1、第二章函数12.9 指数函数与对数函数第二课时题型4 对数函数综合问题1.设a、bR，且a2，定义在区间(-b，b)内的函数f(x)=是奇函数.(1)求b的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性.2解：(1)函数f(x)=在区间(-b,b)内是奇函数等价于对任意x(-b,b)都有因为f(-x)=-f(x)，即由此可得即a2x2=4x2.上式对任意x(-b，b)都成立相当于a2=4，因为a2，所以a=-2.将其代入中，得3即-x.上式对任意x(-b,b)都成立相当于-bb ，所以b的取值范围是(0，.(2)设任意的x1，x2(-b，b)，且x1x2，由b(0，得-bx1x2b ，所以01-2x
2、21-2x1，01+2x11+2x2，从而f(x2)-f(x1)=因此f(x)在(-b，b)内是减函数，具有单调性.4点评：对数函数问题是重点知识，它综合了对数的运算、函数的有关性质等知识，所以在解题过程中计算量较大且易出错，而函数的性质的讨论和证明又涉及到代数推理方面的问题，故又是难点知识.5函数是奇函数(其中0a1)，则(1)m=_;(2)若m1，则f(x)的值域为_.解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立.即所以1-m2x2=1-x2恒成立m2=1m=1.6(2)由(1)知，m=-1，yR，所以的值域为R.72.设a0且a1,为常数,函数f(x)=(
3、1)试确定函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)是增函数，求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为R.因为所以f(x)为奇函数.(2)设x1x2，则题型5 指数函数综合问题8因为f(x)为增函数，则f(x1)-f(x2)0.则又x1x2，所以或解得a 或0a1.故a的取值范围是(0，1)(，+).点评：讨论函数的奇偶性，一定要按定义域优先的原则，然后在定义域范围内，再判断f(x)与f(-x)是相等还是相反.底数是含参式子的指数函数的单调性问题，要注意运用分类讨论思想，根据底数的不同情况时的单调性质得到相应的不等式(组)，最后综合各种情况得出所求问题的答案.9设函数是R上的奇函数.(1)求a
4、的值；(2)求f(x)的反函数；(3)解不等式:f-1(x)log2(x+1).拓展练习解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0,得a=1.(2)因为所以y+y2x=2x-1,10所以2x(y-1)=-1-y,所以即f-1(x)=(-1xlog2(x+1)所以不等式的解集为x|0 x1.113.已知函数f(x)=loga(a-ax)(a1且为常数).(1)求f(x)的定义域和值域;(2)判断f(x)的单调性；(3)证明：函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.解：(1)由a-ax0axa，因为a1，所以x1.所以f(x)的定义域是(-，1).因为x1，a1，所以0axaa-ax
5、a，所以loga(a-ax)logaa=1.所以f(x)的值域为(-，1).题型6 复合型指数函数、对数函数问题12(2)设x1x21，则ax1ax2a，a-ax1a-ax2loga(a-ax1)loga(a-ax2)，即f(x1)f(x2)，所以f(x)是减函数.(3)证明:由y=loga(a-ax)a-ax=ayax=a-ay，所以x=loga(a-ay)，所以f-1(x)=loga(a-ax)(x1).于是f-1(x)=f(x)，故函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.点评：复合函数的单调性既可利用定义直接判断，也可转化为简单函数来处理其单调性.若函数的图象关于直线y=x对称，则此函
6、数的反函数的解析式与原函数的解析式相同.13已知f(x)=lg(ax-bx)(a1b0).(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)在其定义域内的单调性；(3)若f(x)在(1，+)内恒为正，试比较a-b与1的大小.解：(1)由ax-bx0，所以()x1，又1，所以x0.所以定义域为(0，+).14(2)设x2x10，a1b0，所以ax2ax1，bx1bx2，-bx2-bx1，所以ax2-bx2ax1-bx10，所以所以f(x2)-f(x1)0.所以f(x)在(0，+)是增函数.(3)当x(1，+)时，f(x)f(1)，要使f(x)0，须f(1)0，所以a-b1.151.指数函数y=ax(a0,且a1)与对数函数y=logax(a0,且a1)互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.2.要把对一般函数的研究方法用到指数函数和对数函数的研究上来，如定义域、值域、单调性，特别要注意借助于指数函数或对数函数构造的复合函数的性质特点.3.对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑其定义域.16
