1、2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）抽考数学试卷（宏志班）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合U=R，A=y|y=x2+x，B=y|y=（）x，则UB）A=（）A，0B（0，C（，D，1）2下列关系式中成立的是（）ABCD3已知角的终边上一点的坐标为（），角的最小正值为（）ABCD4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D75圆心在直线x+y=0上且过两x2+y22x=0，x2+y2+2y=0的交点的圆的方程为（）Ax2+y2x+y=0Bx2+y2+xy=0Cx2+y2x+y=0Dx2+y2+xy=06个几何体的三视图
2、及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是（）A cm2B（+3）cm2C（+3）cm2D（+3）cm27已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）ABCD8已知A=xZ|x2x+b0只有一个子集，则b值范围是（）A，+）B0，+）C（，+）D不存在9已知两条直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A2B1C0D110直线x+y=1与圆x2+y22ay=0（a0）没有公共点，则a的取值范围是（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）11已知函数f（x）=（kR
3、），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）Ak2B1k0C2k1Dk212函数y=f（x）的定义域是（，+），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）f（x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13设函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则f（x）0的解集为14平行于直线2x+y+1=0且与圆（x1）2+y2=5相切的直线的方程是15设函数，若f（x0）1，则x0的取值范围是16已知命题：“若xy，yz，则xz”成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形有可能是：都是直线；都是平面
4、；x、y是直线，z是平面；x、z是平面，y是直线上述判断中，正确的有（请将你认为正确的判断的序号都填上）三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17设集合A=x|x24，B=x|1（1）求集合AB；（2）若不等式2x2+ax+b0的解集为B，求a，b的值18已知函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x8）219已知函数f（x）=x2+axb（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率（2）若a，b都是从区间0，4任取的一个数，求f（1）0成立时
5、的概率20如图a所示，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，F为AD的中点，E在BC上，且EFAB已知AB=AD=CE=2，沿线段EF把四边形CDEF折起如图b所示，使平面CDEF平面ABEF（1）求证：AF平面CDEF；（2）求三棱锥CADE的体积；（3）求二面角BACD的余弦值21已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围22已知C过点P（1，1），且与M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（）求C的方程；（）过点P作两条相异直线分别与C相交于A，B，且直线PA和直线PB
6、的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高一（上）抽考数学试卷（宏志班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合U=R，A=y|y=x2+x，B=y|y=（）x，则UB）A=（）A，0B（0，C（，D，1）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合思想；转化法；集合【分析】化简集合A、B，求出UB，再计算（UB）A即可【解答】解：集合U=R，A=y|y=x2+x=y|y=y|y=，+），B=y|y=（）x=y|y0=（0，+），（UB）=（，0，（UB）A=，0故选：A【点评
7、】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2下列关系式中成立的是（）ABCD【考点】对数值大小的比较【专题】计算题【分析】由y=log3x是增函数，知log34log33=1；由是减函数，知，由，知【解答】解：y=log3x是增函数，log34log33=1；是减函数，故选A【点评】本题考查对数函数值的比较，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化3已知角的终边上一点的坐标为（），角的最小正值为（）ABCD【考点】终边相同的角【专题】计算题【分析】将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角的正弦，求出角的最小正值【解答】解： =角的终边在第
8、四象限到原点的距离为1的最小正值为故选D【点评】已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值，应该利用三角函数的定义来解决4某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A4B5C6D7【考点】程序框图【专题】算法和程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049
