1、第九章直线、平面、简单几何体19.7 直线和平面所成的角与二面角考点搜索直线和平面所成的角的概念与计算二面角、二面角的平面角的概念，平面角大小的计算高考高考猜想1.利用几何或向量方法求直线和平面所成的角、二面角的平面角.2.转化角的条件，探求角的范围.21.一个平面的斜线和它在这个平面内的_的夹角，叫做斜线和平面所成的角；如果直线和平面垂直，则直线和平面所成的角为_;如果直线在平面内或与平面平行，则直线和平面所成的角为_.2.从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的_，每个半平面叫做二面角的_.射影900两个半平面棱面3棱为l，两个平面分别为、的二面角记为_.3.一个平面
2、垂直于二面角-l-的棱且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB，O为垂足，则AOB叫做二面角-l-的_.4.从二面角-l-的棱上任取一点O，分别在二面角的两个面、内作_ 的射线OA、OB,则_为二面角的平面角.-l-平面角垂直于棱AOB4 5.从二面角-l-的一个面内取一点P，过点P作的垂线，垂足为A，过点A作棱l的垂线，垂足为B，则 _为二面角的平面角(或其补角).6.平面角是 _的二面角叫做直二面角.7.直线和平面所成的角的取值范围是_;二面角的平面角的取值范围 _.11121314PBA直角0,58.平面的斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中_.盘点指南：射影；
3、90;0;两个半平面;棱；面；-l-;平面角；垂直于棱;AOB;PBA;直角;0，;0，;最小的角151112131415最小的角6若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B.1 C.D.解：依题意，B1AB=60，如图，BB1=1tan60=，故选D.D7平面的斜线与所成的角为30，则此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为()A.30 B.60 C.90 D.150解：本题易误选D，因为斜线和内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90.C8在边长为a的正三角形ABC中，AD BC于D，沿AD折成二
4、面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为()A.30 B.45 C.60 D.90解：折起后的BCD为正三角形，故选C.C9 1.如图，四棱锥P-ABCD中，底面AB CD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点.(1)求证:平面AEF平面PAB;(2)设AB=BC，求直线AC与平面AEF所成的角的大小.题型1 求直线和平面所成的角第一课时10解法1：(1)证明：连结PE.因为PD底面ABCD，所以PDDE.又CE=ED，PD=AD=BC，所以RtBCERtPDE，所以PE=BE.因为F为PB的中点，所以EFPB.由三垂线定理，得PAAB.11所以
5、在RtPAB中，PF=AF.又PE =BE=AE，所以EFPEFA，所以EFFA.因为PB、FA为平面PAB内两相交直线，所以EF平面PAB，故平面AEF平面PAB.12 (2)不妨设BC=1，则AD=PD=1，AB=2，PA=2，AC=3.所以PAB为等腰直角三角形,且PB=2.因为F为斜边PB的中点，所以BF=1，且AFPB.又EFPB，所以PB平面AEF.连结BE，交AC于G.作GHBP交EF于H，则GH平面AEF，13所以GAH为AC与平面AEF所成的角.由EGCBGA可知，EG=GB，所以EG=EB，从而AG=AC=.由EGHEBF可知，GH=BF=.所以在RtAHG中，所以AC与平
6、面AEF所成的角为arcsin .14解法2：以D为坐标原点，DC、DA、D P所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.(1)设点A(0，1，0)，点E(a，0，0)(a0)，则点C(2a，0，0)，B(2a，1，0)，P(0，0，1)，F(a，)，所以 =(0，)，=(2a，1，-1)，=(2a，0，0).15于是，所以EFPB，EFAB.则EF平面PAB，故平面AEF平面PAB.(2)由，得a=，所以 =(，-1，0)，=(，1，-1)，=(，-，).于是，所以PBAF.又PBEF，所以PB平面AEF，16即是平面AEF的一个法向量.因为cos，=，所以异面直线AC与PB所
7、成的角为arccos .设AC与平面AEF所成的角为，则，所以所以=arcsin .故AC与平面AEF所成的角是arcsin .17点评：直线与平面所成的角，其实质就是直线与其在平面上的射影所成的角.找直线在平面上的射影是关键，然后把题中条件转化到某些三角形中去，再利用解三角形的知识求得所求角.如果用向量法来解，则关键是求平面的法向量.18如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN.(1)证明：ACNB;(2)若ACB=60，求NB与平面ABC所成的角的余弦值.19解法1：(1)证明：由已知l2MN，l2l1，MNl1=M，可得l
