1、抛物线要点梳理 1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_相等_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_焦点_，直线l叫做抛物线的_准线_注：当定点F在定直线时，动点的轨迹是过点F与直线垂直的直线。2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22p x (p0)x22py(p0)x22py (p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：
2、有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。所以p恒为正数（4）抛物线焦点的判定，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。（5）由抛物线的定义，可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简基础自测 1求适合下列条件的抛物线方程 顶点在原点，关于 x轴对称，并且经过点M(5,-4) . 顶点在原点，焦点是F(0,5). 顶点在原点，准线是x=4. 焦点是F(0,-8)，准线是y=8. 2焦点到准线的距离是2标准方程是 过点的抛物线的标准方程是 焦点在上的抛物线的标准方程是 3抛物线的准线方程是，
3、则=_.4、抛物线的顶点坐标是 ，焦点坐标是 ，准线方程是 ，离心率是 ，通径长 5、已知抛物线方程为标准方程，焦点在 y轴上，抛物线上一点M(a,-4)到焦点 F的距离为5，则抛物线方程为 ， a的值等于 . 6设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是 () A4 B6 C8 D127已知AB是抛物线y22x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是 答案：8设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A B2,2 C1,1 D4,4【解析】选C.设直线方程为y=k(x+2)，与抛物线联立方程组，
4、整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时，直线与抛物线有一个交点当k0时，由=64-64k20，解得-1k1且k0.综上-1k1.9动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ y24x _10若抛物线上两点 关于直线对称，则，则 答案： 提示：AB的中点在直线上题型一抛物线的标准方程及几何性质例1如图，已知抛物线y2=2px (p0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方， A到抛物线准线的距离等于5过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M(1)求抛物线方程；(2)过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解(1)抛物线y22px (p0)的准线为x，
5、于是45，p2.抛物线的标准方程为y24x.(2)由(1)得点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)，F(1,0)，kFA.MNFA，kMN.则FA所在直线的方程为y(x1) MN所在直线的方程为y2x.解方程组，得.N.探究提高(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值(2)有关抛物线标准方程的问题，在审题时一般是一看轴，二看开口方向抛物线的标准方程有四种，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为x2ay (a0)或y2ax (a0)，然后利用待定系数法和已知条件求解(3)
6、涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征变式训练1（1）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程点A(m，3)的纵坐标为3，即点A在x轴下方，故开口方向不能向上但横坐标m不确定，因而应对抛物线的开口方向分向下、向左、向右三种情况讨论解若抛物线开口方向向下， 设抛物线方程为x22py (p0)，这时准线方程为y，由抛物线定义知(3)5，解得p4，抛物线方程为x28y，这时将点A(m，3)代入方程，得m2若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y22ax
7、 (a0)，从p|a|知准线方程可统一成x的形式，于是从题设有，解此方程组可得四组解，y22x，m；y22x，m；y218x，m；y218x，m综上所述，所求结果为：y22x，m；y22x，m；y218x，m；y218x，m；x28y，m2（2）如图，已知抛物线y2=2px (p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线方程解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0或x.A点坐标为，B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得解方程组得k664，即k24.则p2.又p0，则p，故所求抛物线方程为y2x.（3）
8、设抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，A、B、C为抛物线上三点，F为抛物线的焦点.已知直线AB的方程为4x+y-20=0，且点F为ABC的重心，求此抛物线的方程.解：设抛物线方程为y2=2px(p0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).由 消去x得即2y2+py-20p=0，所以y1+y2= ，从而 因为点F( ，0)是ABC的重心，所以 于是 得因为点C(x3，y3)在抛物线上，所以y32=2px3，即 解得p=8.故所求抛物线的方程是y2=16x. （4）如图,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的
9、方程为( ) A. B. C. D. 题型二抛物线的定义及应用例2已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径解：将x3代入抛物线方程y22x，得y.2，A在抛物线内部设抛物线上点P到准线l： x的距离为d，由定义知|PA|PF|PA|d，当PAl时，|PA|d最小，最小值为，即|PA|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，点P坐标为(2,2)探究提高重视定义在解题中的
