1、第六章平面向量及其应用考试时间120分钟，满分150分.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中正确的是(D)AB0C00D解析起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，0；002如图，ab等于(C)A2e14e2B4e12e2Ce13e2D3e1e2解析abe13e23设O，A，M，B为平面上四点，(1)，且(1,2)，则(B)A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO，A，B，M四点共线解析，所以()，由(1,2)可知，A，B，M三点共线，且B在线段A
2、M上.4已知a、b、c分别是ABC三个内角A、B、C的对边，b，c，B，那么a等于(C)A1B2C4D1或4解析在ABC中，b，c，cosB，由余弦定理有b2a2c22accos B，即7a233a，解得a4或a1(舍去).故a的值为45(2019安徽江淮十校最后一卷)已知向量a(1,2)，b(2,3)，c(4,5)，若(ab)c，则实数(C)ABC2D2解析ab(1,2)(2，3)(12，23)，由(ab)c，可得(12)4(23)50，解得26在ABC中，已知sin2Asin2BsinAsinBsin2C，且满足ab4，则该三角形的面积为(D)A1B2CD解析由sin2Asin2Bsin
3、Asin Bsin2C，得a2b2abc2，cos C.C(0，180)，C60.sin C，SABCabsin C.7在ABC中，B60，C45，BC8，D为BC上一点，且，则AD的长为(C)A4(1)B4(1)C4(3)D4(3)解析由题意知BAC75，根据正弦定理，得AB8(1)，因为，所以BDBC.又BC8，所以BD4(1).在ABD中，AD4(3).故选C8如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是(D)A2B0C1D2解析由平行四边形法则得2，故()2，又|2|，且，反向，设|t(0t2)，则()22t(2t)2
4、(t22t)2(t1)21.0t2，当t1时，()取得最小值2，故选D二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9设向量a，b满足：|a|3，|b|4，ab0，以a，b，ab的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是(ABC)A0或1B2或3C4D6解析由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC10已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(AB)Am(ab)m
5、ambB(mn)amanaC若mamb，则abD若mana，则mn解析对于A和B属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C，若m0，则不能推出ab，错误；对于D，若a0，则m，n没有关系，错误.故选AB11对于ABC，有如下命题，其中正确的有(ACD)A若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形B若sin Acos B，则ABC为直角三角形C若sin2Asin2Bcos2C1，则ABC为钝角三角形D若AB，AC1，B30，则ABC的面积为或解析对于A，sin2Asin2B，ABABC是等腰三角形；对于B，由sin Acos B，AB或AB.ABC不一定是直角三角形，B错误；对于C，sin2A
6、sin2B1cos2Csin2C，a2b2b，C60或C120，A90或A30，SABCbcsin A或，D正确.故选ACD12给出下列四个命题，其中正确的选项有(ABC)A非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角是30B若()()0，则ABC为等腰三角形C若单位向量a，b的夹角为120，则当|2axb|(xR)取最小值时x1D若(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，ABC为锐角，则实数m的取值范围是m解析A中，令a，b.以，为邻边作平行四边形OACB.|a|b|ab|，四边形OACB为菱形，AOB60，AOC30，即a与ab的夹角是30，故A正确；B中，()()0，|2|2，故
7、ABC为等腰三角形，故B正确；C中，(2axb)24a24xabx2b244xcos 120x2x22x4(x1)23，故|2axb|取最小值时x1故C正确；D中，(3，4)(6，3)(3，1)，(5m，3m)(6，3)(1m，m)，又ABC为锐角，0，即33mm0，m.又当与同向共线时，m，故当ABC为锐角时，m的取值范围是m且m，故D不正确.故选ABC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c_.解析由题意，得cosa，c.14设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|
8、2|c|2的值是_4_.解析由于ab，由此画出以a，b为邻边的矩形ABCD，如图所示，其中，a，b，abc0，c，ab.(ab)c，矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD为正方形.|a|b|1，|c|，|a|2|b|2|c|2415(2018浙江，13)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，A60，则sinB_，c_3_.解析由正弦定理，得，得sinB，由余弦定理，得cosA，解得c316(2020江西弋阳一中高二月考)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知(abc)(abc)3ab，且c4，则ABC面积的最大值为_4_.解析(abc)(abc)(
