1、第九章直线、平面、简单几何体1题型4 共点问题第二课时234在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点.证明：因为E是AB的中点，F是A1A的中点，连结A1B.则EFA1B，所以EFD1C且EF=D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE，D1F相交，设其交点为P.5则PCE，又CE平面ABCD，所以P平面ABCD.同理，P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1 A1=AD，根据公理3知，PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.6 2.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、AD、CD边上的点，且EF和GH相交
2、于P点，求证：A、C、P三点共线.题型5 共线问题7证明：依据题意，A、B、C为不共线三点，由这三点确定一个平面.因为E、F分别是AB、BC上的点，所以E、F在平面ABC内，从而直线EF在平面ABC内.因为点P在直线EF上，所以点P在平面ABC内.同理，点P在平面ACD内.8所以点P是平面ABC和平面ACD的一个公共点.因为平面ABC平面ACD=AC，所以点P在直线AC上，即A、C、P三点共线.点评：证多点共线问题，一般先取过两点的直线，然后证其他点在这条直线上；也可证明这些点均在两个平面的交线上.9在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1相交于O点，直线AC和BD相交
3、于点M.求证：C1、O、M三点共线.10证明：因为AA1CC1，所以AA1和CC1确定一个平面.显然，C1、O、M三点都在平面AA1C1C内.又C1、O、M三点都在平面BC1D内，所 以 C1、O、M三 点 在 平 面AA1C1C和平面BC1D的交线上，即三点共线.11 3.已知三条直线a、b、c两两互相平行，且分别与直线l相交于A、B、C三点，证明：四条直线l、a、b、c共面.证明：因为ab，bc，故设由a、b确定的平面为，由b、c确定的平面为.因为la=A，lb=B，而A，B，所以l.同理，l.题型6 共面问题12点评：证明直线共面通常的方法是：由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线
4、都在此平面内(纳入法)；过某些直线作多个平面，然后证明这些平面重合(重合法)；也可利用共面向量定理来证明.13求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点Pd，由d和其外一点可确定一个平面.又ad=A,所以点A,所以直线a.同理可证：b、c,所以a、b、c、d共面.14(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点,因为ab=Q,所以a与b可确定一个平面.又cb=E,所以E,同理ca=F,所以F,所以直线c上有两点E、F在内,所以c.同理可证：d,故a、b、c、d共面.由(1)(2)知：两两相交且不通过同一点的四条直线必共面.15对于空间五个不同的
5、点，若任意四点都是共面的，求证：这五个点必共面.证明：设五个点分别为A、B、C、D、E，且A、B、C、D四点在平面内，A、B、C、E四点在平面内.(1)若A、B、C三点不共线，则平面、有三个不共线的公共点，所以与重合，从而五点共面.(2)若A、B、C三点共线，设所在直线为l.依据题意，A、B、D、E四点共面，则直线l在这个平面内，从而C点也在该平面内，故有五点共面.161.证明若干个点共线，常转化为证明这些点都是某两个平面的公共点，再根据公理2，这些点都在这两个平面的交线上，从而共线.2.证明若干条直线共点与证明若干个点共线是同一类问题，都可以转化为证明“点在直线上”(两条直线的交点在第三条直线上).173.证明某些点或直线共面，常用两种方法：一是先由其中的某些点或直线确定一个平面，再证其他点或直线都在这个平面内；二是先由其中的某些点或直线确定两个平面、，再证、重合.18
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