1、第7讲 函数的奇偶性、周期性和对称性【学习目标】理解函数奇偶性的概念，了解函数周期性的定义，掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性、周期性分析、探究函数值、性质及图象等问题【基础检测】A2(2011广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是()A|f(x)|g(x)是奇函数B|f(x)|g(x)是偶函数Cf(x)|g(x)|是奇函数Df(x)|g(x)|是偶函数D【解析】设F(x)f(x)|g(x)|，则F(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，选D.3设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)
2、f(3)f(4)f(5).00【知识要点】1函数的奇偶性定义：一般地，如果：(1)都有，那么函数f(x)就叫做奇函数；(2)都有，那么函数f(x)就叫做偶函数对于函数f(x)的定义域内任意一个xf(x)f(x)f(x)f(x)2奇函数的图象是关于成对称图形，若奇函数的定义域含有数0，则必有；偶函数的图象是关于成对称图形，对定义域内的任意x的值，则必有原点中心f(0)0yy轴轴轴f(x)f(x)f(|x|)3定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的条件；在定义域的公共部分内，当f(x)，g(x)均为奇函数时，f(x)g(x)是函数；f(x)g(x)是函数；当f(x)，g(x)均
3、为偶函数时，有f(x)g(x)是函数；f(x)g(x)是函数必要不充分奇偶偶偶4一般地，如果一个函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于x 对称；若函数f(x)满足，则函数f(x)的图象关于对称f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)xa5函数的周期性的定义：设函数yf(x)，xD.如存在非零常数T，使得对任意的xD都有，则函数f(x)为周期函数，T为yf(x)的一个周期若函数f(x)对定义域中任意x满足f(xa)f(x)或f(xa)(a0)等，则函数f(x)是，它的一个周期为.f(xT)f(x)周期函数2a(4)f(x)的定义域为R，当x0时，x0，f(x)(x)21
4、x21f(x)；当x0时，x0，f(x)1(x)21x2f(x)；但当x0时，f(x)1f(x)，故f(x)是非奇非偶函数(本题也可画出草图观察)【点评】(1)判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x，是否有f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，必要时，可对上式作变形处理：f(x)f(x)0.(2)应记住函数奇偶性一些常见的结论一般地，奇函数与奇函数的和为奇函数；奇函数与奇函数的积为偶函数；偶函数与偶函数的和为偶函数；偶函数与偶函数的积为偶函数；偶函数与奇函数的积为奇函数任一定义在关于原点对称区间上的函数，都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和A(2)(2
5、011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a；0D(2)f(x)是偶函数，f(1)f(1)，即1|1a|1|1a|，a0.(3)f(x)g(x)exf(x)g(x)ex即f(x)g(x)ex由得：g(x)(exex)，选D.【点评】已知函数的奇偶性求参数的值可用赋值法求解，也可转化函数的图象、解析式和单调性，还可以构造函数来解决相关问题三、函数的周期性与对称性例3对函数f(x)，当x(，)时，f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，在闭区间0,7上，只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2013,2013上的根的个数，并证明
6、你的结论【分析】由已知f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)知f(x)的图象有两条对称轴x2和x7，从而知f(x)是周期为10的周期函数，又在区间0,7上，只有f(1)f(3)0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0,10)上只有2个根，故易求得方程f(x)0在2013,2013的根的个数【解析】(1)由已知得f(0)0，f(x)不是奇函数，又由f(2x)f(2x)，得函数yf(x)的对称轴为x2，f(1)f(5)0，f(1)f(1)，f(x)不是偶函数故函数yf(x)是非奇非偶函数又f(3)f(1)0，f(11)f(13)f(7)f(9)0，故f(x)在0,10和10,0上均有两个
7、解，从而可知函数yf(x)在0,2013上有404个解，在2013,0上有402个解，所以函数yf(x)在2013,2013上有806个解【点评】1.本题主要考查函数的对称性、周期性、奇偶性、方程的根等基础知识，以及函数与方程，化归与转化等数学思想方法和逻辑推理能力，运算能力等2函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两个与y轴平行的对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期就是相邻两条对称轴之间距离的2倍，本题第(2)问的关键是发现f(x)是以10为周期的周期函数四、函数性质的综合应用例4设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1)讨论f(x)
8、的奇偶性；(2)求f(x)的最小值【解析】(1)设a0，函数f(x)(x)2|x|1f(x)，此时f(x)为偶函数；当a0时，f(a)a21，f(a)a22|a|1，f(a)f(a)，f(a)f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【点评】本题综合考查了分段函数的奇偶性、单调性及利用单调性求函数的最值等基础知识和运用函数性质分析问题，解决问题的能力，同时还考查了分类讨论思想，数形结合等数学思想的灵活应用能力备选题例5已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2)(1)求f(1)，f(2.5)的值；(2)写出
9、f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在3,3上的单调性；(3)求出f(x)在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值【点评】本题考查函数解析式的求法，分段函数的单调性及最值等知识，同时考查运算求解和推理论证能力1函数的奇偶性、周期性是在整个定义域内讨论的整体性质，要正确理解奇函数与偶函数、周期函数的定义，必须注意以下几点：(1)奇、偶函数的定义域关于原点对称，周期函数的定义域是无界的(2)f(x)f(x)或 f(x)f(x)和 f(x T)f(x)(T0)是定义域上的恒等式(3)若T是f(x)的一个周期，则kT(k0，kZ)也是f(x)的周期2f(x)为奇函数f(x)的图象
10、关于原点对称；f(x)为偶函数f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是周期函数，则f(x)的图象周期性重复出现3判断函数的奇偶性的方法：定义法、图象法、性质法4函数的奇偶性与周期性是函数的两个重要性质，它们又存在着一定的联系，特别是存在两条对称轴的函数，一定是一个周期函数，且最小正周期是相邻两条对称轴之间距离的2倍(1)(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)()A3 B1 C1 D3(2)(2011福建)对于函数f(x)asinxbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4和6 B
11、3和1 C2和4 D1和2AD【解析】(1)解法一：f(x)是R上的奇函数，且x0时，f(x)2x2x，f(1)f(1)2(1)2(1)3，故选A.解法二：设x0，则xf(7)Bf(6)f(9)Cf(7)f(9)Df(7)f(10)D【解析】yf(x8)为偶函数，yf(x)关于x8对称f(x)在(8，)上单调递减，且87f(10)，选D.A5已知aR，函数f(x)sinx|a|，xR为奇函数，则a等于.0【解析】由已知，得f(0)0，f(0)0|a|0，a0.6已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x
12、1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4.8【解析】f(x)是R上的奇函数，f(0)0.由f(x4)f(x)可得：f(x8)f(x4)f(x)，T8，由f(x4)f(x)还可得：f(x4)f(x)，对称轴为x2.作出图象如下，不妨设x1x2x3x4.由对称性知x1x212，x3x44.x1x2x3x41248.8已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值【解析】(1)由题意得f(x)3ax22xb.因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb，因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.
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