10、应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径变式训练2（1） 已知点P是抛物线y22x上的动点，点P到准线的距离为d，且点P在y轴上的射影是M，点A，则|PA|PM|的最小值是 ()A B4 C D5设抛物线y22x的焦点为F，则F，又点A在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x，则|PM|d，又|PA|d|PA|PF|AF|5，所以|PA|PM|. C（2）已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ()A. B1C. D.解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴
11、的距离为：(|AF|BF|).答案：C（3）已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是 ()A5 B8C.1 D.2解析：抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线的距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.答案：C题型三直线与抛物线的位置关系设抛线方程为,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,1直线与抛物线公共点(1)若m0,当0时,直线与抛
12、物线有两个公共点;当=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当0时,直线与抛物线没有公共点.(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.2.焦点弦问题已知AB是过抛物线的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则 (1) y1y2p2, x1x2；证明(1)y22px (p0)的焦点F，设直线方程为yk (k0)，由，消去x，得ky22pykp20.y1y2p2，x1x2，当k不存在时，直线方程为x，这时x1x2.因此，x1x2恒成立（2）若F为抛物线焦点，则有.又x1x2，代入上式得常数，所以为定值（3）（4）； (5)以AB为直径的圆与抛物
13、线的准线相切。解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于是M到l的距离d(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)|AB|半径，故相切例3已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x1所得的弦长为，求抛物线方程解设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px (p0)，则，消去y得，4x2(2p4)x10，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|，则 ，p24p120，解得p6(p2舍去)，抛物线方程为y212x.(2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程
14、为y22px (p0)，仿(1)不难求出p2，此时抛物线方程为y24x.综上可得，所求的抛物线方程为y24x或y212x.探究提高(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式变式训练3 （1）已知曲线C:点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使其不被曲线C挡住,则实数a的取值范围是( ) A.B. C.D. （2）已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|
15、FA|FB|的值等于 ()A4 B8C8 D16解：依题意F(2,0)，所以直线方程为yx2由，消去y得x212x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|(x12)(x22)|x1x2|8.答案：C（3）已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，故.由1，2，得y11y1，y22y2，整理得11，21，所以122()220，为定值2已知点A(1,0)，B(1，1)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量与的夹角为，求POM的面积解：设A P
16、直线为 M(，y1)，P(，y2)，y1y24. y1y25.向量 与 的夹角为，| | |cos5.SPOM| | | | sin.题型5 最值与范围问题例5在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)，B点在直线y3上，M点满足， ，M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值解：(1)设M(x，y)由已知得B(x，3)，A(0，1)所以 (x，1y)， (0，3y)，(x，2)再由题意可知( )0，即(x，42y)(x，2)0.所以曲线C的方程为yx22.(2)设P(x0，y0)为曲线C：yx22上一点，因为yx，所以l的斜率为
17、x0.因此曲线l的方程为yy0x0(xx0)，即x0x2y2y0x0.则O点到l的距离d.又y0x2，所以d()2，当x00时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.点评：最值与范围问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值与范围.一般涉及到参变量问题，应先把所求的问题转化为某参数的代数式(或函数式)，然后利用求最值的方法求解.注意最值与特殊情况时的取值之间的联系. 变式训练51抛物线上的点到直线距离的最小值是 解：（1）设抛物线上一点为(m，m2)，该点到直线的距离为
18、，当m=时，取得最小值为，选A；2对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|a|，则a的取值范围是 （，2 解设点Q的坐标为（，y0），由 |PQ|a|，得y02+（a）2a2.整理，得：y02（y02+168a）0，y020，y02+168a0.即a2+恒成立.而2+的最小值为2，a2.3.已知直线:4x-3y+6=0和直线:x=-1,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是( ) A.2B.3 C. D. 答案:A 解析:直线:x=-1为抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线上找一个点P,使得P到点F
