1、第三章数列13.3 等比数列考点搜索等比数列的概念等比数列的判定方法等比数列的性质有关等比数列的综合应用高考猜想以选择题形式考查等比数列的基础知识，和函数、不等式、向量交汇考查等比数列的综合应用.2一、等比数列的判定与证明方法 1.定义法:_.2.等比中项法:_.3.通项公式法：_.二、等比数列的通项公式 1.原形结构式：an=_.2.变形结构式：an=am_.(nm)(常数)，nN*an2=an-1an+1,n2,nN*nN*a1qn-1，nN*qn-m3三、等比数列的前n项和公式若等比数列an的首项为a1，公比为q，则Sn=_=_.四、等比数列的常用性质 1.等比数列an中，m、n、p、q
2、N*，若m+n=p+q，则aman_apaq.(填“”，“=”，“”)=42.等比数列an中，Sn为其前n项和，q为公比，当n为偶数时，S偶=S奇_.3.公比不为1的等比数列an中，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k_.五、若a，c同号，则a，c的等比中项为11_.六、等比数列中的解题技巧与经验 1.若an是等比数列，且an0(nN*)，则logaan是 12 _数列，反之亦然.q成等比数列等差数列5 2.三个数成等比数列可设这三个数为13_，四个正数成等比数列可设这四个数为14 _.盘点指南：(常数),nN*;an2=an-1an+1,n2,nN*;nN*;a1qn-1,nN*;qn-m;=
3、;q;成等比数列；11 ;12 等差数列；13 ,a,aq;14 ,aq,aq3a,aqaq,aq36c782.已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a52，a2=1,则a1=()解：设公比为q,由已知得a1q2a1q8=2(a1q4)2,故q2=2.又因为等比数列an的公比为正数，所以故故选B.B9 3.已知an是等比数列，a2=2,a5=，则a1a2+a2a3+anan+1=()A.16(1-4-n)B.6(1-2-n)C.(1-4-n)D.(1-2-n)解：设数列an的公比为q.由an是等比数列，知anan+1也是等比数列且公比为q2.又a2=2,a5=，所以a5a2=q3=，所以
4、q=,则a1=4.所以a1a2+a2a3+anan+1=(1-4-n).故选C.C101.已知等比数列an中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126，求项数n和公比q的值.解:因为an是等比数列,所以a1an=a2an-1，所以解得或若a1=2，an=64，则2qn-1=64,所以qn=32q.题型1 a1，q，n，Sn，an中“知三求二”第一课时11由解得q=2，于是n=6;若a1=64，an=2，则64qn-1=2,所以qn=q.由解得q=，n=6.点评：首项和公比是等比数列中的两个基本量，求这两个基本量的方法一是利用方程的思想得基本量的方程(组)，然后求解即可；二是利用求q
5、,利用an=amqn-m求通项公式.12在等比数列an中，a3-a1=8，a6-a4=216，Sn=40，求公比q，a1及n.解：显然公比q1，由已知可得：解得13 2.(1)已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-pcn为等比数列，求常数p;(2)证明：(1)中数列cn不是等比数列.解：(1)解法1：因为cn+1-pcn是等比数列，故有(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1).将cn=2n+3n代入上式，得2n+1+3n+1-p(2n+3n)2=2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)2n+3n-p(2n-1+3n-1)，题型2 等比数列中的证明问
6、题14即 (2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1，整理得 (2-p)(3-p)2n3n=0，解得p=2或p=3.解法2：因为cn+1-pcn是等比数列，故存在非零常数q使得对n2都成立.将cn=2n+3n代入化简得(4-2p-2q+pq)2n-1+(9-3p-3q+pq)3n-1=0,所以解得p=3或p=2.15解法3：cn+1-pcn=2n+1+3n+1-p2n-p3n，故c2-pc1=13-5p，c3-pc2=35-13p，c4-pc3=97-35p.由题意可知(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)，解得p
7、=3或p=2.当p=2时，cn+1-pcn=3n，符合题意;当p=3时，cn+1-pcn=-2n，也符合题意.从而p=3或p=2.16 (2)要证cn不是等比数列只需证c22c1c3.事实上，c22=(22+32)2=169,c1c3=(2+3)(23+33)=175,因此，c22c1c3,故cn不是等比数列.点评：判断一个数列是等比数列或处理相关问题,基本解法是定义法和等比中项法,如(1)中的解法1和解法2,解法3用了特殊值探路,一般化证明的思路,符合人们认识问题的一般规律,也是一种一般解法.(2)中否定一个命题只需要举一个反例就够了,若在证明过程中采用否定cn2cn-1cn+1的形式，就会
8、使问题复杂化.17设数列an的前n项和为Sn，已知数列Sn是等比数列，且公比q1，试判断an是否为等比数列.解：由已知Sn=S1qn-1=a1qn-1.所以,当n2时,an=Sn-Sn-1=a1qn-2(q-1)，所以又所以数列an不是等比数列.18已知数列an为正项等比数列，它的前n项和为80，其中数值最大的项为54，前2n项的和为6560，试求此数列的首项a1和公比q.解：因为S2n2Sn，所以q1.依题设，有得1+qn=82，即qn=81.所以q1，故前n项中an最大.19将qn=81代入，得a1=q-1.又an=a1qn-1=54，所以81a1=54q.联立解得a1=2，q=3.201.已知a1、an、q、n、Sn中的三个量，求其他两个量归结为解方程组问题.2.本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公比q这两个“特征数”进行运算.3.运用等比数列的求和公式时，需对q=1和q1进行讨论.21