9、时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答5圆心在直线x+y=0上且过两x2+y22x=0，x2+y2+2y=0的交点的圆的方程为（）Ax2+y2x+y=0Bx2+y2+xy=0Cx2+y2x+y=0Dx2+y2+xy=0【考点】圆的一般方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】利用“圆系”方程的概念求圆的方程，于是可设所求圆的方程为x2+y22x+（x2+y2+2y）=0（1），得到其圆心坐标，再代入x+y=0可得出的值，反代入圆系方程化简得出圆的方程来【解答】解：设所求圆的方程为
10、x2+y22x+（x2+y2+2y）=0（1），即x2+y2x+y=0可知圆心坐标为（，）因圆心在直线x+y=0上，所以=0，解得=1将=1代入所设方程并化简，圆的方程为x2+y2x+y=0故选：C【点评】本题考查直线和圆的方程，直线与圆的位置关系，考查了圆系方程，属于中档题6个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是（）A cm2B（+3）cm2C（+3）cm2D（+3）cm2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；函数思想；立体几何【分析】由题意推知，几何体是放倒的半个圆锥，根据数据计算其表面
11、积【解答】解：此几何体是半个圆锥，直观图如下图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧=rl=1=，S底=12=，SSAB=23=3，所以S表=S圆锥侧=rl+S底+SSAB=+3=（+3）cm2，故选：B【点评】本题考查三视图求面积，考查简单几何体的三视图的运用，空间想象能力和基本的运算能力是中档题7已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（）ABCD【考点】简单线性规划【专题】压轴题；不等式的解法及应用【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比
12、值即为发生的概率，从而求出【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB=，于是=4x，解得，从而故选D【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率8已知A=xZ|x2x+b0只有一个子集，则b值范围是（）A，+）B0，+）C（，+）D不存在【考点】子集与真子集【专题】集合思想；综合法；集合【分析
13、】根据集合A中元素的个数与子集的个数关系，可以推出A为空集，从而求出b的取值范围【解答】解：若A=xZ|x2x+b0只有一个子集，即A=，则b，而xz，x=0或x=1时的最小，是，故b，解得：b0故选：B【点评】此题主要考查子集的性质，以及空集的定义，是一道基础题9已知两条直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（）A2B1C0D1【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直am+bn=0解之即可【解答】解：由y=ax2，y=（a+2）x+1得axy2=0，（a+2）xy+1=0因为直线y=ax2和y=（a+2）x+1互相垂直，
14、所以a（a+2）+1=0，解得a=1故选D【点评】本题考查两直线垂直的条件10直线x+y=1与圆x2+y22ay=0（a0）没有公共点，则a的取值范围是（）A（0，）B（，）C（，）D（0，）【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】根据直线与圆没有公共点得到直线与圆的位置关系是相离，则根据圆心到直线的距离大于半径列出关于a的不等式，讨论a与1的大小分别求出不等式的解集即可得到a的范围【解答】解：把圆x2+y22ay=0（a0）化为标准方程为x2+（ya）2=a2，所以圆心（0，a），半径r=a，由直线与圆没有公共点得到：圆心（0，a）到直线x+y=1的距离d=r=a，当a10即a1时，
15、化简为a1a，即a（1）1，因为a0，无解；当a10即0a1时，化简为a+1a，即（+1）a1，a=1，所以a的范围是（0，1）故选A【点评】此题考查学生掌握直线与圆相离时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集，是一道中档题11已知函数f（x）=（kR），若函数y=|f（x）|+k有三个零点，则实数k的取值范围是（）Ak2B1k0C2k1Dk2【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得|f（x）|=k0，进而可得k0，作出图象，结合图象可得答案【解答】解：由y=|f（x）|+k=0得|f（x）|=k0，所以k0
16、，作出函数y=|f（x）|的图象，由图象可知：要使y=k与函数y=|f（x）|有三个交点，则有k2，即k2，故选D【点评】本题考查根的存在性及个数的判断，作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题12函数y=f（x）的定义域是（，+），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）f（x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】数形结合【分析】根据题意列出不等式，进而分析可得在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大，分析选项可得答案【解答】解：根据增函数定义，设x1x2g（x1）g（x2）0f（x1+a）f（x1）f（x2+a）f（x2）f