9、ab)2c2a22abb2c23ab，a2b2c2ab.又a2b2c22abcosC，2abcosCab，cosC，C(0，)，C.由余弦定理，得c2a2b22abcosC，16a2b22abcosa2b2ab2ababab，ab16ABC面积的最大值SabsinC16sin4.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a4，cosA，sinB，c4(1)求b；(2)求ABC的周长.解析(1)因为a4，cosA，sinB，所以sinA，所以由正弦定理可得：b5(2)因为由余弦定理可得：
10、a2b2c22bccosA，可得：1625c225c，整理可得：2c215c180，解得：c6或(由c4，舍去)，所以ABC的周长abc4561518(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值.解析(1)(3,5)，(1,1)，求两条对角线的长即求|与|的大小.由(2,6)，得|2，由(4,4)，得|4.(2)(2，1)，(t)t2，易求11，25，由(t)0得t.19(本小题满分12分)(2020全国卷理)ABC中，sin2Asin2Bsin2C
11、sinBsinC.(1)求A；(2)若BC3，求ABC周长的最大值.解析(1)由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosA，由，得cosA.因为0A，所以A.(2)由正弦定理及(1)得2，从而AC2sinB，AB2sin(AB)3cosBsinB.故BCACAB3sinB3cosB32sin.又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值32.20(本小题满分12分)ABC是等腰直角三角形，B90，D是边BC的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，连接DF，求证：ADBFDC.解析如图，B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0
12、,2)，C(2,0)，则D(1,0)，(2，2).设，则(0,2)(2，2)(2，22).又(1,2)，0，22(22)0，.(，)，(，).又(1,0)，cosADB，cosFDC，又ADB，FDC(0，)，ADBFDC.21(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 n mile的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10 n mile，问乙船每小时航行多少n mile?解析解法一：如图，连接A1
13、B2，由题意知A2B210 n mile，A1A23010 n mile.所以A1A2A2B2又A1A2B218012060，所以A1A2B2是等边三角形.所以A1B2A1A210 n mile.由题意知，A1B120 n mile，B1A1B21056045，在A1B2B1中，由余弦定理，得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos45202(10)222010200所以B1B210 n mile.因此，乙船速度的大小为6030(n mile/h).答：乙船每小时航行30 n mile.解法二：如下图所示，连接A2B1，由题意知A1B120 n mile，A1A23010 n mile，B1
14、A1A2105，又cos105cos(4560)cos45cos60sin45sin60，sin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60，在A2A1B1中，由余弦定理，得A2BA1BA1A2A1B1A1A2cos105202(10)222010100(42)，所以A2B110(1)n mile由正弦定理，得sinA1A2B1sinB1A1A2，所以A1A2B145，即B1A2B2604515，cos15sin105.在B1A2B2中，由题知A2B210 n mile，由余弦定理，得B1BA2BA2B2A2B1A2B2cos15102(1)2(10)2210(1)1020
15、0，所以B1B210 n mile，故乙船速度的大小为6030(n mile/h).答：乙船每小时航行30 n mile.22(本小题满分12分)已知向量a(2sinx,1)，b(2，2)，c(sinx3,1)，d(1，k)，(xR，kR).(1)若x，且a(bc)，求x的值；(2)若函数f(x)ab，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.解析(1)bc(sinx1，1)，又a(bc)，(2sinx)sinx1，即sinx.又x，x.(2)a(2sinx,1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sinx)22sinx2又xR，当sinx1时，f(x)有最小值，且最小值为0(3)ad(3sinx,1k)，bc(sinx1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sinx)(sinx1)(1k)0，ksin2x2sinx4(sinx1)25由sinx1,1，5(sinx1)251，得k5，1.存在k5，1，使得(ad)(bc).