19、(1,0)和直线的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线:4x-3y+6=0的距离,即故选A. 题型6 探究或证明抛物线的有关性质 例6已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1. (1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由 解:由已知曲线C上任意一点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等，所以曲线C是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2=4x(x0)(2)设过点M(m,0)的直线l与曲线C交于A(x
20、1，y1)，B(x2，y2)，l的方程为x=ty+m由此可见存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有 ，且m的取值范围是(3-2， 3+2 )变式训练61 A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)求证：直线AB过定点证明：因为yy(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)，又x1x2，所以.所以直线AB的方程为yy1(xx1)(x)，所以yxy1xx(x2p)所以直线AB过定点(2p,0)2过抛物线y22px (p0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O为坐标原点，问：是否存在实数，使？解假设存在实数
21、，使.抛物线方程为y22px (p0)，则F，准线l：x，(1)当直线AB的斜率不存在，即ABx轴时，交点A、B坐标不妨设为：A，B.BDl，D，存在1使. (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk (k0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D，x1，x2，由得ky22pykp20，y1y2p2，y2，(x1，y1)，假设存在实数，使，则，解得，存在实数，使.综上所述，存在实数，使.抛物线练习（1）一、选择题1抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ()A B C. D.解析：抛物线方程可化为x2，其准线方程为y.设M(x0，y0)，则由抛物线的定义，可
22、知y01y0.答案：B2已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.3设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为，那么|PF|等于()A4 B8 C8 D164从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为()A5 B10 C20 D.5设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|等于 ()A9 B6 C4 D36已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的
23、垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为 ()A(2,2) B(2，2) C(2，) D(2，2)7将两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()An0 Bn1 Cn2 Dn3如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(，0)，设A(m，)(m0)，则由抛物线定义， |AF|AA1|，即m|AF|.又|AF|AB|2，m2，整理，得m27pm0，(7p)2448p20，方程有两相异实根，记为m1，m2，且m1m27p0，m1m20，m10，m20，n2.二、填空题8设抛物线y22px(p0)的焦点为F，
24、点A(0，2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析抛物线的焦点F的坐标为，线段FA的中点B的坐标为，代入抛物线方程得12p，解得p，故点B的坐标为，故点B到该抛物线准线的距离为.9若抛物线的焦点在直线x2y40上，则抛物线的标准方程是_ y216x或x28y _10若点P到直线y1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是_ x212y _11以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y4，则圆心为(0,4)，半径r8.所以，圆的方程为x2(y4)264.答案：x2(y4)264三、解答题12
25、已知抛物线C：x28y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ.证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216抛物线方程为yx2，求导得yx.所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21.所以AQBQ.13已知定点F(0,1)和直线l1：y1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值解(1)
26、由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意直线l2的方程为ykx1，与抛物线方程联立消去y得x24kx40.记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24.因为直线PQ的斜率k0，易得点R的坐标为.(kx12)(kx22)(1k2)x1x2(x1x2)44(1k2)4k448，k22，当且仅当k21时取到等号42816，即的最小值为16. 14.设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若|AB|1.(
27、1)求点P的轨迹方程； (2)求证：MNP的面积为一个定值，并求出这个定值 (1)解设M(m，m2)，N(n，n2)，则依题意知，切线l1，l2的方程分别为y2mxm2，y2nxn2，则A，B，设P(x，y)，由得， 因为|AB|1，所以|nm|2，即(mn)24mn4，将代入上式得： yx21，点P的轨迹方程为yx21.(2)证明设直线MN的方程为ykxb (b0)联立方程，消去y得x2kxb0，所以mnk，mnb， 点P到直线MN的距离d，|MN|mn|，SMNPd|MN|mn|(mn)2|mn|2.即MNP的面积为定值2.抛物线练习（2）一、选择题1设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦
