能转化为动能。(2)由对称性可知tOQ=12t,tOQ+tQN=14T,联立得Q至N的最短时间tQN=2Rg-12
8、t。答案(1)2Rg重力势能转化为动能(2)2Rg-12t9.下图为一弹簧振子的振动图象,求:(1)该振子简谐运动的表达式;(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内,弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的?(3)该振子在前100 s的总位移是多少?路程是多少?解析(1)由振动图象可得A=5 cm,T=4 s,=0,则=2T=2 rad/s故该振子做简谐运动的表达式为x=5sin2t cm。(2)由题图可知,在t=2 s时振子恰好通过平衡位置,此时加速度为零,随着时间的延续,位移值不断加大,加速度值也变大,速度值不断变小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大。当t=3 s时,加速度值达到
9、最大,速度等于零,动能等于零,弹性势能达到最大值。(3)振子经过一个周期位移为零,路程为54 cm=20 cm,前100 s刚好经过了25个周期,所以前100 s振子位移x=0,振子路程s=2025 cm=500 cm=5 m。答案(1)x=5sin2t cm(2)见解析(3)05 m10.弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm。某时刻振子处于B点,经过0.5 s,振子首次到达C点。求:(1)振动的周期和频率;(2)振子在5 s内通过的路程及5 s末的位移大小;(3)振子在B点的加速度大小跟它距O点4 cm处P点的加速度大小的比值。解析(1)由题意可知,振子由BC经过半个周期,即T2=0.5 s,故T=1.0 s,f=1T=1 Hz;(2)振子经过1个周期通过的路程s1=0.4 m。振子5 s内振动了五个周期,回到B点,通过的路程s=5s1=2 m,位移大小x=10 cm=0.1 m;(3)由F=-kx,F=ma可知,aBaP=FBmFPm=52。答案(1)1.0 s1 Hz(2)2 m0.1 m(3)52