1、第五章平 面 向 量15.2 向量的字符运算考点搜索平面向量的数量积平面向量数量积的重要性质两个向量垂直的充要条件常用的模的等式和不等式高考猜想字符运算是向量的核心内容，是高考的一个重要命题点.2一、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，=_，当且仅当a、b反方向时，=_，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.018032.如果a，b的夹角为_，则称a与b垂直，记作_.3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即_.规定
2、0a=_.当ab时，=_，这时ab=_.二、ab的几何意义 1.一个向量在另一个向量方向上的投影.90ab|a|b|cosab=|a|b|cos09004设是a与b的夹角，则_称作a在b方向上的投影.11 _称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当 12 _时，它是正数；当 13_时,它是负数；当=90时,它是零.2.ab的几何意义.ab等于 14 _与b在a方向上的投影的乘积.3.ab的性质.设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：|a|cos|b|cos09090180|a|5 (1)ea=ae=|a|cos;(2)ab15 _;(3)当a与b同向时，ab=
3、16 _；当a与b反向时，ab=17 _；特别地，aa=a2=|a|2，或|a|=18 _;(4)cos=19 _;(5)|ab|a|b|.ab=0|a|b|-|a|b|6盘点指南：0;180;90;ab;|a|b|cos;ab=|a|b|cos;0;90;0;|a|cos;11|b|cos;12 090;13 90180;14|a|;15 ab=0;16|a|b|;17-|a|b|;18 ;197已知向量a和b的夹角为120,|a|=1,|b|=3，则|5a-b|=_.解：所以|5a-b|=7.78若a,b,c为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B
4、.(a+b)c=ac+bc C.m(a+b)=m a+mb D.(ab)c=a(bc)解：A、B、C是运算律，而ab=R,bc=R,所以(ab)c=a(bc)不一定成立.故选D.D9在ABC中，已知向量与满足且则ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等边三角形D.等边三角形解：在ABC中，(M在BAC的平分线上)，10由知所以，则ABC是等腰三角形；因为所以则BAC=60，所以ABC是等边三角形.故选D.111.在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_.解：设所以故填-2.题型1 向量的数量积运算12点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量
5、的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.13已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，cd？解：要使cd，即cd=0，即(5a+3b)(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)ab+3kb2=0，所以154+(9+5k)23cos +3k9=0，解得k=.所以当k=时，c与d垂直.14 2.已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)(a+b).解：依题意得ab=|a|b|cos=42cos120=-4.(1)因为
6、|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2 =|a|2+2ab+|b|2=42+2(-4)+22=12，所以|a+b|=题型2 向量的模15 (2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24ab+16b2 =1619，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)(a+b)=a2-2ab+ab-2b2 =42-(-4)-222=12.点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.16已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.(1)求证：(a-b)c；(2)若|ka+b
7、+c|1(kR)，求k的取值范围.解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之间的夹角均为120，所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos120-|b|c|cos120=0,所以(a-b)c=0，所以(a-b)c.17 (2)解法1：因为|ka+b+c|1，即|ka+b+c|21，即k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1,因为ab=bc=ac=-，所以k2-2k0，所以k2.解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|1(kR)|k-1|1k2.183.已知向量a、b、c两两所夹的角都为120
8、,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c与a的夹角.解：由已知得(a+b+c)a=a2+ab+ac =1+12cos120+13cos120=，又|a+b+c|2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc =1+4+9+212cos120+213 cos120+223cos120=3，题型3 向量的夹角19所以|a+b+c|=.设a+b+c与a的夹角为，则又0，所以=.故向量a+b+c与a的夹角为.20点评：求两向量的夹角，就是先利用数量积与模的积之比求得夹角的余弦值，而数量积与模的积又是通过基本向量之间的和、差、数量积运算而求得，这正体现了运算的综合性与交互性.212223241.向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题.2.向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积进行运算.25在字符运算中求向量的夹角，一般先利用数量积的定义求夹角的余弦，再根据夹角的范围求向量的夹角.3.通过向量的字符运算求值时，要注意利用方程思想求解，即把所求的量看作一个未知数，通过解方程求这个未知数的值.它在求数量积、参数值、夹角、模等问题中有着广泛的应用.26
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