1、第16讲导数在函数中的应用【学习目标】了解函数的单调性及在某点取得极值的必要条件和充分条件与导数的关系，会利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极值和某闭区间上的最值BBB321【知识要点】1函数的单调性与导数设函数yf(x)在某区间(a，b)内可导若x(a，b)，f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为；若x(a，b)，f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为；若x(a，b)，f(x)0，则f(x)在区间(a，b)内为增函数减函数常数函数2函数的极值与导数(1)函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近的其他点的函数值都小，f(a)0，且在点xa附近左侧，右侧，则点a叫做函
2、数yf(x)的，f(a)叫做函数yf(x)的(2)函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在xa附近的其他点的函数值都大，f(a)0，且在点xa附近左侧，右侧，则点a叫做函数yf(x)的，f(a)叫做函数yf(x)的f(x)0f(x)0极小值点极小值f(x)0f(x)0极大值点极大值3函数的最值与导数函数yf(x)在闭区间a，b内每一点均可导，则yf(x)在闭区间a，b内必存在最大值和最小值，且f(x)maxmaxf(a)，f极大值(x)，f(b)，f(x)minminf(a)，f极小值(x)，f(b)一、利用导数研究函数的单调性例1已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2
3、)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围【点评】在区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分条件而不是必要条件，如果出现个别点使f(x)0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性一般地，可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零特别是在已知函数单调性求参数取值范围时，要特别注意“”是否可以取到【点评】可导函数f(x)在点x0处的导数f(x0)0是函数在该点x0处取极值的必要不充分条件，因此由f(x)0求得xx0后必须判定x0处两侧导数
4、的正负符号，才能确定函数极值的存在情形【点评】利用导数探究函数的最值通常有二类：第一类是在给定闭区间上的最值，这类问题既要研究极值，又要比较极值与区间端点函数值的大小，最终确定最值；第二类是已知函数是单峰函数，这种情境下，极小值即最小值，极大值即最大值【点评】本题主要考查函数的单调区间，最值及导数的应用，同时考查运算求解能力1函数的极值若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极大值；若可导函数f(x)在xx0处导数值为0，且在xx0处的左边f(x0)0，在xx0处的右边f(x0)0，则f(x)在xx0处有极小值
5、；可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如yx3在x0处导数值为零，但x0不是极值点2函数的最值连续函数f(x)在闭区间a，b上必有最大值与最小值；最值的求法：先求f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值3极值与最值的区别和联系函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较；函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值；如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是a，b上的最大
6、值，极小值即是a，b上的最小值4函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f(x)0(个别点取等号)f(x)在此区间上为增函数在一个区间上，f(x)0(个别点取等号)f(x)在此区间上为减函数【命题立意】本题考查导数与函数单调性的关系，并用来证明不等式1下列说法正确的是()A若f(x0)0，则函数f(x)在xx0处取极值B函数在某区间上的极大值一定比极小值大C函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值D函数f(x)在区间a，b上的最大值是f(a)、f(b)和全体极值中最大的一个D2函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导数f(x)在(a，b)内的图象如下，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极值点()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】由f(x)在(a，b)的图象可知f(x1)0，f(x2)0，f(0)0，f(x3)0，但x(a，x1)时，f(x)0，x(x1，x2)时，f(x)0，x(x2，x3)时，f(x)0，x(x3，b)时，f(x)0，故xx1，xx2，xx3是函数的极值点，故选C.CD