28、点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，) B(1，2) C(1,2) D(2，)2已知抛物线y22px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定3已知抛物线y22px (p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3| B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C2|FP2|FP1|FP3| D|FP2|2|FP1|FP3|4已知抛物线方程为y22px (p0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM
29、、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么MFN必是()A锐角 B直角C钝角 D以上皆有可能5.抛物线y2=4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)4个【解析】选C.由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此共有2个满足条件的圆6.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于( )（A）3 （B
30、）4 （C） （D）【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中点M（，）又M（，）在直线x+y=0上，可求出b=1,x2+x-2=0,则|AB|=.二、填空题7设O是坐标原点，F是抛物线y22px (p0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60，则|_p _.8设抛物线y22px (p0)的焦点为F，准线为l，点A(0,2)，连接FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AMMF，则p的值为_9已知A、B是抛物线x24y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|_.解析由题意可设A
31、B的方程为ykxm，与抛物线方程联立得x24kx4m0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1x24k4，得k1.又y1y2k(x1x2)2m4，m0.从而直线AB：yx，|AB|2|OM|4.三、解答题10已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足0，(1)求动点P的轨迹方程；(2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点，97，其中Q(1,0)，求直线l的方程解(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)；则(8，b)，(x，yb)，(c，b)，(xc，y)8xb(yb)0.由，得by代入得y24x.动点P的轨迹方程为y24x.(2)当直线l的斜率不存在时，x8与抛
32、物线没有交点，不合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l：yk(x8)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)，由97，得(x11)(x21)y1y297.即x1x2x1x21k2(x18)(x28)97，(1k2)x1x2(18k2)(x1x2)164k297.将yk(x8)代入y24x得k2x2(416k2)x64k20.x1x2，x1x264.代入式得： 64(1k2)(18k2)164k297.整理得k2，k.l的方程为y(x8)，即x2y80或x2y80.11已知定点A(1,0)和直线x1上的两个动点E，F，且，动点P满足，(其中O为坐标
33、原点)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若0，求直线l的斜率的取值范围 解(1)设P(x，y)，E(1，yE)，F(1，yF)(2，yE)(2，yF)yEyF40，yEyF4， 又(x1，yyE)，(1，yF)，且，yyE0且x(yF)y0，yEy，yF，代入得y24x(x0)，动点P的轨迹C的方程为y24x(x0)(2)设l：y2kx(易知k存在)，联立y24x消去x，得ky24y80，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，(x11，y1)(x21，y2)x1x2(x1x2)1y1y21y1y2y1y
34、2110，12k0，则实数k的取值范围为(12,0)12如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B；折痕与AB交于点E，以EB和EB为邻边作平行四边形EBMB.若以B为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图）： (1)求点M的轨迹方程；(2)若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形A1B1C1D1的三边A1B1,B1C1,C1D1分别与曲线S切于点P,Q,R.求梯形A1B1C1D1面积的最小值.【解析】(1)如图，设M（x,y），B(x0,2)显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程
35、为y=kx+b,即E（0，b）,则kBB=k=而BB的中点(,1)在直线l上，故()+b=1b=1+，由于= + (x,y-b)=(0,-b)+(x0,2-b)代入即得y=+1，又0x02，点M的轨迹方程y=+1（0x2）.(2)易知曲线S的方程为y=+1(-2x2),设梯形A1B1C1D1的面积为s，如图，点P的坐标为(t, -t2+1)(0t2).由题意得，点Q的坐标为(0,1)，直线B1C1的方程为y=1.因y=+1，y=，y|x=t=,直线A1B1的方程为y-()=(x-t),即：y=，令y=0，得，x=,A1(,0).令y=1得，x=t，B1(t,1)，s=，当且仅当t=，即t=时取
36、“=”，且(0,2,故t=时，s有最小值为.梯形A1B1C1D1的面积的最小值为13如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为 直线y= -2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.（）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以由、得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当x0
37、=2时，将其代入、并整理得： 所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为设直线AB的方程为由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得若D（x3,y3）在抛物线上，则因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时又ABCD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.