17、（x1+a）f（x2+a）f（x1）f（x2）由此我们可知在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大故有f（x1）f（x2）只有A图象符合故选A【点评】本题考查了增函数列不等式的知识，注意巧妙求导的技巧二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13设函数f（x）=lg（+a）是奇函数，则f（x）0的解集为（1，0）【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】先利用奇偶性求a的值，再判断f（x）的单调性，将f（x）0化为具体的不等式1即可【解答】解：f（x）=lg（），f（0）=0，lg（2+a）=0，a=1f（x）=lg（1），10，得，1x1，令t=1，设1x1x21
18、， =0t1t2，lgt1lgt2f（x1）f（x2），故y=f（x）在（1，1）上是单调增函数又f（x）是奇函数，f（0）=0，则f（x）0化为1，0，得x0，或x1，又1x1，1x0故解集为：（1，0）【点评】本题利用奇偶性结合单调性解复合函数不等式，属于中档题型14平行于直线2x+y+1=0且与圆（x1）2+y2=5相切的直线的方程是2x+y+3=0或2x+y7=0【考点】圆的切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】利用直线平行的关系设切线方程为2x+y+b=0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可【解答】解：直线和直线2x+y+1=0平行，设切线方程为即2x+y+b
19、=0，圆心坐标为（1，0），半径R=，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d=，解得b=3或b=7，故切线方程为2x+y+3=0或2x+y7=0；故答案为：2x+y+3=0或2x+y7=0【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键15设函数，若f（x0）1，则x0的取值范围是（，1）（1，+）【考点】指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用【专题】计算题；分类讨论【分析】根据函数表达式分类讨论：当x00时，可得2x11，得x1；当x00时，x0.51，可得x1，由此不难得出x0的取值范围是（，1）（1，+）【解答】解
20、：当x00时，可得2x011，即2x02，所以x01，得x01；当x00时，x00.51，可得x01故答案为（，1）（1，+）【点评】本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键16已知命题：“若xy，yz，则xz”成立，那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形有可能是：都是直线；都是平面；x、y是直线，z是平面；x、z是平面，y是直线上述判断中，正确的有（请将你认为正确的判断的序号都填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据直线与直线所成角的定义，可得正确；根据平面与平面所成角的
21、定义，可得正确；对于，通过举反例即可得到其不正确；根据面面垂直判定定理，可得正确【解答】解：对于，若x、y、z所表示的几何图形都是直线，则由直线与直线所成角的定义可得两条平行线与第三条直线所成夹角相等，故“若xy，yz，则xz”成立，可得正确；对于，若x、y、z所表示的几何图形都是平面，则由平面与平面所成角的定义，可得两个平行平面与第三个平面所成角相等，故“若xy，yz，则xz”成立，可得正确；对于，若x、y表示直线，z表示平面，则xy且yz时，x也可能与z平行，不一定有xz成立，故不满足题意；对于，若x、z表示平面，y表示直线则由面面垂直判定定理可得“若xy，yz，则xz”成立，故正确故答案
22、为：【点评】本题考查的知识点是空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置判断，根据空间中点、线、面之间的位置关系判定或性质定理对各选项逐一进行分析，即可得到答案本题属于基础题三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17设集合A=x|x24，B=x|1（1）求集合AB；（2）若不等式2x2+ax+b0的解集为B，求a，b的值【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】（1）求出A与B中不等式的解集确定出A与B，求出两集合的交集即可；（2）根据已知不等式的解集为B，得到3和1为2x2+ax+b=0的两根，利用根与系数的关系求出a与b的值即可【解答】解：（1）A=x|x24=x|2x2，B=x|
23、1=x|0=x|3x1，AB=x|2x1；（2）不等式2x2+ax+b0的解集为B=x|3x1，3和1为2x2+ax+b=0的两根，可得，解得：a=4，b=6【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键18已知函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1（1）求f（9），f（27）的值（2）解不等式f（x）+f（x8）2【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质【专题】计算题【分析】（1）从分利用条件f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，（2）利用条件：函数f（x）在定义域（0，+）上为增函数，列出不等式组，解出此不等