8、2平面ABN.由已知MNl1，AM=MB=MN，可知AN=NB且ANNB.又AN为AC在平面ABN内的射影，所以ACNB.20(2)因为RtCNARtCNB，所以AC=BC.又已知ACB=60，因此ABC为正三角形.在ABN中，AN=AB.在RtANC中，因为AC=AB，所以NC=NA，所以NC=NA=NB.21因此，N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心.连结BH，则NBH为NB与平面ABC所成的角.在RtNHB中，22解法2：如图，建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1，则有A(-1，0，0)，B(1，0，0)，N(0，1，0).(1)因为MN是l1、l2的公垂线，l2l1，所以
9、l2平面ABN，所以l2平行于z轴，故可设C(0，1，m).于是=(1，1，m)，=(1，-1，0).因为 =1+(-1)+0=0，所以ACNB.23(2)因为AC=(1，1，m)，BC=(-1，1，m)，所以又已知ACB=60，所以ABC为正三角形，AC=BC=AB=2.在RtCNB中，NB=，可得NC=，故C(0，1，).连结MC，作NHMC于H.设H(0，2)(0)，所以=(0，1-，-2)，=(0，1，2).24因为=1-2=0，所以=.由H(0，)，可得 =(0，-).连结BH，则 =(-1，).因为所以HNBH.又MCBH=H，所以HN平面ABC，则NBH为NB与平面ABC所成的角
10、.因为 =(-1，1，0)，所以252.如图，在三棱锥V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=(0).(1)求证：平面VAB平面VCD;(2)当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.题型2 求直线和平面所成的角的取值范围26解法1：(1)证明：因为AC=BC=a，所以ACB是等腰三角形.又D是AB的中点，所以CDAB.因为VC底面ABC，所以VCAB.于是AB平面VCD.而AB平面VAB，所以平面VAB平面VCD.27(2)如图，过点C在平面VCD内作CH VD于H，则由(1)知CH平面VAB.连结BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB
11、所成的角.在RtCHD中，设CBH=.在RtBHC中，CH=a sin，所以sin=sin.因为0，所以0sin1，则0sin .28又0 ，所以0 .即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围是(0，).解法2：(1)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D(，0)，V(0，0，atan).29于是=(，-atan)，=(，0)，=(-a，a，0).从而 =(-a，a，0)(，0)，即ABCD.同理，即ABVD.又CDVD=D，所以AB平面VCD.而AB平面VAB，所以平面VAB平面VCD.30
12、(2)设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n=(x，y，z).则由n =0，n =0，得.故可取n=(1，1，cot).又 =(0，-a，0)，于是.因为0 ,所以0sin1,则0sin .31又0 ，所以0 .即直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为(0，).点评：求与角有关的取值范围问题，一是可利用函数思想把所求问题转化为某参数的函数问题；二是可利用数形结合思想结合图形的某些特殊情况求得最值或范围.32如果BC平面，斜线AB与平面所成的角为，ABC=，AA 平面，垂足为A，ABC=(为锐角)，那么()A.cos=coscos B.sin=sinsin C.cos=c
13、oscos D.cos=coscos33解：作ADBC于D，连结AD.由三垂线定理得ADBD.在RtAAB中，cos=.在RtABD中，cos=.在RtABD中，cos=.所以coscos=，故选A.341.直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角(直线与平面垂直或平行(包括直线在平面内)时，成直角或0角).我们往往在斜线上取一点向平面引垂线，以形成由平面的斜线、垂线及斜线在平面上的射影组成的直角三角形.这里的关键是引平面的垂线，明确垂足的位置.35 2.求角的一般步骤是:(1)找出或作出有关的平面角；(2)证明它符合定义;(3)归到某一三角形中进行计算.为了便于记忆，可总结口诀：“一找、二证、三计算”.36求直线和平面所成的角，有时可考虑将直线或直线在平面内的射影作适当平移，再进行求解.3.设n是平面的一个法向量，AB为平面的一条斜线段，A为斜足，直线AB和平面所成的角为，则=|-n，|.37
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