24、式组【解答】解：（1）f（9）=f（3）+f（3）=2，f（27）=f（9）+f（3）=3（2）f（x）+f（x8）=fx（x8）f（9）而函数f（x）是定义在（0，+）上为增函数，即原不等式的解集为（8，9）【点评】本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值19已知函数f（x）=x2+axb（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率（2）若a，b都是从区间0，4任取的一个数，求f（1）0成立时的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；二次函数的性质；几何概型【专题】计算题【分析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数
25、中任取的一个数的基本事件总数为55个，函数有零点的条件为=a24b0，即a24b，列举出所有事件的结果数，得到概率（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a，b满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=55=25个函数有零点的条件为=a24b0，即a24b事件“a24b”包含：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（4，
26、3），（4，4）事件“a24b”的概率为；（2）f（1）=1+ab0，ab1则a，b都是从区间0，4任取的一个数，有f（1）0，即满足条件：转化为几何概率如图所示，事件“f（1）0”的概率为【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到20如图a所示，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADBC，F为AD的中点，E在BC上，且EFAB已知AB=AD=CE=2，沿线段EF把四边形CDEF折起如图b所示，使平面CDEF平面ABEF（1）求证：AF平面CDEF；（2）求三棱锥
27、CADE的体积；（3）求二面角BACD的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【专题】综合题；空间角【分析】（1）由平面CDFE平面ABEF，AFFE，根据面面垂直的性质定理可得AF平面CDEF；（2）AF为三棱锥ACDE的高，计算出AF的长及底面三角形ADE的面积，代入棱锥体积公式可得答案；（3）利用二面角BACD的余弦值为，即可求得结论【解答】（1）证明：平面CDFE平面ABEF，且平面CDFE平面ABEF=EF，AFFE，AF平面ABEF，AF平面CDEF；（2）解：由（1）知，AF为三棱锥ACDE的高，且AF=1，又AB=CE=2，SCDE=2
28、2=2，故三棱锥CADE体积V=AFSCDE=；（3）解：由题意，AD=，CD=，BC=，AB=2，AC=3SABC=cosDCA=sinDCA=sinDCA=二面角BACD的余弦值为=【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，考查面面角，解题的关键是熟练掌握面面垂直，线面垂直及线线垂直的相互转化，判断出棱锥的高和底面面积，属于中档题21已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；奇函数【专题】压轴题【分析】（）利用奇函数定义，在f（x）=f（x）中的运用特殊值求a
29、，b的值；（）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t22t）+f（2t2k）0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围【解答】解：（）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=f（1）知所以a=2，b=1经检验a=2，b=1时，是奇函数（）由（）知，易知f（x）在（，+）上为减函数又因为f（x）是奇函数，所以f（t22t）+f（2t2k）0等价于f（t22t）f（2t2k）=f（k2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t22tk2t2即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式所以k的取值范围是k【点评】本题主要考查函数
30、奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略22已知C过点P（1，1），且与M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r0）关于直线x+y+2=0对称（）求C的方程；（）过点P作两条相异直线分别与C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用【专题】直线与圆【分析】（）设出圆心的坐标，根据题意列方程求得圆心的坐标，求得半径，则圆的方程可得（）设出PA，PB的直线方程，把直线PA与圆的方程联立，根据点P的横坐标表示出方程的两个解，进而可表示出直线AB的斜率，判断出两直线的斜率相等【解答】（）解：设圆心C（a，b），则，解得，则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2（）解：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1=k（x1），PB：y1=k（x1），且k0，由，得（1+k2）x22k（k1）x+k22k1=0，点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得xA=，同理，xB=，=1=kOP，直线AB和OP一定平行【点评】本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用用待定系数法是解决圆的标准方程问题的常用方法直线与圆的方程问题的综合，直线与圆的方程联立，利用代数的方法来解决问题，是解决本题的关键